Questions in this chapter

$\vec{a}=2 \hat{i}+n \hat{j}-\hat{k},$$\vec{b}=6 \hat{i}+6 \hat{j}-3 \hat{k}$

ক. $\overrightarrow{\mathrm{p}}=2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}}$ ভেক্টরটি z অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর ।

খ. $n$ এর মান কত হলে $\overrightarrow{\mathrm {a}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ পরস্পর সমান্তরাল হবে?

গ. $n = 3$ হলে, $(\vec{a}+\vec{b})$ বরাবর $\vec{b}$ এর উপাংশ নির্ণয় কর।

পাশের চিত্রে $\text { ОАCB }$ একটি সামান্তরিক।

ক. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ নির্ণয় কর।

খ. $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ বরাবর $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ এর উপাংশ নির্ণয় কর।

গ. $\triangle \mathrm{OAC}$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$\vec{P}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k} ;$$\vec{Q}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$

এবং $\vec{R}=a \hat{i}-3$$\hat{j}+5 \hat{k}$ তিনটি ভেক্টর।

ক. $\overrightarrow{\mathbf{p}}$ এর দিক বরাবর একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

খ. $a$ এর কোন মানের জন্য $(\vec{P} \times \vec{Q}) \cdot \vec{R}=0$ হবে ।

গ. $\overrightarrow{\mathrm{P}}+\overrightarrow{\mathrm{Q}}$ বরাবর $\overrightarrow{\mathrm{Q}}$ এর উপাংশ নির্ণয় কর।

$\text { A, B, C }$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে

$\hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}},$$-\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+8 \hat{\mathrm{k}}$ এবং $-4 \hat{i}+4 \hat{j}+6 \hat{k}$

ক. $0.8 \hat{\mathrm{i}}+\mathrm{mk}$ একটি একক ভেক্টর হলে $\mathrm m$ এর মান কত?

খ. ১ম দুইটি ভেক্টরের লব্ধি ভেক্টর এর উপর ৩য় ভেক্টরটির অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $A, B, C$ বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করে।

মূল বিন্দু $O$ এর সাপেক্ষে $L$ ও $M$ এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $2 \hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}}$ এবং $5 \hat{i}+\hat{j}+c \hat{k} ; c$ একটি ধ্রুবক। এমন একটি বিন্দু $N$ নেয়া হলো, যাতে $\text { OLMN }$ একটি আয়তক্ষেত্র হয় ।

ক. $2 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}}$ ভেক্টরটির দিক বরাবর একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

খ. $N$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় কর।

গ. $N$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(2,3,4)$ হলে $MN$ সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।

$A=2 \hat{i}-6 \hat{j}-3 \hat{k},$$B=4 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$

ক. $\mathrm {m \hat{i}+0.6 \hat{j}}$ একটি একক ভেক্টর হলে $m$ এর মান কত ?

খ. $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ ভেক্টরের দিক বরাবর $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ ভেক্টরের উপাংশ নির্ণয় কর।

গ. $(\vec{A}+\vec{B})$ ও $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ ভেক্টর দুইটির লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

$\mathrm{A},(1,3,2),$$\mathrm{B}(2,-1,1)$ ও $\mathrm{C}(-1,2,3)$ বিন্দু তিনটি একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু এবং $O$ বিন্দু

ক. $\text { PQR }$ ত্রিভুজের $P$ বিন্দুগামী মধ্যমাকে $\vec{\mathrm{PQ}}$ ও $\vec{\mathrm{RP}}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর

খ. $\angle \mathrm{AOC}$ নির্ণয় কর ।

গ. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

(i) আটলান্টিক মহাসাগরে দুইটি সাবমেরিন সরলরেখা বরাবর চলছে। মূলবিন্দু $O$ এর সাপেক্ষে তাদের গতিপথের ভেক্টর

সমীকরণ যথাক্রমে: $r=3 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}+\lambda$$(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$ এবং $r=9 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$$+\mu(4 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$

(ii) P বিন্দুর স্থানাঙ্ক $( 6,0, − 2 )$ এবং $Q$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $10 \hat{j}-11 \hat{k}$

ক. দেখাও যে, সাবমেরিন দুইটির গতিপথ পরস্পর লম্ব।

খ. সাবমেরিনদ্বয়ের গতিপথের ছেদবিন্দু $\mathrm A$ এর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় কর।

গ. প্রতি একক দূরত্ব $10 \sqrt{217}$ মিটার হলে $\text { PQ }$ দূরত্ব কিলোমিটারে নির্ণয় কর।

$\vec{A}=2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}+5 \hat{k}$ দুইটি ভেক্টর ।

ক. $\vec{A}$ বরাবর $\vec{B}$ এর উপাংশ নির্ণয় কর।

খ. $\vec{A}$ ভেক্টরটি অক্ষত্রয়ের সাথে যে কোণগুলো উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর ৷

গ. ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ ৷

দৃশ্যকল্প—১ : $D=\left\lvert\, \begin{array}{c}a \\b \\a x+b y\end{array}\right.$$\quad$$\begin{array}{c}b \\c \\b x+c y\end{array}$$\quad$$\left.\begin{array}{ccc}a x+b y \\b x+c y \\ 0\end{array}\right|$

দৃশ্যকল্প-২ : $\vec{A}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}, \vec{B}=a \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$

ক. $\vec{A}$ ভেক্টরটি $z$ অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তার পরিমাণ নির্ণয় কর ৷

খ. $D$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

গ. $\overrightarrow{\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}$ ও $\vec{A}-\vec{B}$ পরস্পর লম্ব হলে, $a$ এর মান নির্ণয় কর।

তিনটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k},$$-\hat{i}-\hat{j}+8 \hat{k}$ ও

$-4 \hat{i}+4 \hat{j}+6 \hat{k}$ এবং $D=$$\left|\begin{array}{ccc}(b+c)^{2} & a^{2} & a^{2} \\b^{2} & (c+a)^{2} & b^{2} \\c^{2} & c^{2} & (a+b)^{2}\end{array}\right|$

ক. $-\hat{i}-\hat{j}+8 \hat{k}$ ও $-4 \hat{i}+4 \hat{j}+6 \hat{k}$ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $D=2 a b c(a+b+c)^{3}$

গ. বিন্দু তিনটি দ্বারা কী ধরনের ত্রিভুজ গঠন করা যায় ?

$\overrightarrow{\mathrm{A}}=\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{B}}=6 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{C}}=\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}$

ক. উদাহরণসহ বি-প্রতিসম ম্যাট্রিক্স ব্যাখ্যা কর ।

খ. $\vec{A}$ বিন্দুগামী এবং $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার পরামিতিক সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকে উল্লেখিত ভেক্টরগুলির $\hat{\mathrm{i}}, \hat{\mathrm{j}}, \hat{\mathrm{k}}$ এর সহগ দ্বারা গঠিত ম্যাট্রিক্স $P$ হলে নির্ণায়কের

সাহায্যে $\mathrm{PX}=\mathrm{Q}$ সমীকরণ জোটের সমাধান কর যেখানে $X=\left[\begin{array}{ll}x & z\end{array}\right]^{t}$ এবং $Q=\left[\begin{array}{lll}2 & 3 & 4\end{array}\right]^{t} .$

$\vec{A}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k},$$\vec{B}=2 \hat{i}-6 \hat{j}-3 \hat{k}$ এবং $\vec{C}=4 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$

ক. ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে,

$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$

খ. $\overrightarrow{\mathrm{D}}=\overrightarrow{\mathrm{A}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}$ হলে $\vec{c}$ ও $\vec{D}$ ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

গ. $(\vec{A}+\vec{C})$ ভেক্টর বরাবর $(\vec{A}-\vec{C})$ ভেক্টরের উপাংশ নির্ণয় কর ।

a এর মান নির্ণয় কর, যেন $2 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{k}}, 3 \hat{\mathbf{i}}-2 \hat{\mathbf{j}}+4 \hat{\mathbf{k}}$ এবং $\overline{\mathbf{i}}-3 \hat{\mathbf{j}}+\mathbf{a} \hat{\mathbf{k}}$ এ তিনটি ভেক্টর একই সমতলে থাকে।

$\underline{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$ এবং $\underline{b}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ ভেক্টর দুটির উপর লম্ব একটি ভেক্টর নির্ণয় কর যার মান 5 একক।

একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর যা $\bar{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ এবং $\overline{\mathrm{b}}=\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}$ ভেক্টরদ্বয়ের সমতলীয় এবং ä ভেক্টরের উপর লম্ব

$ABC$ ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় $A(1, 2, 3), B (2,3, 1 )$ এবং $C(3,1,2)$ হলে, ভেক্টর পদ্ধতিতে $ABC$ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$\vec{B}=2 \hat{i}-4 \hat{j}+3 \hat{k}$ ভেক্টর এর লম্ব দিক বরাবর $\vec{A}=-\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ ভেক্টর এর অংশক $\overrightarrow{\mathrm{W}}$ নির্ণয় কর। অত:পর $\overrightarrow{\mathrm{W}}$ ভেক্টরের - উপর $\vec{A}$ ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=3 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=5 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}$ হলে $AB$ ও $AC$ কে সন্নিহিত বাহু ধরে অংকিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$\lambda$ এর কোন মানের জন্য নিম্নের ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হবে? প্রদত্ত ভেক্টরত্রয়ের সমতলের ওপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর। $\overrightarrow{\mathbf{a}}=\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}}, \\\overrightarrow{\mathbf{b}}=2 \hat{\mathbf{i}}-4 \hat{k} \text { } \\\overrightarrow{\mathbf{c}}=\hat{\mathbf{i}}+\lambda \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}}$