Questions in this chapter

$P=-1+\sqrt{3} \mathbb i$ এবং $Q$ একটি জটিল সংখ্যা,

যেখানে $|Q|=2, \arg P+\arg Q=\frac{\pi}{2}$

ক. $\frac{p}{\bar p}$ নির্ণয় কর।

খ. $\sqrt{\mathrm{P}}=\mathrm{z}$ হলে $\mathrm z+\frac{1}{\mathrm z}$ নির্ণয় কর।

গ. $Q$ নির্ণয় কর।

$x=2+\sqrt{3} \mathrm i$ এবং $y=2-\sqrt{3} \mathrm i$

ক. $\frac{1-\mathrm i x}{1+\mathrm i x}=a-\mathrm i b$ হলে প্রমাণ কর যে, $a^{2}+b^{2}=1$

খ. $\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর ।

গ. দেখাও যে, $x^{2}+x y+\frac{28}{x}=16$

$\mathrm z=x+\mathrm i y, 1$ এর ঘনমূল $1, \omega, \omega^{2}$

ক. $(2 \sqrt{3}-2 \mathrm{i})(-2 \sqrt{3}+6 \mathrm{i})$ এর মডুলাস নির্ণয় কর।

খ, $\arg (\mathrm z-3\mathrm i)=\pi$ এবং $|\mathrm z+6|=5$ হলে $\mathrm z$ নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm i$ এ ঘনমূল তিনটি $=\mathrm i,-\mathrm i \omega,-\mathrm i \omega^{2}$

$x=\sqrt[6]{-64}, \mathrm z_{1}=\sqrt{3}+\mathrm i, \mathrm z_{2}=\sqrt{3}-\mathrm i$

ক. $-4-4 \mathrm i$ এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm x=\pm 2 \mathrm i, \pm \mathrm z_{1}, \pm \mathrm z_{2}$

গ. দেখাও যে, $\mathrm z_{1}^{2}+\mathrm z_{1}\mathrm z_{2}+\frac{8 \sqrt{3}}{\mathrm z_{1}}=12$

$\mathrm z_{1}=\frac{1+5 \mathrm i}{1-2 \mathrm i}+\frac{5-3 \mathrm i}{2+3 \mathrm i}, \mathrm z_{2}=\frac{\mathrm i}{1+\mathrm i}$

ক. $\mathrm i$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর

খ. $\mathrm{z}_{2}$ ও $\bar{\mathrm z}_{2}$ দ্বারা সূচিত বিন্দুর অবস্থান আর্গন্ড চিত্রে দেখাও ।

গ. ${\mathrm z}_{1}$ এর আর্গুমেন্ট ষাটমূলক পদ্ধতিতে দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর ।

$\mathrm z=\frac{4}{\cos \theta+\mathrm i \sin \theta}=x+\mathrm i y, p=\frac{\bar{ z}}{\mathrm z}$

ক. $|2 \mathrm z-1|=|\mathrm z-2|$ হলে দেখাও যে,$x^{2}+y^{2}=1$

খ. প্রমাণ কর যে, $x^{2}+y^{2}=16$

গ. প্রমাণ কর যে, $\bar{p}=\frac{1}{p}=\frac{\mathrm x^{2}-y^{2}+2 \mathrm x y \mathrm i}{\mathrm x^{2}+y^{2}}$

$z_{1}=2\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+\mathrm i \sin \frac{2 \pi}{3}\right), z_{2}=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+\mathrm i \sin \frac{\pi}{3}\right)$

ক. $\mathrm z_{1} \mathrm z_{2}$ এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

খ. $\left|\mathrm z_{1}-\mathrm z_{2}\right|$ নির্ণয় কর।

গ. $\frac{\mathrm{z}_{1}}{\mathrm{z}_{2}}$ দ্বারা সূচিত বিন্দুর অবস্থান আর্গন্ড চিত্রে দেখাও।

$\mathrm z_{1}=4+4 \mathrm i, z_{2}=3-5 \mathrm i$

ক. $Z_{1}$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{z}_{1} \mathrm{z}_{2}$ এর আর্গুমেন্ট তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত ষাটমূলক পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

গ. আর্গন্ড চিত্রে $Z_{1}$ ও $Z_{2}$ দ্বারা সূচিত বিন্দুর সাহায্যে $\mathrm z_{1}+\mathrm z_{2}, \mathrm z_{1}- \mathrm z_{2}$ ও $\overline{\mathrm z_{2}}$ দ্বারা

সূচিত বিন্দুগুলির অবস্থান দেখাও ৷

$\mathrm{P}=7-24 \mathrm{i}, \mathrm{Q}=1+\mathrm{i}, \mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy}$

ক. $P$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

খ. আর্গন্ড চিত্রে $P$ ও $Q$ দ্বারা সূচিত বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব নির্ণয় কর।

গ. $(\mathrm z+1)(5-2 \mathrm i)=7+3 \mathrm i$ হলে $\mathrm z$ নির্ণয় কর।

$\mathrm z=1-\mathrm i \sqrt{x^{2}-1}, \mathrm z_{1}=1-\mathrm i$

ক. $\left|\mathrm z+\mathrm z_{1}\right|$ নির্ণয় কর ।

খ. $y=\frac{\bar{\mathrm z}_{1}}{\sqrt{2}}$ হলে দেখাও যে, $y^{6}+y^{4}+y^{2}+1=0$

গ. $\sqrt{z}=M+\mathrm i N$ হলে, $|\mathrm{M}-\mathrm{\mathrm iN}|$ নির্ণয় কর।

$\mathrm{z}=3+4 \mathrm{i}$

ক. প্রমাণ কর যে, $\left(1-\omega+\omega^{2}\right)^{2}+\left(1+\omega-\omega^{2}\right)^{2}=-4$

খ. $x=\frac{\bar{\mathrm z}}{\sqrt{2}}$ হলে দেখাও যে, $4 x^{4}+28 x^{2}+625=0$

গ. দেখাও যে, $\left|\sqrt{\mathrm z}+\frac{1}{\sqrt{\mathrm z}}\right|=4 \sqrt{\frac{2}{5}}$

$\mathrm z=(3+4 i)^{\frac{1}{2}} \ldots \ldots(i)$

$\sqrt[3]{a+\mathrm i b}=x+i y....(ii)$

ক. $\sqrt[3]{-1}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $\frac{1}{\mathrm z}+\frac{1}{\mathrm z}=\frac{4}{5}$

গ. (ii) হতে দেখাও যে, $-2\left(x^{2}+y^{2}\right)=\frac{a}{\mathrm x}-\frac{b}{y}$

$a=\sqrt[4]{-4}, b=\sqrt[3]{1}$

ক. $\mathrm i$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $b$ এর মান তিনটির সমষ্টি শূন্য ।

গ. আর্গন্ড চিত্রে $a$ এর মান চারটি দ্বারা সূচিত বিন্দু চারটি যে চতুর্ভুজ

গঠন করে তার কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

এককের একটি জটিল ঘনমূল, $\mathrm{z}=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3} \mathrm{i})$

ক. $|\bar{\mathrm{z}}|$ নির্ণয় কর।

খ. $|1+\mathrm z|:|1-\mathrm z|$ নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm z^{4}+\frac{1}{z^{4}}+\frac{z^{-1}}{\bar z}=0$

$z=r(\cos \theta+i \sin \theta)$)

ক. দেখাও যে,$\left|\frac{x-\mathrm i y}{x+\mathrm i y}\right|=1$

খ. $|\mathrm z|=1, \theta=-\frac{\pi}{4}$ হলে $\mathrm z^{6}+\mathrm z^{4}+\mathrm z^{2}+1$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. $|\mathrm z|=2, \theta=\frac{2 \pi}{3}$ হলে $Z$ ও $\bar Z$ এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

এককের একটি জটিল ঘনমূল $\omega=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3} \mathrm{i})$ এবং

$\ln \left(1-x+x^{2}\right)=a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+a_{4} x^{4}+\ldots \ldots$

ক. $\omega$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

খ. আর্গন্ড চিত্রে $\sqrt[4]{\omega+\omega^{2}}$ এর যে মানটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত তার

আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $a_{3}+a_{6}+a_{9}+\ldots=\frac{2}{3} \ln 2$

$\mathrm z=3 x+2 y,$ সীমাবদ্ধতা: $x+2 y \geq 4,2 x+y \geq 8, x \geq 0, y \geq 0$

ক. $x=1$ হলে $|z|<5$ হতে y-এর সীমা নির্ণয় কর।

খ. যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে $\mathrm z$ এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।

গ. $x=1, y=2 \sqrt{-1}$ হলে, $\mathrm z$ এর বর্গমূল দুইটির দূরত্ব নির্ণয় কর।

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{-3+\sqrt{-3+\sqrt{-3+\ldots \ldots}}} \\\sqrt{3}+i,\end{array}\right.$

যখন $|x-5|<4$

যখন $|x-5| \nless 4$

ক. x এর কোন ব্যবধিতে উদ্দীপকে উল্লেখিত $f(x)$ ফাংশনের মান $\sqrt{3}+i$ হবে।

খ. উদ্দীপকের আলোকে $|x-5| \nless 4$ হলে $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ ও এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যার

মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

গ. $1<x<9$ হলে $f(x)$ এর মডুলাস নির্ণয় কর।

$\text { (i) }|a+b| \leq|a|+|b| \text {, }$

$\text { (ii) } x+\mathrm i y=\frac{2}{3+\cos \theta+\mathrm i \sin \theta}$

ক. যথাযথ কারণ উল্লেখ করে $\| 7-12|-| 3-5||$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. (i) এর সাহায্যে প্রমাণ কর যে, $|a-b| \geq \| a|-| b||$

গ. (ii) এর সাহায্যে প্রমাণ কর যে, $2\left(x^{2}+y^{2}\right)=3 x-1$

$a, b, c \in \mathbb{R} ; a<b, d=a-c, \sqrt[3]{a+\mathrm i b}=x+\mathrm i y$ এবং

$\mathrm{P}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{bk}}{1+\mathrm{k}}$

ক. প্রমাণ কর যে, $|\mathrm{d}| \leq|\mathrm{a}-\mathrm{b}|+|\mathrm{b}-\mathrm{c}|$

খ. দেখাও যে, $4\left(x^{2}-y^{2}\right)=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}$

গ. $k$ ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা হলে প্রমাণ কর যে, $a<p<b$