Questions in this chapter

ক. $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ এর ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ ভেক্টর দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

গ. $\triangle \mathrm{ABC}$ এর $A B$ ও $AC$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $D$ ও $E$ হলে প্রমাণ কর যে,$\mathrm {D E|| B C}$

$\triangle \mathrm{ABC}$ এ, $A D \perp B C$ এবং $\text { BC }$ এর মধ্যবিন্দু $E.$

ক. $AC$ এর ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. $BD$ নির্ণয় কর।

গ. ভেক্টর গুণনের সাহায্যে $AD$ নির্ণয় কর।

$\mathrm{O}(0,0,0)$ বিন্দুর সাপেক্ষে $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর

যথাক্রমে $3 \hat{i}+2 \hat{j}+4 \hat{k}$ ও $\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$

ক. $P(5,-3,1), Q(3,-1,-2)$ এর সংযোগ রেখাংশকে $R$ বিন্দু $3 : 4$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করলে $\overrightarrow{\mathrm{OR}}$ নির্ণয় কর।

খ. $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

গ. $O$ হতে $AB$ এর লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।

মূলবিন্দু $O$ এর সাপেক্ষে $A, B, C$ এর অবস্থান ভেক্টর

যথাক্রমে $\overline{\mathrm{A}}=2 \hat{\mathrm{i}}+\lambda \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}},$$\overline{\mathrm{B}}=6 \hat{\mathrm{i}}+6 \hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}},$$\overline{\mathrm{C}}=2 \hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}+6 \hat{\mathrm{k}}$

ক. A ভেক্টরের মান ও $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ ভেক্টরের উপর $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপকে সন্নিহিত বাহু

ধরে অঙ্কিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 9 বর্গ একক হলে $\lambda$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\overline{\mathrm{A}}, \overline{\mathrm{B}}$ ও $\overline{\mathbf{C}}$ সমতলীয় হলে $\lambda$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\overline{\mathbf{B}}$ ভেক্টর বরাবর $\bar{c}$ ভেক্টরের উপাংশ y অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।

$\mathrm{O}(0,0,0)$ বিন্দুর সাপেক্ষে $P, Q$ ও $R$ বিন্দুর অবস্থান

ভেক্টর $\overrightarrow{\mathrm{P}}=2 \hat{\mathrm{i}}+n \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}, \overline{\mathrm{Q}}$$=6 \hat{\mathrm{i}}+6 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}}, \overline{\mathrm{R}}$$=3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}}$

ক. একটি সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ হতে কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় কর যা $Q$ ও $R$ বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে

খ. $\overline{\mathrm{P}}$ ও $\overline{\mathrm{Q}}$ কোনো ত্রিভুজের বাহু হলে এবং ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $9$ বর্গ একক হলে $n$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\overline{\mathrm{P}}$ ও $\overline{\mathrm{P}}$ এর লব্ধি বরাবর $\overline{\mathrm{P}}$ এর উপাংশ নির্ণয় কর।

$\overrightarrow{O A}=3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k},$$\overrightarrow{O B}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k} \text {}$

ক. $\mathrm {P}(2,-1,3)$ ও $Q(3,2,-4)$ বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}$ ও $\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}$ এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর ।

গ. $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ ভেক্টরম্বয়ের উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$=5 \hat{\mathrm{i}}+4 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}}$ ও $\overrightarrow{O B}$$=2 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}$ একটি সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু ।

ক. সামান্তরিকটির কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় কর।

খ. সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ. $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ ভেক্টর বরাবর $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ ভেক্টরের উপাংশ y অক্ষের সাথে যে y কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।

চিত্রে, $\overrightarrow{O A}=4 \hat{i}+5 \hat{j}+\hat{k},$$\overrightarrow{O B}=2 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k},$$\overrightarrow{O C}=3 \hat{i}+6 \hat{j}-3 \hat{k}$

ক. $AB$ এর মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় কর ।

খ. দেখাও যে, $\mathrm{ABC}$ একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

গ. $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ ভেক্টরদ্বয় দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর ।

ক. $\vec{a}=\hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}, \vec{b}=4 \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$ হলে $|\vec{a}-3 \overrightarrow{\mathrm{b}}|$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $OA, OB, OC$ একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর ধার হলে ঘনবস্তুটির আয়তন নির্ণয় কর ।

গ. $ABC$ ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি $AD, BE$ ও $CF$ হলে, $A, B, C$

এর স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে,$\overrightarrow{\mathbf{AD}}+\overrightarrow{\mathbf{BE}}+\overrightarrow{\mathbf{CF}}=\underline 0$

তিনটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k},-\hat{i}-\hat{j}+8 \hat{k}$ এবং $-4 \hat{i}+4 \hat{j}+6 \hat{k}$

ক. প্রথম ভেক্টরের মান ও এ ভেক্টরের উপর দ্বিতীয় ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপকে সন্নিহিত বাহু

ধরে অঙ্কিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

খ. দেখাও যে, বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করে।

গ. x, y ও z অক্ষের উপর ভেক্টরগুলির অভিক্ষেপ দ্বারা গঠিত ম্যাট্রিক্স $A$ হলে $\mathrm A^{-1}$ নির্ণয় কর।

$\overline{\mathrm{P}}=3 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k},$$\bar{Q}=\hat{i}+3 \hat{k},$$\bar{R}=2 \hat{i}+5 \hat{j}-4 \hat{k}$

ক. $\overline{\mathrm {P}}$ ও $\overline{\mathrm{Q}}$ এর লব্ধি ভেক্টর x-অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।

খ. $\overline{\mathrm{P}}$ ও $\overline{\mathrm{R}}$ ভেক্টর দুইটি দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর ।

গ. $\overline{\mathrm{P}}, \overline{\mathrm{Q}}$ ও $\overline{\mathrm {R}}$ ভেক্টরগুলির $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ এর সহগ দ্বারা গঠিত ম্যাট্রিক্স $\mathrm A$ হলে $\mathrm A^{-1}$ নির্ণয় কর।

$\overline{\mathrm{P}}=2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k},$$\bar{Q}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k},$$\bar{R}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$

ক. x-অক্ষের উপর $\overline{\mathrm{P}}-\overline{\mathrm{Q}}$ এর উপাংশ নির্ণয় কর।

খ. $\overline{\mathrm {P}}$ ও $\overline{\mathrm {Q}}$ যে তলে অবস্থিত তার উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

গ. $\overline{\mathrm{P}}, \overline{\mathrm{Q}}$ ও $\overline{\mathrm{R}}$ ভেক্টরের $\hat{\mathrm i}, \hat{\mathrm j}$ ও $\hat{\mathrm{k}}$ এর সহগগুলিকে কলাম বিবেচনা করে

গঠিত ম্যাট্রিক্স $A$ হলে $\mathrm A^{-1}$ নির্ণয় কর।

$\bar{P}=x \hat{i}+y \hat{j}+2 z \hat{k},$$\bar{Q}=y \hat{i}+3 z \hat{j}-2 x \hat{k}$

এবং $R=$$\left[\begin{array}{ccc}x-2 y & z-y & y \\y & -z & z-y-1 \\y-1 & z-2 & x-3\end{array}\right]$

ক. ভেক্টর পদ্ধতিতে $\mathrm{A}(0,1,2)$ ও $\mathrm{B}(-1,3,0)$ বিন্দু দুইটির দূরত্ব নির্ণয় কর।

খ. $\left[\begin{array}{cc}x-1 & 3 \\z & y+1\end{array}\right]$$=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\2-z & 5-y\end{array}\right]$হলে, $\overline{\mathbf{P}}$ ও $\overline{\mathbf{Q}}$ এর লব্ধি ভেক্টরের উপর $\overline{\mathbf{P}}$ ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর ।

গ. $x=4, y=2, z=3$ হলে $\mathrm{R}^{-1}$ নির্ণয় কর।

$\overline{\mathrm{A}}=4 \hat{\mathrm{i}}+7 \hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}}$ এবং $\vec{B}=3 \hat{i}+4 \hat{j}+7 \hat{k}$

ক. $\overline{\mathrm{U}}=2 \hat{i}+5 \hat{k}$ এবং $\bar{V}=3 \hat{j}+2 \hat{k}$ এর লব্ধি ভেক্টরের মান নির্ণয় কর ।

খ. উদ্দীপকের আলোকে $\bar{A}$ ও $\bar{B}$ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকের আলোকে $\bar{A}$ ও $\bar{A}$ ভেক্টরদ্বয়ের লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

$\vec{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k},$$\vec{b}=5 \hat{i}-4 \hat{j}+\hat{k}$

ক. $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ ও $\vec{b}$ এর লব্ধির মান নির্ণয় কর।

খ. $\vec{a}$ ও $\vec{b}$ এর মধ্যবর্তী কোণ বের করে তার সাহায্যে $\vec{a}$ বরাবর $\vec{b}$ এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।

গ: $\vec{b}$ ও $\vec{b}$ ভেক্টর দুটির উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

$\vec{A}=3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k},$$\vec{B}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$

ক. $P(2,-1,3), Q(3,2,-4)$ হলে $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ নির্ণয় কর।

খ. $\vec{A}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

গ. $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ ভেক্টরদ্বয়ের উপর একটি লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর ।

$\vec{B}=2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k},$$\vec{C}=3 \hat{i}-4 \hat{j}+\hat{k}$

ক. $2 \hat{i}+3 \hat{k}$ ভেক্টরটি কোন তলে অবস্থান করে- ব্যাখ্যা কর।

খ. $\overrightarrow{\mathrm {B}}$ বরাবর $\overrightarrow{\mathrm{C}}$ এর উপাংশ নির্ণয় কর ।

গ. $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ ও $\overrightarrow{\mathbf{C}}$ এর উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর ।

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ যথাক্রমে $A$ এবং $C$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর।

ক. $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ ভেক্টর বরাবর $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ ভেক্টরের উপাংশ নির্ণয় কর।

গ. $\text { OABC }$ সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$\vec{A}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}+5 \hat{\mathrm{k}}$

ক. $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ স্কেলার গুণনের বিনিময় সূত্র মেনে চলে- ব্যাখ্যা কর।

খ. $(\overrightarrow{\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B}})$ এর উপরে $(\vec{A}-\vec{B})$ এর লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।

গ. $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ ভেক্টরের সমতলের উপর একটি লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

$\overrightarrow{\mathrm{P}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}=3 \hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}$$+4 \hat{\mathrm{k}} ; \overrightarrow{\mathrm{Q}}$$=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$$=3 \hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}}$ যেখানে $O$ মূল বিন্দু।

ক. $|\vec{P}+\vec{Q}|=$ কত?

খ. দেখাও যে,$(\vec{P} \times \vec{Q})$$\cdot(\vec{P}-\vec{Q})=0$

গ. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ এর মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টরের সাথে অক্ষত্রয়ের উৎপন্ন কোণগুলোর মধ্যে

বৃহত্তম কোণটি নির্ণয় কর ।