Questions in this chapter

$\text { (i) } X=R-\left\{-\frac{1}{5}\right\}, Y=R-\left\{\frac{1}{5}\right\}$ এবং

$\mathrm{f}: \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{Y}, \mathrm{g}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}, \mathrm{h}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$ ফাংশনগুলি যথাক্রমে

$f(x)=\frac{x-3}{5 x+1}, g(x)=2 x+3, h(x)=\sin x$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত।

ক. $\text { fog }(1)$ নির্ণয় কর ।

খ. বিদ্যমানতা যাচাইপূর্বক $f^{-1}$ নির্ণয় কর।

গ. $-\pi \leq x \leq \pi$ ব্যবধিতে $h(2x)$ এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।

$y=f(x)=\frac{x+5}{3 x-1} ;\left(x \neq \frac{1}{3}\right)$ দ্বারা একটি বাস্তব সংখ্যায় ফাংশন সংজ্ঞায়িত ।

ক. $f(x)$ ফাংশনটি এক-এক ফাংশন কি-না তা যাচাই কর ।

খ. $f(y)$ কে x-এর মাধ্যমে সরল আকারে প্রকাশ কর ।

গ. $f(x)$ এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

$f(x)=\frac{x-3}{2 x+1}\left(x \neq-\frac{1}{2}\right), g(x)=\frac{4 x-7}{2 x-4}(x \neq 2)h(x)=\frac{1+x}{1-x} .$

ক. দেখাও যে, $f(x)$ এক-এক ফাংশন ।

খ. দেখাও যে, $g(x)=g^{-1}(x)$

গ. $h$ ফাংশনটি কখন সংজ্ঞায়িত নয়? প্রমাণ কর যে, $h(\cos \theta)=\cot ^{2} \frac{\theta}{2}$

$f(x)=x^{2}+6 x+15$ এবং $g(x)=5 x+3$ দুইটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত।

ক. $f(x)$ কে $(x+a)^{2}+b$ আকারে প্রকাশ কর ।

খ. $fog(x)$ এবং $gof(x)$ নির্ণয় কর।

গ. $g(x)$ এবং $g^{-1}(x)$ এর লেখচিত্রটি অঙ্কন কর।

$f(x)=\frac{3}{4} \ln x(x \in \mathbb{R}: x>0)$ এবং $g(x)=\frac{1}{5} \cos 3 x$

ক. $g(x)$ ফাংশনটির পর্যায়কাল নির্ণয় কর।

খ. $f^{-1}(x)$ নির্ণয় করে $f^{-1}(0)$ এবং $f^{-1}(6)$ নির্ণয় কর।

গ. $f(x)$ এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।

$\text { (i) } f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ফাংশন $f(x)=5 x^{2}+3$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত,

$\text { (ii) g: } \mathbb{R}-\left\{-\frac{1}{2}\right\} \rightarrow \mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\}$ ফাংশনটি $g(x)=\frac{x-3}{2 x+1}$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।

ক. $f(x)$ নির্ণয় কর।

খ. মান নির্ণয় কর: $\text { (i) } \mathrm{g}^{-1}(-3) \text {; (ii) } \mathrm{g}^{-1}(6) \text {; }\text { (iii) } \mathrm{g}^{-1}(0) \text {; (iv) } \mathrm{g}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$

গ. $(\mathrm{gof})(x)$ এবং $(fog) (2)$ নির্ণয় কর।

ক. $\phi(x)=\cot ^{-1}\left(1+x+x^{2}\right)$ হলে, দেখাও যে, $\phi(0)+2 \phi(1)+\phi(2)$ এর মান এক সমকোণ ।

খ. $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ফাংশন:

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}3 x-2, \text { যখন} x>4 \\x^{2}-2, \text { যখন }-1 \leq x \leq 1 \\2 x+4, \text { যখন } x<-2\end{array}\right.$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত।

মান নির্ণয় কর: $f(2) \text {; (ii) } f(0) \text {; (iii) } f(6) \text {. }$

গ. $f(x)=\cos 2 x$ এবং $g(x)=\cos 2 x-1$ এর স্কেচ অঙ্কন কর ।

$f(x)$ এর স্কেচ থেকে $g(x)$ এর স্কেচ কিভাবে পাওয়া গেল তা ব্যাখ্যা কর ।

$f(t)=\frac{a t+b}{c t-d}$

ক. দেখাও যে, $f(t)$ ফাংশনটি এক-এক।

খ. $a=1, b=-3, c=3$ এবং $d = -1$ হলে, $f(t)$ ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

গ. $a = d$ হলে, দেখাও যে, $f(\mathrm{t})=f^{-1}(\mathrm{t}) .$

$\text { (i) } f(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \text {; (ii) } g(x)=\frac{2 \mathrm{x}-3}{5 \mathrm{x}+2}\left[\mathrm{x} \neq-\frac{2}{5}\right]$

ক. $\sqrt{x-5}$ এর ডোমেন নির্ণয় কর।

খ. $h(x)=\cos \left(f^{-1}(x)\right)$ হলে, প্রমাণ কর যে,

$h(x) h(y)-\frac{1}{2}\left[h\left(\frac{x}{y}\right)+h(x y)\right]=0$

গ. $\mathrm{g}^{-1}(5)$ এবং $g^{-1}(-2)$ এর মান নির্ণয় কর ।

$\text { (i) } f(x)=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{3}} \text {, (ii) } g(x)=\frac{5 \mathrm{x}+1}{3 \mathrm{x}-1} \text {. }$

ক. $\cos 6 x$ পর্যায়বৃত্ত ফাংশন হলে, এর পর্যায়কাল নির্ণয় কর।

খ. $g(x)$ এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর। দেখাও যে, $g(x)$ ফাংশন এক-এক ।

গ. $f(x)$ এর লেখচিত্র অঙ্কন করে অক্ষদ্বয়ের সাথে এর ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

$g: A \rightarrow B, g(x)=\frac{x-5}{3 x+1}$ যেখানে $A=\mathbb{R}-\left\{-\frac{1}{3}\right\}$

এবং $B=\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{3}\right\} ; h(x)=x^{2}+1$

ক. $f(x)=\left\{\begin{array}{l}3 x-1, x>3 \\x^{2}-2,-2 \leq x \leq 3 \\2 x+3, x<-2\end{array}\right.$ দ্বারা প্রকাশিত ।

$f(2)$ এবং $f(−3)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $(hog)(1)-(goh)(2)=2$

গ. অস্তিত্ব যাচাই পূর্বক $g^{-1}(x)$ নির্ণয় কর।

$\text { (i) } f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(\mathrm{x})=\sqrt{4-\mathrm{x}^{2}}$

$\text { (ii) } g(x)=\frac{5 x-3}{2 x+5}$

ক. $f$ এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

খ. $g(x)$ ফাংশনটির বিপরীতকরণ যোগ্যতা যাচাই কর।

গ. $\mathrm{g}^{-1}(2), \mathrm{g}^{-1}(-1)$ এবং $g(−3)$ নির্ণয় কর ।

$f(x)=e^{x}, g(x)=\sqrt{x}$ এবং $h(x)=16-x^{2}$

ক. $f(x)$ এর ডোমেন নির্ণয় কর।

খ. $[0, 4]$ ব্যবধির মধ্যে $(goh) (x)$ এক-এক এবং সার্বিক কিনা যাচাই কর ।

গ. $f(x)$ এবং $f^{-1}(\mathrm{x})$ এর স্কেচ অঙ্কন করে তাদের বৈশিষ্ট্য বর্ণনা কর।

$f(x)=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ এবং $g(x)=\frac{1+x^{2}+x^{4}}{x^{2}}$ দুইটি ফাংশন

ক. $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \mathrm{h}(\mathrm{x})=2|\mathrm{x}|+5$ ফাংশনের রেঞ্জ নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $f\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)=2 f(x)$

গ. প্রমাণ কর যে, $g\left(\frac{1}{x^{2}}\right)=g\left(x^{2}\right)$

$f(x)=x^{2}-5 x+4$ এবং $g(x)=2 x+3$

ক. দেখাও যে, $g(x)$ একটি এক-এক ফাংশন।

খ. $h(x)=\sqrt{f(x)}$ ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

গ. $(fog)(x)$ এবং $(gof)(x)$ নির্ণয় কর।

$f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}, f(x)=\frac{5}{4} \ln (x)$

$g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; g(x)=\frac{1}{2} \sin \frac{x}{5}$

ক. $g(x)$ এর পর্যায়কাল নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $f(x)$ ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক।

গ. $\sin \frac{x}{5}$ এর স্কেচ থেকে $g(x)$ এর স্কেচ নির্ণয় কর।

$f: \mathbb{R}-\{5\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}$ ফাংশনটি $f(x)=\frac{x+2}{x-5}$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত।

ক. ফাংশনটি এক-এক কিনা যাচাই কর'।

খ. ফাংশনটি সার্বিক কিনা যাচাই কর ।

গ. $g(x)=x+1$ হলে, $(\text { gof)(x) }$ এবং $(fog)(x)$ নির্ণয় করে দেখাও,

$(\mathrm{gof})(2) \neq(fog)(2)$।

$f: \mathbb{R}-\left\{-\frac{1}{2}\right\} \rightarrow \mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\}$ ফাংশনটি

$f(x)=\frac{x-3}{2 x+1}$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত; $\mathrm{g}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ফাংশনটি $g(x)=3 x-4$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত।

ক. $f(t)=\frac{1}{t}$ হলে, দেখাও যে,$f(y)-f(x)=f\left(\frac{x y}{x-y}\right)$

খ. $\left(\operatorname{gof}^{-1}\right)(x)$ নির্ণয় করে দেখাও যে, $\left(\text { gof }^{-1}\right)(3)=-\frac{38}{5}$

গ. $\cos 3 x$ এর স্কেচ থেকে $(\cos 3 x+1)$ এর স্কেচ অঙ্কন কর এবং তা কিভাবে পাওয়া গেল ব্যাখ্যা কর।

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ এবং $\mathrm{g}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ফাংশন দুইটি যথাক্রমে $f(x)=2 x+1$ এবং $g(x)=e^{-x+3}$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত।

ক. $\phi(x)=\tan x$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\phi(\alpha-\beta)=\frac{\phi(\alpha)-\phi(\beta)}{1+\phi(\alpha) \phi(\beta)}$

খ. $g(f(x))$ এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

গ. $g(x)$ এর লেখচিত্র অঙ্কন করে দেখাও যে, $g(x)$ এর রেঞ্জ $=\mathbb{R}_{+}$

$f(x)=|x|$ এবং $g(x)=e^{x}$

ক. ${g}(\sqrt{x})$ এর ডোমেন নির্ণয় কর।

খ. $h(x)=g(2 x)+g(-2 x)$ হলে, দেখাও যে, $h(x+y) \cdot h(x-y)=h(2 x)+h(2 y)$

গ. $f(x)$ এর স্কেচ থেকে রূপান্তরিত ফাংশন $f(x + 3)$ এর স্কেচ অঙ্কন কর।