Questions in this chapter

$f(x)=\frac{3 x-5}{4 x+7}, g(x)=2 x-9$ এবং $\mathrm{h}: \mathbb{R}-\left\{-\frac{2}{7}\right\}\rightarrow \mathbb{R}-\left\{\frac{4}{7}\right\}, h(x)=\frac{4 x+3}{7 x+2}$ তিনটি ফাংশন ।

ক. $f(x)$ এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

খ. $(f o p)(x)=g(x)$ হলে, $(\mathrm{gop})(4)$ নির্ণয় কর।

গ. $h(x)$ ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা যাচাই কর।

$f(x)=x^{2}+3 x+1, g(x)=\sqrt{2 x-10}$

ক. $f(x)=19$ হলে, x এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\text { (gof)(x) }$ এর ডোমেন নির্ণয় কর।

গ. $f(x)$ ফাংশনের এবং এর রূপান্তরিত ফাংশন $f(x + 4)$ এর স্কেচ অঙ্কন কর ।

$f(x)=\sqrt{x}, g(x)=x^{2}-1$

ক. $g^{-1}(\{-1,8\})$ এর মান নির্ণয় কর ৷

খ. $(fog)(x)$ সংযোজিত ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

গ. $g(x)$ ফাংশনের এবং এর রূপান্তরিত ফাংশন $g(2x)$ এর স্কেচ অঙ্কন কর।

$\mathrm{f}:\{\mathrm{x} \in \mathbb{R}: \mathrm{x} \geq 0\} \rightarrow \mathbb{R}$ কে $f(x)=x^{2}+1$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলো ।

ক. $f(x)$ এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{f}^{-1}([1,10])$ নির্ণয় কর।

গ. $f(x)$ এর লেখচিত্র থেকে $f^{-1}(x)$ এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।

$g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ফাংশনটি $g(x)=2 x+1, h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

ফাংশনটি $h(x)=\frac{1}{x-2} ; x \neq 2$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত এবং $f(x)=g(x) \times h(x)$

ক. $\mathrm{h}^{-1}(3)$ নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{h}(\mathrm{g}(\mathrm{x}))$ এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{f}^{-1}(x)$ নির্ণয়যোগ্য কিনা যাচাই কর।

$f(x)=2 x+1, f o g(x)=x^{2}$

ক. $h(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+4 x, x \geq 2 \\x-2, x<2\end{array}\right.$ হলে, $h(−5)$ নির্ণয় কর।

খ. $g(x)$ এর রেঞ্জ নির্ণয় কর ।

গ. অস্তিত্ব যাচাই পূর্বক $\mathrm{f}^{-1}(\mathrm{x})$ নির্ণয় কর ।

$f(x)=x^{2}+1, x \in \mathbb{R}$ এবং $g(x)=\sqrt{x}, x \in \mathbb{R}^{+} \text {. }$

ক. $f(x)$ এক-এক ফাংশন কিনা যাচাই কর।

খ. $(f o g)^{-1}$ নির্ণয় কর যেখানে, $fog$ এক-এক ও সার্বিক ।

গ. $gof$ এর স্কেচ অঙ্কন কর।

$A=\{-4,2\}, B=\mathbb{R}-\{3\}, C=\mathbb{R}-\{1\}$

$D=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & -1 \\5 & 2 & 0 \\0 & 1 & 3\end{array}\right]$ এবং $f(x)=x^{2}+2 x+3$

ক. $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ হলে, $f$ এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

খ. $f(D)$ নির্ণয় কর।

গ. $g: B \rightarrow C$ ফাংশনটি $g(x)=\frac{x-2}{x-3}$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে,

দেখাও যে, $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ একটি বিপরীতযোগ্য ফাংশন।

$f(x)=x^{2}+3 x+1, g(x)=2 x-3$ এবং $\bar{A}=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & -1 \\5 & 1 & 0 \\0 & 1 & 3\end{array}\right]$

ক. $7 \tan (-3 \theta)$ ফাংশনের পর্যায় নির্ণয় কর।

খ. $(\text { gof })^{-1}(-1)$ নির্ণয় কর ।

গ. $h(x)=x f(x)+2 g(x)+6$ হলে, $h(A)=I$ সমীকরণ থেকে $A^{-1}$ নির্ণয় কর ।

$f(x)=x^{2}+1, g(x)=x-1$

ক. $f(x)=\ln (x)$ ও ${\phi}(x)=x^{3}$ হলে, দেখাও যে, $f(\phi(x))=3 \mathrm{f}(\mathrm{x})$

খ. $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ হলে, $\mathrm{f}^{-1}([0,17])$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $3 f(x)+3 f(y)-29 g(x)-19 g(y)+2=0$ এর একটি জ্যা এর সমীকরণ

$x – y + 2 = 0$ হলে, এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

$f(x)=\frac{x^{4}-49}{x^{2}+7}, g(x)=\sqrt{x+3}$ এবং $g o p(x)=\sqrt{\frac{3 x^{2}+2 x+3}{1+x^{2}}}$ তিনটি ফাংশন ।

ক. $r(x)=\left\{\begin{array}{l}\lambda x-6 ; x \leq 0 \\\lambda x+6 ; x \geq 0\end{array}\right.$ এবং $r(2) =$ 0 হলে, $\lambda$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. $gof$ এর ডোমেন নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $p(x)$ এক-এক ফাংশন নয় ।

$f(x)=\ln x$ এবং $g(t)=t^{2}-2 t+1$

ক. $\operatorname{gof}\left(e^{3}\right)$ মান নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে,$\left|\begin{array}{lll}f\left(\frac{x}{2}\right) & f\left(\frac{y}{2}\right) & f\left(\frac{z}{2}\right) \\f\left(\frac{2 x}{3}\right) & f\left(\frac{2 y}{3}\right) & f\left(\frac{2 z}{3}\right) \\f\left(\frac{3 x}{2}\right) & f\left(\frac{3 y}{2}\right) & f\left(\frac{3 z}{2}\right)\end{array}\right|=0$

গ. ${A}=\left[\begin{array}{rrr}g(1) & f(e) & 2 f(e) \\f(e) & g(2) & 3 f(e) \\2 f(e) & 3 f(e) & g(3)\end{array}\right]$ হলে $A^{-1}$ নির্ণয় কর।

$f(x)=|x-2|$ এবং $g(x)=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+x+x^{2}}\right)$

ক. $h(x)=\left\{\begin{aligned}x^{2}+1 ; & x \geq 3 \\x+3 ; & x<0\end{aligned}\right.$ হলে, $h(3)$ নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $g(0)+2 g(1)+g(2)=\frac{\pi}{2}$

গ. $f(x)$ এর স্কেচের সাহায্যে $P(x)=-|x+2|$ এর স্কেচ অঙ্কন কর ।

$f(x)=x^{2}-2 x+3$ একটি $\text { quadratic }$ ফাংশন ।

ক. দেখাও যে, $f(x)$ ফাংশনটি এক-এক ফাংশন নয় ।

খ. উদ্দীপকে উল্লেখিত ইংরেজি শব্দটির ব্যঞ্জনবর্ণগুলি একত্রে না রেখে কতভাবে সাজানো যায় ৷

গ. $f(x)$ এর স্কেচের সাহায্যে $f(3x)$ এর স্কেচ অঙ্কন কর ।

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=e^{-3 x}$ এবং $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=(x+3)^{2}$ দুইটি ফাংশন ।

ক. $\operatorname{cosec} 6 x$ এর পর্যায় নির্ণয় কর।

খ. $f(Inx)$ ফাংশনটি এক-এক কিনা যাচাই কর ।

গ. $g(x)$ ফাংশনটির লেখচিত্র অঙ্কনপূর্বক তার বৈশিষ্ট্য উল্লেখ কর।

দৃশ্যকল্প-১: $A, B \subseteq \mathbb{R}$ এবং $f(x): A \rightarrow B$ হলে, $f(x)=(x+1)^{2}$ ফাংশনটির বিপরীত ফাংশন $\mathrm{f}^{-1}(\mathrm{x})$ বিদ্যমান ।

দৃশ্যকল্প-২: $g(x)=\sin x$

ক. যদি $f(x)=\frac{3 x+5}{3 x-5}$ হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে, $\frac{f(x)+1}{f(x)-1}=\frac{3 x}{5}$

খ. $A$ এবং $B$ সেটের মান নির্ণয় কর; যেখানে $A$ বৃহত্তম

গ. $\mathrm{y}=\mathrm{g}(2 \mathrm{x}) ; 0 \leq \mathrm{x} \leq \pi$ এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=e^{\frac{x}{5}}$

$g: A \rightarrow B, g(x)=\frac{3 x+1}{2 x-1}$ যেখানে

$A=\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\}$ এবং $\mathbf{B}=\mathbb{R}-\left\{\frac{3}{2}\right\}$

ক. $f(x)=\ln (\sin x)$ ও $\phi(x)=\ln (\cos x)$ হলে দেখাও যে, $\mathrm{e}^{2 \phi(a)}+\mathrm{e}^{2 f(\mathrm{a})}=1$

খ. $f(x)$ এর লেখচিত্র অঙ্কনপূর্বক বৈশিষ্ট্য উল্লেখ কর ।

গ. অস্তিত্ব যাচাইপূর্বক $g^{-1}(x)$ নির্ণয় কর।

$f(x)=\log _{10} x$ ও $\phi(x)=x^{n}$

ক. $A=[-3,5]$ এবং $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ ফাংশনটি $f(x)=2 x^{2}-7$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত।

$f(\mathrm{t}-2)$ নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $f(\phi(\mathrm{x}))=\mathrm{n} f(\mathrm{x})$

গ. $f(x)$ এর স্কেচ অঙ্কন করে বৈশিষ্ট্য পর্যবেক্ষণ কর ।

$f(x)=x^{2}+3 x, g(x)=2 x-3$ এবং $A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & -1 \\2 & 3 & 4 \\-4 & 5 & 6\end{array}\right]$

ক. $f(g(2))$ নির্ণয় কর।

খ. $f(A)+2 I$ নির্ণয় কর।

গ. $f(x)$ এর স্কেচের সাহায্যে $f(x)-1$ এর স্কেচ অঙ্কন কর।

$f(x)=x^{3}+2 x^{2}+3 x, g(x)=x^{2}-3$

এবং $A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & -1 \\-1 & 2 & 0 \\0 & 1 & 3\end{array}\right]$

ক. $\tan \frac{3 x}{2}$ ফাংশনের পর্যায় নির্ণয় কর।

খ. $fog(x)$ নির্ণয় করে তার সাহায্যে $fog(3)$ নির্ণয় কর।

গ. $f(A) = I$ সমীকরণ হতে $A^{-1}$ নির্ণয় কর।