Questions in this chapter

$f(\theta)=\sin \theta$

ক. $\cos ^{2}\left(\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ এর মান বের কর ।

খ. প্রমাণ কর যে, $\sin ^{-1}(\sqrt{2} f(\theta))+\sin ^{-1}\left(\sqrt{f\left(\frac{\pi}{2}-2 \theta\right)}\right)=\frac{\pi}{2}$

গ. সমাধান কর: $f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+\sqrt{3} f(\theta)=\sqrt{2}$

$f(x)=\cos x$ একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ।

ক. $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y=\frac{\pi}{2}$ হলে দেখাও যে, $x=\frac{1}{y}$

[যেখানে, $x>0, y>0,0<x y<1]$

খ. যদি $f^{-1}(2 x)+f^{-1}(2 y)=\frac{3 \pi}{2}$ হলে দেখাও যে, $x^{2}+y^{2}=\frac{1}{4}$

গ. $f(x)+\sqrt{3} f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sqrt{2}$ হলে সমীকরণটির সমাধান কর ।

দৃশ্যকল্প-১: $2 \sin ^{2} \theta-2=\cos 2 \theta$

দৃশ্যকল্প-২ : $f(y)=\tan ^{-1} {y} .$

ক. $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ এর মুখ্যমান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণ সমাধান কর যেখানে $-2 \pi \leq \theta \leq 2 \pi$

গ. দৃশ্যকল্প-2 হতে প্রমাণ কর যে, $\tan \{2 f(x)\}=2 \tan \left\{f(x)+f\left(x^{3}\right)\right\}$

$f(x)=\cos x ; h(x)=\tan ^{-1} x$

ক. প্রমাণ কর : $\cot ^{-1}(\tan 2 \varphi)+\cot ^{-1}(-\tan 3 \varphi)=\varphi$

খ. উদ্দীপকের আলোকে সমাধান কর : $(2+\sqrt{3}) f(2 \theta)=1-f\left(\frac{\pi}{2}-2 \theta\right)$

গ. প্রমাণ কর যে, $2 h\left(\frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}} \tan \frac{\theta}{2}\right)=\cos ^{-1} \frac{b+a f(\theta)}{a+b f(\theta)}$

$f(a)=\tan ^{-1} a, g(a)=\sin a$

ক. $f\left(\frac{1}{3}\right)+f\left(\frac{1}{5}\right)$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. দেখাও যে, $2 f\left(\sqrt{\frac{x-y}{x+y}} \tan \frac{\theta}{2}\right)=\sec ^{-1} \frac{x+y g\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{y+x g\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}$

গ. সমাধান কর $g\left(\frac{\pi^{}}{2}-x\right)+g(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$f(x)=\sin x$

ক. $\sin \tan ^{-1} \cos \sec ^{-1} y$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $f\left(\pi f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right)=f\left(\frac{\pi}{2} \pm \pi f(\theta)\right)$ হলে, দেখাও যে, $\theta= \pm \frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{4^{}}$

গ. সমাধান কর : $1+f\left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)+f\left(\frac{\pi}{2}-4 x\right)+f\left(\frac{\pi}{2}-6 x\right)=0$

$f(x)=\sin x$

ক. $\cos \left(2 \cot ^{-1} \frac{3}{2}\right)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\sin ^{-1}(\sqrt{2} f(\theta))+\sin ^{-1}\left(\sqrt{f\left(\frac{\pi}{2}-2 \theta\right)}\right)=\frac{\pi}{2}$

গ. সমাধান কর :$f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+f(\theta)=f\left(\frac{\pi}{2}-2 \theta\right)+f(2 \theta)$

দৃশ্যকল্প-১ :

দৃশ্যকল্প-২ : $4 \cos x \cos 2 x \cdot \cos 3 x=1$

ক. $\sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y=\frac{\pi}{2}$ হলে দেখাও যে; $x^{2}+y^{2}=1$

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ $\angle A C B=2 x$ হলে $\cot ^{-1} 3-x$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটি $0<x<\pi$ ব্যবধিতে সমাধান কর ।

দৃশ্যকল্প-১: $f(\theta)=\sin \theta$

দৃশ্যকল্প-২: $A=\operatorname{cosec}^{-1} \sqrt{5}-\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{5}+\tan ^{-1} \frac{1}{4}$

ক. দেখাও যে , $\sec ^{2}\left(\tan ^{-1} \sqrt{15}\right)+\operatorname{cosec}^{2}\left(\cot ^{-1} \sqrt{13}\right)=30$

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে $2 f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) \cdot f\left(\frac{\pi}{2}-3 \theta\right)+1=0$ সমীকরণের সমাধান কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ থেকে দেখাও যে, $A=\tan ^{-1} \frac{11}{27}$

দৃশ্যকল্প-১ : $q=\cos ^{-1} p$

দৃশ্যকল্প-২ : $f(x)=\sin x$

ক. $\tan ^{-1} \frac{1}{2}+\tan ^{-1} \frac{1}{3}$ এর মান বের কর ।

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে $q=\cos ^{-1} p$ এর $-1 \leq p \leq 1$ ব্যবধিতে লেখচিত্র অংকন কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে $2\{f(x)\}^{2}+5 f(x)-3=0$ সমীকরণটির সমাধান কর ।

উদ্দীপক : $f(x)=\sin x$ এবং $g(x)=\cos x$

$A=\sin ^{-1} \frac{3}{5}, B=\cos ^{-1} \frac{5}{13}, C=\cot ^{-1} 2, D=\tan ^{-1} \frac{28}{29} .$

ক. প্রমাণ কর যে, $\operatorname{cosec}^{2}\left(\tan ^{-1} \frac{1}{2}\right)-3 \sec ^{2}\left(\cot ^{-1} \sqrt{3}\right)=1$

খ. $f(\pi g(x))=g(\pi f(x))$ হলে দেখাও যে, $x= \pm \frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{4}$ (সংশোধিত)

গ. উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, $2 A+B=2(C+D)$

দৃশ্যকল্প-১ : $a \sin x+b \cos x=1$

দৃশ্যকল্প-২ : $f(x)=\cos x$

ক. সমাধান কর : $\tan ^{2} \theta-3 \operatorname{cosec}^{2} \theta+1=0$

খ. $a=\sqrt{3}$ এবং $b = 1$ হলে দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণটি সমাধান কর, যেখানে $-2 \pi<x<2 \pi .$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে $f(x)+f(3 x)+f(5 x)+f(7 x)=0$ সমীকরণটি সমাধান কর, যেখানে $0<x<\pi$

উদ্দীপক-১ : $\sec \alpha=\frac{p}{x}, \sec \beta=\frac{q}{y}$

উদ্দীপক-২ : $f(x)=\sec x$

ক. $\sec ^{2}\left(\cot ^{-1} 1\right)+\sin ^{2}\left(\cos ^{-1} \frac{1}{2}\right)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপক-১ এ $\alpha+\beta=\gamma$ হলে প্রমাণ কর যে, $\frac{x^{2}}{p^{2}}+\frac{y^{2}}{q^{2}}-\frac{2 x y}{p q} \cos \gamma=\sin ^{2} \gamma .$

গ. উদ্দীপক-২ এর আলোকে $f(x) \cdot f(3 x)+2=0$ সমীকরণের সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর ।

উদ্দীপক-১ : $A=\cot ^{-1} 7, B=\cot ^{-1} 3, g(A)=\cos 2 A, h(B)=\sin 4 B .$

উদ্দীপক-২ : $f(\alpha)=\cos \alpha, g(\alpha)=\sin 2 \alpha, h(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

ক. $\cos ^{-1} \tan \cot ^{-1} \sqrt{2}$ এর মুখ্যমান নির্ণয় কর ।

খ. উদ্দীপক-১ এ প্রমাণ কর যে, $A=g^{-1}\{h(B)\}$

গ. উদ্দীপক-২ এর আলোকে সমাধান কর : $f(\alpha)+g\left(\frac{\alpha}{2}\right)=h(\alpha)$ যখন,$-2 \pi \leq \alpha \leq 2 \pi .$

দৃশ্যকল্প-১ : $P=\sec ^{-1} \sqrt{5}-\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{5}+\cot ^{-1} 3 \text {. }$

দৃশ্যকল্প-২ : $\cos ^{-1} \frac{m}{a}+\cos ^{-1} \frac{n}{b}=x \text {. }$

ক. $\sec ^{2}\left(\cot ^{-1} \frac{1}{4}\right)+\tan ^{2}\left(\cos ^{-1} \frac{1}{3}\right)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, $p=\tan ^{-1} 2$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সাহায্যে দেখাও যে, $\frac{m^{2}}{a^{2}}-\frac{2 m n}{a b} \cos x+\frac{n^{2}}{b^{2}}=\sin ^{2} x$

$f(x)=\sin x$ ও $g(x)=\cos x$

ক. সমাধান কর : $2\left(\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)=\sqrt{3}$

খ. সমাধান কর : $f(x)+g(x)=f(2 x)+g(2 x)$

গ. সমাধান কর : $4 g(x) g(2 x) g(3 x)=1$ যখন, $0<x<\pi$

$N=\tan ^{-1}\left(\left(\operatorname{cosec} \tan ^{-1} x-\tan \cot ^{-1} x\right)\right.$ এবং $f(\theta)=\cos \theta$

ক. যদি $x=\frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{3}{4}$ হয়, তবে $\tan x$ এর মান কত হবে?

খ. দেখাও যে, $N=\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$

গ. সমাধান কর : $f(\theta)+f(2 \theta)+f(3 \theta)=0$ যখন $-2 \pi \leq \theta \leq 2 \pi .$

উদ্দীপক-১: $g(x)=\sin x^{}$

উদ্দীপক-২: $f(x)=\cos ^{-1} x .$

ক. $\cot ^{-1} x+\cot ^{-1} y^{}=\frac{\pi}{2}$ হলে দেখাও যে, $x y=1 .$

খ. দৃশ্যকল্প-১ থেকে সমাধান কর : $2 g(\pi-x) g(3 x)=1,$ যখন $0 \leq x \leq 2 \pi .$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এ $f(x)+f(y)+f(z)=\pi$ হলে দেখাও যে, $x^{2}+y^{2} +z^{2}+2 x y z=1$

$\boxed{\mathbf{~ক~}}$

বামপক্ষ $=\operatorname{cosec} \sin ^{-1} \tan \sec ^{-1} \frac{x}{y}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \operatorname{cosec} \sin ^{-1} \tan \tan ^{-1} \frac{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}{y^{0}} \\\Rightarrow \operatorname{cosec} \sin ^{-1} \frac{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}{y} \\\Rightarrow \operatorname{cosec} \operatorname{cosec}^{-1} \frac{y}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}} \\\Rightarrow \frac{y}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}\end{array}$

= ডানপক্ষ

[প্রমাণিত]

$\\$

$\boxed{\mathbf{~খ~}}$

দেওয়া আছে, $f(x)=\operatorname{cosec} x-\cot x$

এবং $f(\theta)=\frac{3}{4}$

$\therefore \operatorname{cosec} \theta-\cot \theta=\frac{3}{4}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{1}{\sin \theta}-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}=\frac{3}{4} \\\Rightarrow \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}=\frac{3}{4} \\\Rightarrow 4-4 \cos \theta=3 \sin \theta \\\Rightarrow 3 \sin \theta-4=-4 \cos \theta \\\Rightarrow (3 \sin \theta-4)^{2}=(-4 \cos \theta)^{2} \\\Rightarrow 9 \sin ^{2} \theta-24 \sin \theta+16=16 \cos ^{2} \theta \\\Rightarrow 9 \sin ^{2} \theta-24 \sin \theta+16=16\left(1-\sin ^{2} \theta\right) \\\Rightarrow 9 \sin ^{2} \theta-24 \sin \theta+16=16-16 \sin ^{2} \theta \\\Rightarrow 25 \sin ^{2} \theta-24 \sin \theta=0 \\\Rightarrow 25 \sin ^{2} \theta=24 \sin \theta \\\Rightarrow \sin \theta=\frac{24}{25}\end{array}$

$\therefore \theta=\sin ^{-1} \frac{24}{25}$

[প্রমাণিত]

$\\$

$\boxed{\mathbf{~গ~}}$

দেওয়া আছে,

$\begin{array}{l}g(5 \theta)-\sqrt{3} g(\theta)=g(3 \theta)\\\Rightarrow \sin 5 \theta-\sqrt{3} \sin \theta=\sin 3 \theta\\\Rightarrow \sin 5 \theta-\sin 3 \theta=\sqrt{3} \sin \theta\\\Rightarrow 2 \cos \left(\frac{5 \theta+3 \theta}{2}\right) \sin \left(\frac{5 \theta-3 \theta}{2}\right)=\sqrt{3} \sin \theta\\\Rightarrow 2 \cos 4 \theta \sin \theta=\sqrt{3} \sin \theta\\\Rightarrow 2 \cos 4 \theta \sin \theta-\sqrt{3} \sin \theta=0\\\Rightarrow \sin \theta(2 \cos 4 \theta-\sqrt{3})=0\end{array}$

হয়, $, \sin \theta=0$

$\therefore \theta=\mathrm{n} \pi ; \mathrm{n} \in \mathbb{Z}$ অথবা, $2 \cos 4 \theta-\sqrt{3}=0$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 2 \cos 4 \theta=\sqrt{3}\\\Rightarrow \cos 4 \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\Rightarrow \cos 4 \theta=\cos \frac{\pi}{6}\\\Rightarrow 4 \theta=2 n \pi \pm \frac{\pi}{6} ; n \in \mathbb{Z}\\\therefore \theta=\frac{1}{4}\left(2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}\right) ; \mathrm{n} \in \mathbb{Z}\end{array}$

$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান $\theta=n \pi, \frac{1}{4}\left(2 n \pi \pm \frac{\pi}{6}\right) ; n \in \mathbb{Z}$

$f(x)=\cos x, A=\sec ^{-1} \frac{2}{x}, B=\sec ^{-1} \frac{3}{y}$

ক. সমাধান কর : $\tan 2 x-\tan x=0$

খ. সমাধান কর $\sqrt{2} f(x)-\sqrt{2} f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=1$ যখন $-\pi<x<\pi .$

গ. দেখাও যে, $A+B=\frac{\pi}{2}$ সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে ।