Questions in this chapter

$a=\sqrt{5}$ এবং $b=\sqrt[4]{-144}$

ক. $2 \leq x \leq 8$ অসমতাটি পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর।

খ. $b$ এর মান চারটি নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $a$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

$z=x+\mathrm i y, z_{1}=\sqrt{3}+\mathrm i, z_{2}=\sqrt{3}-\mathrm i$

ক. $13 x^{2}-28 x y+17 y^{2}=0$ হলে $x: y$ কত?

খ. প্রমাণ কর যে, $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|>\left|z_{1}+z_{2}\right|$

গ. $\arg (z+1)=\frac{\pi}{6}, \arg (z-1)=\frac{2 \pi}{3}$ হলে, $z$ নির্ণয় কর।

$z=x+\mathrm i y, f(x)=|3 x-4|$

ক. $\operatorname{Re}\left(\mathrm z^{2}\right)$ নির্ণয় কর।

খ. $f(x)<2$ অসমতাকে সংখ্যারেখায় দেখাও।

গ. $|\mathrm z-i| \geq 3$ দ্বারা নির্দেশিত জ্যামিতিক অঞ্চল চিত্রের সাহায্যে দেখাও।

$z=-8-6 i$ এবং

ক. আর্গন্ড চিত্রে $\bar{\mathrm z}$ দ্বারা সূচিত বিন্দুর অবস্থান দেখাও।

খ. সংখ্যারেখায় নির্দেশিত অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর ।

গ. আর্গন্ড চিত্রে $\mathrm z$ এর বর্গমূল দুইটির মডুলাস ও আর্গুমেন্ট দেখাও ।

$z=3 x+4 y$

সীমাবদ্ধতা: $x+y \leq 450,2 x+y \leq 600, x \geq 0, y \geq 0$

ক. $y = 1$ হলে $|\mathrm z| < 1$ হতে x এর সীমা নির্ণয় কর।

খ. যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে সর্বোচ্চকরণ কর।

গ. $x=1, y=\sqrt{-1}$ এবং $\frac{z}{\bar{\mathrm z}}=A+i B$ হলে, $A-\mathrm i B$ নির্ণয় কর।

$P=\frac{5 i-1}{1+i}$ এবং $\mathrm{Q}=2-3 \mathrm{i}$

ক. $|3-Q i|$ নির্ণয় কর।

খ. $(P+\bar{Q})$ এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

গ. $x^{3}=1$ এর জটিল মূলদ্বয় $\omega$ ও $\omega^{2}$ হলে প্রমাণ কর যে,

$P \omega+Q \omega^{2}=-2-3 \sqrt{3}$

$x=a+\mathrm i$ এবং b 729 হলে,

ক. $3+4 \mathrm i$ কে পোলার আকারে প্রকাশ কর।

খ. $a=3$ হলে, $2 x^{4}-11 x^{3}+15 x^{2}+4 x+25$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\sqrt[6]{-b}$ এর মান নির্ণয় কর।

$M=x+\mathrm i y=\sqrt[3]{p+\mathrm i q}$

ক. $\mathrm{i}^{3}$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর ।

খ. প্রমাণ কর যে, $\sqrt{\frac{p}{2 x}-\frac{q}{2 y}}=\mathrm i \sqrt{x^{2}+y^{2}}$

গ. $|M+6|+|M-6|=20$ হলে প্রমাণ কর যে, $16 x^{2}+25 y^{2}=1600$

$P=3-3 \mathrm i ; Q=3-6 \mathrm i, R=1-\mathrm i$

ক. $R$ কে পোলার আকৃতিতে প্রকাশ কর ।

খ. প্রমাণ কর যে, $\sqrt{P-Q}=\pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}(1+i)$

গ. আর্গন্ড চিত্রে $Q$ ও $R$ বিন্দু দুইটি বসিয়ে $Q + R$ এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা চিত্রিত কর ।

$p=3+5 \mathrm i$ একটি জটিল সংখ্যা ।

ক. $z=-9-3 \sqrt{3} \mathrm i$ হলে $\mathrm z$ এর আর্গুমেন্টের মূখ্যমান কত হবে?

খ. $\sqrt{\mathrm{p}}$ নির্ণয় কর।

গ. $\sqrt[3]{\bar{p}}=x-\mathrm i y$ হলে দেখাও যে, $5 x-3 y=2 x^{3} y+2 x y^{3}$

দৃশ্যকল্প-১: $z_{1}=9+4 \mathrm i, z_{2}=5+11 \mathrm i$

দৃশ্যকল্প-২: $|z-2|=|z-3 i|$ যেখানে $z=x+\mathrm i y$

ক. এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল $\omega$ হলে $\left(2+5 \omega+2 \omega^{2}\right)^{9}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে আর্গন্ড চিত্রে $\mathrm z_{1}+\mathrm z_{2}$ প্রকাশ করে জ্যামিতিক ব্যাখ্যা কর ।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর ।

$\mathrm{z}_{1}=\mathrm{a}+\mathrm{ib}$ এবং $\mathrm{z}_{2}=\mathrm{c}+\mathrm{id}$

ক. $\frac{\underline{Z}_{1}}{\mathrm{Z}_{2}}$ কে $A+\mathrm i \mathrm B$ আকারে প্রকাশ কর।

খ. $\mathrm z_{1} \mathrm z_{2}=x+\mathrm i y$ হলে দেখাও যে,

$(a-2 i b)(c-2 i d)=x-2 \mathrm{i}-3 \mathrm{~b} \mathrm{~d}$

গ. $x: y=z_{1}: z_{2}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{d}}$

এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল $\omega$ এবং $z=\frac{1}{2}(27+\mathrm i)$ অপর একটি কাল্পনিক সংখ্যা ।

ক. $2 \bar{z}$ এর মডুলাস নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে $\left(1-\omega+\omega^{2}\right)\left(1-\omega^{2}+\omega^{4}\right)\left(1-\omega^{4}+\omega^{8}\right).....n$

উৎপাদক পর্যন্ত $=2^{2 n}$

গ. $z+\bar{z}$ এর ঘনমূল নির্ণয় কর।

এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল $\omega$

ক. $(2-2 \mathrm i)^{2}$ এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

খ. $\left(\omega+\omega^{2}\right)^{\frac{1}{4}}$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. $\left\{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\right\}^{\mathrm{P}}+\left\{\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\right\}^{\mathrm{P}}$ এর মান নির্ণয় কর; যখন $p, 3$

দ্বারা বিভাজ্য নয় এমন কোন পূর্ণ সংখ্যা ।

$z=x+\mathrm i y, z_{1}=a+\mathrm i b$ এবং $z_{2}=c+\mathrm i d$ তিনটি জটিল সংখ্যা।

ক. $-\mathrm i$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $\mathrm z_{1} \mathrm z_{2}=\mathrm z$ হলে $\bar{\mathrm z}_{1} \bar{\mathrm z}_{2}=\overline{\mathrm{z}}$

গ. $3|\mathrm z-1|=2|\mathrm z-2|$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প—১ : $z=1+\mathbf{i x}$

দৃশ্যকল্প-২ : $f(x)=a x^{2}+b x+c$

ক. যদি $z_{1}=x+i y$ হয় তবে $\left|z_{1}-1\right|=2\left|z_{1}+1\right|$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথের

সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প—১ হতে $p$ এবং $q$ বাস্তব সংখ্যা এবং $p^{2}+q^{2}=1$ হলে প্রমাণ কর

যে, x এর একটি বাস্তব মান $z=(p+i q) \bar{z}$ সমীকরণকে সিদ্ধ করে ।

গ. দৃশ্যকল্প—২ হতে $f(\omega)^{3}=0$ হলে প্রমাণ কর যে, $\left\{f\left(\omega^{4}\right)\right\}^{3}+\left\{f\left(\omega^{2}\right)\right\}^{3}=\mathrm{k}^{3} a b c$

যেখানে $\omega$ এককের কাল্পনিক ঘনমূল এবং $k = 3.$

$z_{1}=x-i y$ এবং $z_{2}(\omega)=a+b \omega+c \omega^{2}$ যেখানে $\omega$ হলো একের

একটি কাল্পনিক ঘনমূল

ক. বর্গমূল নির্ণয় কর : $-\mathrm{i}$

খ. $3\left|\bar{z}_{1}-1\right|=2\left|\bar{z}_{1}-2\right|$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথ নির্ণয় কর ।

গ. $\left\{z_{2}(\omega)\right\}^{3}+\left\{z_{2}\left(\omega^{2}\right)\right\}^{3}=0$ হলে দেখাও যে,

$a=\frac{1}{2}(b+c)\Rightarrow b=\frac{1}{2}(c+a) \Rightarrow c=\frac{1}{2}(a+b)$

$p=x+y \omega+z \omega^{2}$ ও $q=x+y \omega^{2}+z \omega$ এবং $A=\sqrt[6]{-64}$

ক. $\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{R}$ হলে, প্রমাণ কর যে, $|\mathrm{a}-\mathrm{b}| \geq|\mathrm{a}|-|\mathrm{b}|$

খ. উদ্দীপকের আলোকে $A$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. $x+y+z=0$ হলে, প্রমাণ কর যে, $p^{3}-q^{3}=27 x y z$

$\mathrm{Z}=\mathbf{x}+\mathrm{iy}$ সমীকরণ-১ : $\frac{1-\mathrm{ix}}{1+\mathrm{ix}}=\mathrm{m}-\mathrm{in}$

ক. $\mathrm{x}: \mathrm{y}=\mathrm{a}+\mathrm{ib}: \mathrm{c}+\mathrm{id}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{d}}$

খ. $m, n \in \mathbb{R}$ এবং $m^{2}+n^{2}=1$ হলে দেখাও যে, x এর একটি বাস্তব মান

সমীকরণ-১ কে সিদ্ধ করে।

গ. $|Z+1|+|Z-1|=4$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ : $x+i y=5 e^{-i \theta}$

দৃশ্যকল্প-২ : $\frac{1-i x}{1+i x}=a-i b$

ক. এককের জটিল ঘনমূল দুইটি কোন সমীকরণ হতে পাওয়া যায়?

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর, $x^{2}+y^{2}=25$

গ. $a^{2}+b^{2}=1$ হলে, দৃশ্যকল্প-২ এ উল্লিখিত সমীকরণ হতে x এর বাস্তব সমাধান বের কর।