Questions in this chapter

$z=x+i y, z_{1}=2+3 i$ এবং $z_{2}=4-2 i$ তিনটি জটিল সংখ্যা।

ক. $\frac{7+2 i}{5-2 i}$ কে $\mathrm{A}+\mathrm{iB}$ আকারে প্রকাশ কর ।

খ. $\mathrm{z}_{1}$ ও $\mathrm{z}_{2}$ এর আর্গুমেন্ট যথাক্রমে $\theta_{1}$ ও $\theta_{2}$ হলে দেখাও যে,

আর্গুমেন্ট $\left(\mathrm{z}_{1} \mathrm{z}_{2}\right)=\theta_{1}+\theta_{2}$ এবং $\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right|=\left|z_{1} z_{2}\right|$

গ. $\arg \left(\frac{z-z_{1}}{z-z_{2}}\right)=\frac{\pi}{4}$ হলে, প্রমাণ কর যে,

$x^{2}+y^{2}-6 x-y+2=0$

$z_{1}=-7-24 \mathbb i, z_{2}=12 \mathbb i+2$

ক. $\mathrm{z}_{1}$ এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

খ. $\frac{1}{\overline{\mathrm{z}_{1}}}$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

গ. আর্গন্ড চিত্রে $z_{1}$ ও $z_{2}$ চিহ্নিত করে এদের যোগফলের পরমমান নির্ণয় কর ৷

$\text { (i) }(1+\mathbb x)^{n}=a_{0}+a_{1} \mathbb x+a_{2} \mathbb x^{2}+\ldots+a_{n} x^{n}$

$\text { (ii) }\left(1+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{2}\right)^{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{0}+\mathrm{a}_{1} \mathrm{x}+\mathrm{a}_{2} \mathrm{x}^{2}+.....+a_{2 n} x^{2 n}$

ক. $\left(1+\omega+\omega^{2}\right)\left(\omega+\omega^{2}-1\right)\left(\omega^{2}+1-\omega\right)$এর মান নির্ণয় কর।

খ. (i) এর সাহায্যে প্রমাণ কর যে,

$\begin{array}{l} \left(a_{0}-a_{2}+a_{4}-\ldots .\right)^{2}+\left(a_{1}-a_{3}+a_{4} \ldots \ldots\right)^{2}+a_{0}+a_{1}+ \\a_{2}+a_{3}+\ldots .+a_{n}\end{array}$

গ. (ii) এর সাহায্যে দেখাও যে, $a_{0}+a_{3}+a_{6}+\ldots=3^{n-1}$

$\bar{z}=-1+\sqrt{3} \mathbb i, f(x, y)=(x+\mathbb i y)$

ক. $2 \mathbb i$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $(z)^{4}+(\bar z)^{4}=-16$

গ. প্রমাণ কর যে, $|f(x-8, y)|+|f(x+8, y)|=20$ দ্বারা নির্দেশিত

সঞ্চারপথের সমীকরণ একটি উপবৃত্ত।

$f(\mathbb x)=a+b \mathbb x+c x^{2}, g(\mathbb x)=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3} \mathbb x)$

ক. $\mathbb i$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

খ. $a+b+c=0$ হলে দেখাও যে,

$\{\mathrm{f}(\omega)\}^{3}+\left\{\mathrm{f}\left(\omega^{2}\right)\right\}^{3}=27 \mathrm{abc}$

গ. প্রমাণ কর যে, $[\mathrm{g}(\mathrm{i})]^{\mathrm{n}}+[\mathrm{g}(-\mathrm{i})]^{\mathrm{n}}=2$ এবং $−1$ যখন $n$- এর মান

যথাক্রমে $3$ দ্বারা বিভাজ্য এবং $3$ দ্বারা অবিভাজ্য ।

$x^{3}-1=0$ একটি ত্রিঘাত সমীকরণ।

ক. $3+i \mathbb x^{2} y$ এবং $x^{2}+y+4 \mathbb i$ পরস্পর অনুবন্ধী হলে, x এবং y এর বাস্তব মান নির্ণয় কর।

খ. ত্রিঘাত সমীকরণটির মূলগুলি নির্ণয় করে প্রমাণ কর যে, তাদের জটিল মূলদ্বয়ের

একটি অপরটির বিপরীত।

গ. প্রাপ্ত জটিল মূলদ্বয়ের যেকোনো একটি $\omega$ হলে প্রমাণ কর যে,

$\left(1-\omega+\omega^{2}\right)\left(1-\omega^{2}+\omega^{4}\right)\left(1-\omega^{4}+\omega^{8}\right) \ldots \ldots . .2 n$ উৎপাদক পর্যন্ত $=2^{2 n}$

$f(x)=\mathbb x^{2}+x+1, g(\mathbb x)=a+b \mathbb x+c \mathbb x^{2}$

ক. $f(x)$ এর ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয় কর।

খ, দেখাও যে, $f(x)=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের একটি অপরটির বর্গ ।

গ. $\{g(\omega)\}^{3}+\left\{g\left(\frac{1}{\omega}\right)\right\}^{3}=0$ হলে দেখাও যে, $a=\frac{1}{2}(b+c)$

অথবা, $b=\frac{1}{2}(a+c)$ অথবা $c=\frac{1}{2}(a+b)$

$f(\mathbb x)=1+\mathbb x, z_{1}=3+2 i$ এবং $z_{2}=3-2 \mathrm{i}$

ক. $- 2\mathbb i$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

খ. $\left|\mathbf{z}_{1}^{2}+\mathbf{z}_{1} \mathbf{z}_{2}-\overline{\mathbf{z}_{2}}\right|$ নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে,$\mathrm{f}(\omega) \times \mathrm{f}\left(\omega^{2}\right) \times \mathrm{f}\left(\omega^{4}\right) \times.....n$ তম উৎপাদক পর্যন্ত $=1$

যেখানে $n$ স্বাভাবিক জোড় সংখ্যা।

(i) আর্গন্ডের চিত্রে $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ তিনটি বিন্দু এবং

$\left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & 1 \\\mathrm{i} & -1 & 1 \\1 & \mathrm{i} & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}1 \\2 \\3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\mathrm{A} \\\mathrm{B} \\\mathrm{C}\end{array}\right]$ $\text { (ii) } \mathrm{P}=\left(1+\mathrm{i}^{4 \mathrm{n}+1}\right)\left(1+\mathrm{i}^{4 \mathrm{n}-1}\right)+\mathrm{i}^{4 \mathrm{n}+3}$

ক. মান নির্ণয় কর: $\left|\begin{array}{rrr}1 & -\omega & \omega^{2} \\-\omega & \omega^{2} & 1 \\\omega^{2} & 1 & -\omega\end{array}\right|$

খ. $|\mathrm{P}|$ নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $A, B, C$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

$x=\sqrt[3]{\omega+\omega^{2}}$

$\mathrm{R}=\sqrt{-2+2 \sqrt{-2+2 \sqrt{-2+\ldots \infty}}}$

ক. প্রমাণ কর যে, $\left(1-\omega+\omega^{2}\right)^{2}+\left(1+\omega-\omega^{2}\right)^{2}=-4$

খ. $X$ এর জটিল মূলদ্বয় নির্ণয় করে এদের যেকোনো একটির বর্গমূল নির্ণয় কর ।

গ. $R$ এর পরমমান নির্ণয় কর।

$z=\mathbb x+\mathbb i y, f(x)=|2 x+4|$

ক. $\operatorname{Im}\left(z^{2}\right)$ নির্ণয় কর।

খ. সংখ্যারেখায় $f(x)<6$ এর সমাধান সেট নির্ণয় কর।

গ. $|z-\mathbb i| \geq 3$ দ্বারা নির্দেশিত জ্যামিতিক অঞ্চল চিত্রের সাহায্যে দেখাও।

$z=3 x+4 y$ সীমাবদ্ধতা :

$x \leq 2 y+2, x \geq 6-2 y, y \leq x, x \leq 6$

ক. $y = 1$ এবং $|z|<1$ হলে, x এর সীমা নির্ণয় কর।

খ. প্রদত্ত সীমাবদ্ধতার আলোকে অভিষ্ট ফাংশন $z$ এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।

গ. $x = 1, y=\sqrt{-1}$ এবং $\frac{Z}{\bar z}=A+\mathbb i B$ হলে, $|A-\mathbb i B|$ নির্ণয় কর।

$z=x+\mathbb i y, f(\theta)=\frac{2}{3+\cos \theta+\mathbb i \sin \theta}$

ক. $-3-4 \mathbb i$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

খ. $\arg (\mathrm{z}-3 \mathrm{i})=\pi$ এবং $|z+6|=5$ হলে $z$ নির্ণয় কর।

গ. $x_{1}+\mathbb i y_{1}=f(\theta)$ হলে, প্রমাণ কর যে, $2\left(\mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{y}_{1}^{2}\right)=3 \mathrm{x}_{1}-1$

$z_{1}=2\left(\cos \frac{5 \pi}{6}+\mathbb i \sin \frac{5 \pi}{6}\right), z_{2}=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+\mathbb i \sin \frac{\pi}{3}\right)$

ক. $\frac{\mathrm{Z}_{1}}{\mathrm{Z}_{2}}$ এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

খ. $\left|z_{1}-z_{2}\right|$ নির্ণয় কর।

গ. $z_{1} z_{2}$ দ্বারা সূচিত বিন্দুর অবস্থান আর্গন্ড চিত্রে দেখাও।

$z_{1}=7-6 \mathbb i, z_{2}=3+4 i$

ক. $\left(1-\omega+\omega^{2}\right)^{4}+\left(1+\omega-\omega^{2}\right)^{4}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\sqrt{\mathrm{z}_{1} \mathrm{z}_{2}}$ নির্ণয় কর।

গ. আর্গন্ড চিত্রে $\mathrm{Z}_{1}$ ও $\mathrm{Z}_{2}$ দ্বারা সূচিত বিন্দুর সাহায্যে $\mathrm{z}_{1}+\mathrm{z}_{2}, {\mathrm{z}_{1}-\mathrm{z}_{2}}$ ও $\overline{\mathrm{z}}_{1}$

দ্বারা সূচিত বিন্দুগুলির অবস্থান দেখাও ৷

$z=3-5 \mathbb i, z_{1}=1-\mathbb i$

ক. $\left|\mathbf{z}+\mathbf{z}_{1}\right|$ নির্ণয় কর ।

খ. $x=\frac{\bar{z}}{\sqrt{2}}$ হলে দেখাও যে, ${x}^{4}+16 x^{2}+289=0$

গ. দেখাও যে, $\arg \left(\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{1}}\right)=\operatorname{argz}-\arg \mathrm{z}_{1}$

$a=\sqrt[4]{-81}, b=\sqrt[3]{\mathrm i}$

ক. $-7+24 \mathrm{i}$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

খ. $b$ এর জটিল মান দুইটির আর্গুমেন্ট $\theta_{1}$ ও $\theta_{2}$ হলে $\left|\theta_{1}-\theta_{2}\right|$ নির্ণয় কর।

গ. আর্গন্ড চিত্রে $a$ এর মান চারটি দ্বারা সূচিত বিন্দু চারটি যে চতুর্ভুজ গঠন

করে তার কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

$f(x)=x-3$

ক. $f(2+\sqrt{3} \mathrm{i})$ এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

খ. $|f(\mathrm{x})|<\frac{1}{5}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\left|x^{2}-9\right|<\frac{31}{25}$

গ. আর্গন্ড চিত্রে $f(-5-6 \mathrm{i})$ এর বর্গমূল দুইটির মডুলাস ও আর্গুমেন্ট দেখাও ।

$z=r(\cos \theta+i \sin \theta)$

ক. $\sqrt[3]{-1}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $|z|=1, \theta=\frac{2 \pi}{3}$ হলে প্রমাণ কর যে,

$(a+b)^{2}+\left(a z+b z^{2}\right)^{2}+\left(a z^{2}+b z\right)^{2}=6 a b$

গ. $|z|=2, \theta=\frac{5 \pi}{6}$ হলে $\mathrm z$ ও $\overline{\mathrm {z}}$ এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

$\left[\begin{array}{ccc}-1 & \omega & \omega^{2} \\\omega^{2} & -1 & \omega \\\omega & \omega^{2} &-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\omega \\\omega^{2} \\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right]$......(i)

যেখানে, $\omega$ এককের একটি জটিল ঘনমূল।

$P=(3+4 i)^{-\frac{1}{2}}+(3-4 i)^{-\frac{1}{2}} \ldots \ldots \text { (ii) }$

ক. $\left(1-\omega+\omega^{2}\right)^{2}+\left(1+\omega-\omega^{2}\right)^{2}$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. (ii) এর সাহায্যে প্রমাণ কর যে, $\mathrm{P}=\frac{4}{5}$

গ. (i) এর সাহায্যে দেখাও যে, $x y z=-8$