Questions in this chapter

$g(x, y)=x^{2}+y^{2}-2 x-4 y-4$ এবং $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},f(x)=\frac{3 x+5}{4}$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত দুটি ফাংশন ।

ক. ফাংশন ও অন্বয়ের পার্থক্য দেখাও।

খ. দেখাও যে, $f(x)$ ফাংশনটি এক এক এবং সার্বিক ।

গ. $g(x, y)=0$ বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক $f(x)$ এর রেখার উপর লম্ব হলে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

ক. বৃত্তটি $y$ অক্ষ হতে কী পরিমাণ অংশ কর্তন করে ?

খ. মূলবিন্দুগামী এমন বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উদ্দীপকের বৃত্ত ও ছেদকের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় ।

গ. $\mathrm{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ হলে অস্তিত্ব যাচাইপূর্বক $\mathrm{f}^{-1}(\mathrm{x})$ নির্ণয় কর।

$g(x)=\cot ^{-1}\left(1+x+x^{2}\right)$ একটি বিপরীত $\text { COTANGENT }$ ফাংশন ।

ক. $f(x)=\sqrt{x+3}$ ফাংশনের ডোমেন নির্ণয় কর।

খ. স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে উদ্দীপকে উল্লিখিত ইংরেজি শব্দটির

বর্ণগুলো দিয়ে কতটি শব্দ গঠন করা যাবে ?

গ. দেখাও যে, $g(0)+2 g(1)+g(2)=\frac{\pi}{2}$

$g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ এবং $\mathrm{h}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ যেখানে, $g(x)=2 x+1$ এবং $h(x)=e^{-x+3}$

ক. $10$টি বস্তুর একবারে $5$টি নিয়ে কতগুলি বিন্যাসের মধ্যে $2$টি বিশেষ বস্তু সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

খ. $\mathrm{h}(\mathrm{g}(\mathrm{x}))$ এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

গ. $h(x)$ এর লেখচিত্র অংকনের মাধ্যমে দেখাও $h(x)$ এর ডোমেন $=\mathbb{R}$

$h: \mathbb{R}-\left\{\frac{-2}{7}\right\} \rightarrow \mathbb{R}-\left\{\frac{4}{7}\right\}$ এবং $h(x)=\frac{4 x+3}{7 x+2}$ ফাংশনটির লেখচিত্র একটি $\text { HYPERBOLA. }$

ক. cos {h (– 1) . 0} এর পর্যায় নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $h(x)$ ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক ।

গ. প্রমাণ কর যে, উদ্দীপকের ইংরেজি শব্দটির স্বরবর্ণগুলি একত্রে না রেখে বিন্যাস সংখ্যা,

স্বরবর্ণগুলির অবস্থান পরিবর্তন না করে বিন্যাস সংখ্যার $462$ গুণ ।

$f(x)=x^{2}-2 x+3$ এবং $g: \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}$

$g(x)=\frac{x+2}{x-1}$ দুইটি $\text { FUNCTION. }$

ক. $g(−3)$ নির্ণয় কর ।

খ. $g(x)$ এর বিপরীতযোগ্যতা যাচাইপূর্বক $\text { fog }^{-1}(3)$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. ইংরেজি হরফে লেখা শব্দটির বর্ণগুলো থেকে $3$টি বর্ণ নিয়ে কতগুলি ভিন্ন শব্দ তৈরি করা যায়?

$f(x)=36-x^{2}$ ও g (x) = x – 6 ফাংশন দুইটি $A=(-1,9) \subset \mathbb{Z}$ ব্যবধিতে সংজ্ঞায়িত করা হলো ।

ক. $\frac{f(x)}{g(x)}$এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

খ. $g(0) \hat{i}+g(3) \hat{j}+g(8) \hat{k}$ ভেক্টরটি অক্ষত্রয়ের ধনাত্মক দিকের সাথে যে কোণসমূহ উৎপন্ন করে

তাদের সাইনের বর্গের সমষ্টি নির্ণয় কর ৷

গ. $f(A)$ এর উপাদানগুলো ঊর্ধ্বক্রমে সারি বরাবর নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্স $B$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর ।

$P(x)=(x-2)(8-x)$

ক. $11 x-4 y+13=0$ ও $11 x-4 y+18=0$ সমান্তরাল - সরলরেখা দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।

খ. $P(x)$ এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

গ. $A=\left[\begin{array}{lll}P(1) & P(2) & P(3) \\P(4) & P(4) & P(5) \\P(2) & P(7) & P(8)\end{array}\right]$ হলে $A^{3}+2 A^{2}$ এর মান নির্ণয় কর।

$f(x)=\sqrt{x} ; g(x)=x^{2}-1$

ক. ${ }^{2 n} C_{r}={ }^{2 n} C_{r+2}$ হলে $r$-এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\left[\begin{array}{lll}g(-2) & f(1) & f(4) \\g(\sqrt{3}) & g(\sqrt{5}) & f(9) \\g(1) & f(16) & g(-3)\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্সটির বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর ।

গ. $fog(x)$ সংযোজিত ফাংশনের ডোমেন ও $gof(x)$ এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

$f(x)=\sqrt{x+13}$ এবং $g(x)=x^{2}-17$ দুটি ফাংশন।

ক. $x^{2}-y^{2}=p^{2}$ কে পোলার সমীকরণে প্রকাশ কর ।

খ. $p(x)=\frac{\{f(x)\}^{2}}{gof(x)}$ হলে, $p(x)$ এক-এক কিনা যাচাই কর।

গ. $g(4) \hat{i}+f(23) \hat{j}+f(3) \hat{k}$ ও $f(12) \hat{i}+m \hat{j}-\{g(6)+1\} \hat{k}$

ভেক্টরদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হলে $m$ এর মান নির্ণয় কর।

একটি বাস আজমপুর থেকে আব্দুল্লাহপুর সড়কে $y=4 x+1$ সরলরেখা বরাবর চলছে।

কিন্তু বাসটি হঠাৎ হাউসবিল্ডিং সিগন্যালে ইউটার্ন নিলো। একজন গণিতবিদ ইউটার্নটি

খেয়াল করলো এবং মন্তব্য করলো বাসটির ইউটার্ন

একটি দ্বিঘাত সমীকরণ অনুসরণ করেছে যার গাণিতিক রূপ, $y=p(x)=x^{2}-3 x+7$

ক. ইউটার্নটির রেঞ্জ নির্ণয় করো ।

খ. এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো যার কেন্দ্র প্রদত্ত সড়কের ওপর অবস্থিত

এবং বৃত্তটি মূলবিন্দু এবং $(2, \mathrm{p}(2))$ বিন্দু দিয়ে যায় ।

গ. উদ্দীপকের সমীকরণদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী এবং প্রদত্ত সড়কের 'ওপর অঙ্কিত

লম্ব রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।

$f(x)=\cos (\ln x)$

ক. $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; g(x)=\sin x$ ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপক থেকে প্রমাণ কর যে,

$f(x) f(y)-\frac{1}{2}\left[f\left(\frac{x}{y}\right)+f(x y)\right]=0$

গ. $\mathrm{f}\left(\mathrm{e}^{3 x}\right)$ হলে $-180^{\circ} \leq x \leq 180^{\circ}$ ব্যবধিতে উদ্দীপকের ফাংশনটির

লেখচিত্র অঙ্কন করে বৈশিষ্ট্য উল্লেখ কর।

$f(x)=x^{2}+4 x+1$ এবং $g(x)=2 x-3$ দুইটি ফাংশন ।

ক. $f(x)$ কে $(x+a)^{2}+b$ আকারে প্রকাশ কর ।

খ. $y=x^{2}$ এর লেখ হতে $f(x)$ এর লেখচিত্র অংকন কর।

গ. $(fog)(x)$ এক-এক ফাংশন কিনা ব্যাখ্যা কর ।

দুইটি ফাংশন $f$ ও $g$ কে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে

যেন,$f: x \rightarrow 1+\frac{3}{x}, x \neq 0$ এবং $g: x \rightarrow 2 x \mid$

ক. $f(x)$ এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

খ. $g(x)$ এর ডোমেন, $\mathrm{f}^{-1}$ ও $g^{-1}$ নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $(\mathrm{gof})^{-1}(x) \neq(fog)^{-1}(x)$

দৃশ্যকল্প-১: $f(x)=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$

দৃশ্যকল্প-২: $g(x)=\frac{1+x^{2}+x^{4}}{x^{2}}$

ক. $y=\frac{x}{|x|}$ ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর ।

খ. দৃশ্যকল্প-১ থেকে দেখাও যে, $f\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)=2 f(x)$

গ. দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রমাণ কর যে, $g\left(x^{2}\right)=g\left(\frac{1}{x^{2}}\right)$

$f(x)=\ln (\sin x)$ এবং $\varphi(x)=\ln (\cos x)$

ক. $\text { sine }$ ও $\text { cosine }$ ফাংশনের পর্যায় নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $e^{2 f(x)}+e^{2 \varphi(x)}=1$

গ. দেখাও যে, $e^{2 \varphi(a)}-e^{2 f(a)}=e^{\varphi(2 a)}$

$f(x)=x^{2}+3 x-4$ এবং $g(x)=e^{x}+e^{-x}$ দ্বারা দুটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হল ।

ক. $\cos \frac{\theta}{4}$ ফাংশনের মৌলিক পর্যায় নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $g(x+y) \cdot g(x-y)=g(2 x)+g(2 y)$

গ. $f(x)$ ফাংশনের লেখচিত্র থেকে রেঞ্জ নির্ণয় কর।

$\text { (i) } f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত;

$\text { (ii) } f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}, f(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{x}+2}{\mathrm{x}-1} \text {, }$ যেখানে $A=\mathbb{R}-\{1\}, \mathrm{B}=\mathbb{R}-\{1\}$

ক. এক-এক ফাংশনের সংজ্ঞা লেখ।

খ. প্রমাণ কর যে, (i) এর ফাংশনটি এক-এক নয়।

গ. (ii) এর ফাংশন থেকে $f^{-1}(x)$ নির্ণয় কর।

(i) সেট $A=\{2,3,4,5\}, B=\{1,5,6,7,13,15,22\}$

এবং $f: A \rightarrow B$ ফাংশনকে $f(x)=x^{2}-3$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলো।

(ii) বাস্তব সংখ্যার দুইটি ফাংশন $f$ এবং $g$ কে যথাক্রমে $f(x)=2 x+1$ এবং $g(x)=x^{2}+1$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলো ।

ক. উদাহরণের মাধ্যমে অন্বয় ও ফাংশনের পার্থক্য ব্যাখ্যা কর।

খ. (i) এর ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

গ. (ii) এর ফাংশন দুইটি থেকে প্রমাণ কর যে, $(g \circ f)(2) \neq(f o g)(2)$

(i) ফাংশন $f$ কে $f(x)=\frac{2 x+1}{x-5}\{x \in \mathbb{R}: x \neq 5\}$ দ্বারা = $x-5$ সংজ্ঞায়িত করা হলো।

(ii) ফাংশন $f$ কে $f(x)=2 x-3\left\{x \in \mathbb{R}: x \geq \frac{3}{2}\right\}$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলো ।

ক. উদাহরণের মাধ্যমে অভেদ ফাংশন ব্যাখ্যা কর ।

খ. (i) থেকে $\mathrm{f}^{-1}$ এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

গ. একই অক্ষদ্বয়ে $f$ এবং $f^{-1}$ এর স্কেচ অঙ্কন কর। [উদ্দীপকের (ii) থেকে]