Questions in this chapter

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও :

$f(x)=\sin ^{-1} x$ এবং $g(x)=\tan x$

$f(x)+f\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)$ এর মান কোনটি?

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও :

$f(x)=\sin ^{-1} x$ এবং $g(x)=\tan x$

$g(x) g(2 x)=1$ সমীকরণের সমাধান কোনটি?

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও:

$\cos A+\cos B=0$

$A=2 \tan ^{-1} \frac{1}{3}$ এবং $B=\cos ^{-1}\left(\frac{4 k}{5}\right)$ হলে $k$ এর মান নির্ণয় কর।

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও:

$\cos A+\cos B=0$

$B=3 A$ হলে $A=?$

উদ্দীপক-১: $\cos x=\frac{p}{a}, \cos y=\frac{q}{b} \text {. }$

উদ্দীপক-২: $f(\theta)=\sin \theta$

ক. প্রমাণ কর যে, $\tan ^{-1} \frac{2}{5}=\frac{\pi}{2}-\operatorname{cosec}^{-1} \frac{\sqrt{29}}{5}$

খ. উদ্দীপক-১ এর সাহায্যে, x + y = a হলে, প্রমাণ কর যে, $b^{2} p^{2}- \text{2abpq} \cos \alpha+a^{2} q^{2}=a^{2} b^{2} \sin ^{2} \alpha$

গ. উদ্দীপক-২ এর সাহায্যে, সমাধান কর: $f(x)-\sqrt{1-\{\mathrm{f}(\mathrm{x})\}^{2}}=1,-2 \pi<\mathrm{x}<2 \pi$

দৃশ্যকল্প-১: $q=\tan ^{-1} p,-\infty<p<\infty$.

দৃশ্যকল্প-২: $f(x)=\cot \left(\frac{\pi}{2}-x\right)$

ক. $\sin \cos ^{-1} \tan \sec ^{-1} \frac{2}{\sqrt{3}}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণটির লেখচিত্র অংকন কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সাহায্যে $\{\mathrm{f}(\mathrm{x})\}^{2}+4\{(\mathrm{f}(\mathrm{x})\}-5=0$ সমীকরণটি সমাধান কর৷

$\begin{aligned}f(x)= & \sin ^{-1} p+\sin ^{-1} q+\sin ^{-1} r \\& A=\cos x-\cos 2 x, R=1-\cos x\end{aligned}$

ক. প্রমাণ কর যে, $\tan ^{-1} \frac{1}{3}=\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{5}$

খ. $f(x)=\pi$ হলে দেখাও যে, $\mathrm{p} \sqrt{1-\mathrm{p}^{2}}+\mathrm{q} \sqrt{1-\mathrm{q}^{2}}+\mathrm{r} \sqrt{1-\mathrm{r}^{2}}=2 \mathrm{pqr}$

গ. সমাধান কর $\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{R}}=1$ যখন $0<\mathrm{x}<\pi$

দৃশ্যকল্প-১: $P=\cos ^{-1}\left(\frac{x}{3}\right), Q=\cos ^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)$

দৃশ্যকল্প-২: $f(x)=\sin x$.

ক. $\cos ^{2}\left(\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}\right)-\sin ^{2}\left(\cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ $P+Q=\theta$ হলে, প্রমাণ কর যে,

$4 x^{2}-12 x y \cos \theta+9 y^{2}=36 \sin ^{2} \theta$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এ $(0,2 \pi)$ ব্যবধিতে $f(x)+f(2 x)+f(3 x)=1+f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+f\left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)$ সমীকরণটির সমাধান কর।

$f(x)=\cos x-\cos 7 x$ এবং $g(x)=\sin x$

ক. প্রমাণ কর যে, $\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^{2}}=\cos ^{-1} \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$

খ. $f(\alpha)=\sin 4 \alpha$ সমীকরণের সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{g}\left(\pi \mathrm{g}\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{g}\left(\frac{\pi}{2}-\pi \mathrm{g}(\mathrm{x})\right)$ হলে দেখাও যে, $x= \pm \frac{\pi}{4}+\cos ^{-1} \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

ক. $\sin \cot ^{-1} \tan \sec ^{-1} x$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকে $\angle \mathrm{BAC}=\alpha$ হলে, $\alpha+\theta=\frac{\pi}{2}$ থেকে দেখাও যে, $x^{2}+y^{2}=1$

গ. উদ্দীপক অনুসারে $x+y=\sqrt{2}$ সমীকরণটি সমাধান কর যখন $-2 \pi<\theta<2 \pi$

$A=\sin ^{-1} \cdot \frac{2}{3}, B=\cos ^{-1} \frac{3}{4}, C=\tan ^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}$ এবং $f(x)=\sin x$

ক. প্রমাণ কর যে, $\cos ^{-1} x=2 \cos ^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{2}}$

খ. প্রমাণ কর যে, $A-\frac{1}{2} B+C=\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{35}-1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\right)$

গ. উদ্দীপকের আলোকে $f(x)+f(2 x)+f(3 x)=0$

সমীকরণটি সমাধান কর, যখন $0 \leq \mathrm{x} \leq \pi$

$\sin A=\frac{2}{\sqrt{5}}, \cos B=\frac{4}{5}, \cot C=3$

এবং $\mathrm{g}(\theta)=\cos \theta-\cos 7 \theta$

ক. প্রমাণ কর যে, $\sin \cdot \tan ^{-1} \cdot \cot \cdot \cos ^{-1} y=y$

খ. প্রমাণ কর যে, $A-\frac{1}{2} B+C=\tan ^{-1} 2$

গ. যদি $g(\theta)=\sin 4 \theta$ হয়, তাহলে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।

$x=a \cos P, y=b \cos Q$ এবং $f(z)=\tan z \cdot \tan 3 z$

ক. যদি $\sin ^{-1} m+\sin ^{-1} n=\frac{\pi}{2}$ তবে দেখাও যে, $m^{2}+n^{2}=1$

খ. যদি $P+Q=\psi$ হয় তবে, প্রমাণ কর যে, $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{2 x y}{a b} \cos \psi+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\sin ^{2} \psi$

গ. যদি f (z) = 1 হয় তবে z এর মান নির্ণয় কর, যখন $-\frac{\pi}{2} \leq \mathrm{z} \leq \frac{\pi}{2}$

$f(x)=\sin ^{-1} x, g(x)=\cos x$

ক. সমাধান কর: $\tan 2 \theta \tan \theta=1$.

খ. দেখাও যে, $f\left(\sqrt{2} \mathrm{~g}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right)+f(\sqrt{\mathrm{g}(2 \theta)})=\frac{\pi}{2}$.

গ. সমাধান কর: $\mathrm{g}(\mathrm{x})+\sqrt{3} \mathrm{~g}^{\prime}(\mathrm{x})=\sqrt{2}$, যখন $-\pi<\mathrm{x}<\pi$.

উদ্দীপক-১ : $M=\cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{5}+\tan ^{-1} \frac{1}{3}$

উদ্দীপক-২ : $f(x)=\sin x$ ও $g(x)=\cos x$

ক. $\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y=\frac{\pi}{2}$ হলে, দেখাও যে, $x^{2}+y^{2}=1$ (সংশোধিত)

খ. উদ্দীপক-১ হতে দেখাও যে, $M$ এর মান $\cot ^{-1} \frac{1}{2}$

ঘ. $f(x)+g(x)=g(2 x)+f(2 x)$ সমীকরণটি সমাধান কর।

$\begin{array}{l}A=\sec ^{-1} \sqrt{5}, B=\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{p}{q}, C=\sin ^{-1} r \\f(x)=\sin \alpha x, g(x)=\sin \beta x .\end{array}$

ক. দেখাও যে, $2 \tan ^{-1} x=\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}$

খ. $p=3, q=5, r=\frac{1}{\sqrt{10}}$ হলে প্রমাণ কর যে, $A-B+C=\cot ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$

গ. $\alpha=1, \beta=3$ হলে $-\pi$ হতে $\pi$ ব্যবধির মধ্যে $2 f(x) \cdot g(x)=1$ সমীকরণের সমাধান নির্ণয় কর ।

উদ্দীপক-১ : $f(x)=\cos x$

উদ্দীপক-২ : $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{2} \sec ^{-1}\left(\frac{1+y^{2}}{1-y^{2}}\right)+\frac{1}{2} \operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{1+z^{2}}{2 z}\right)=\pi$

ক. $\cot \cos ^{-1} \sin \tan ^{-1} \frac{3}{4}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $(-2 \pi, 2 \pi)$ ব্যবধিতে $f(x)+\frac{1}{\sqrt{3}} f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$ মীকরণটি সমাধান কর।

গ. উদ্দীপক-২ হতে প্রমাণ কর যে,$x+y+z=x y z$

$f(x)=\sin x$ এবং $g(y)=\cos y$

ক. $\sin ^{-1} \frac{4}{5}+\cos ^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $f(x)+g\left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)+f(3 x)=1+g(x)+f\left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)$ সমীকরণটির সমাধান কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $2 \tan ^{-1} \frac{f\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{f\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right)} \tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)=\tan ^{-1} \frac{f(\alpha) \cdot g(\beta)}{g\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)+f\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}$

দৃশ্যকল্প-১ : $A=3 \sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}+\cos ^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}}$

দৃশ্যকল্প-২ : $f(x)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)$

ক. $\cos ^{-1} \sin \cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}$ এর মুখ্য মান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে দেখাও যে, $A=\tan ^{-1} 3$

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে $2\{f(x)\}^{2}-11 f(x)+5=0$ সমীকরণটির সমাধান কর। যেখানে, $0^{\circ} \leq x \leq 2 \pi$

দেওয়া আছে, $\varphi(x)=\cos ^{-1} x$ এবং

$\mathrm{h}(\theta)=\cos \theta-\sin \theta$

ক. প্রমাণ কর যে, $\sin ^{2}\left(\cos ^{-1} \frac{1}{3}\right)-\cos ^{2}\left(\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{2}{9}$

খ. $\varphi(\mathbf{x})+\varphi(y)+\varphi(\mathbf{z})=\pi$ হলে দেখাও যে, $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y z=1$

গ. $(-\pi, \pi)$ ব্যবধিতে $h(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}$ সমীকরণটির সমাধান নির্ণয় কর।