Questions in this chapter

চিত্রে, $\mathrm{AD}=5, \mathrm{OA}=13, \angle \mathrm{ABO}=60^{\circ}$ এবং $\angle A O X=\theta$

ক. দেখাও যে, $\frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}=\cot \frac{\alpha}{2}$

খ. $\angle A D O=90^{\circ}$ হলে,$\frac{\tan \theta-\sec (-\theta)}{\cot \theta+\operatorname{cosec}(-\theta)}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{BD}=4$ সে.মি. হলে, $\mathrm{AOB}$ ত্রিভুজটি সমাধান কর ।

চিত্রে ABCD চতুর্ভুজে $AB = 4$ সে.মি., $BC = 3$ সে.মি. $CD = 2$ সে.মি.

এবং $\angle A B C= 90^{\circ}$ । কর্ণ $A C, \angle B C D$ এর

সমদ্বিখণ্ডক এবং $\angle A C B= \angle A C D=x^{\circ}$

ক. প্রমাণ কর যে, $\cos ^{2} \frac{A}{2}+\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{3}+\frac{A}{2}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{A}{2}-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3}{2}$

খ. বর্গ সে.মি. এ $\mathrm{AD}^{2}$ এর প্রকৃত মান নির্ণয় কর।

গ. বর্গ সে.মি. এ $ABCD$ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$f(x)=\sin x$ একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ।

ক. $\left\{f\left(\frac{\pi}{7}\right)\right\}^{2}+\left\{f\left(\frac{5 \pi}{14}\right)\right\}^{2}+\left\{f\left(\frac{8 \pi}{7}\right)\right\}^{2}+\left\{f\left(\frac{9 \pi}{14}\right)\right\}^{2}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $f(2 \mathrm{x})$ এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। যখন $-\pi \leq \mathrm{x} \leq \pi$

গ. $f(A+B)=\sin A \cos B+\cos A \sin B$ কে জ্যামিতিক পদ্ধতিতে প্রমাণ কর ।

যখন $A, B$ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ এবং $\mathrm{A}+\mathrm{B}<90^{\circ}$

$f(x)=\cos x$

ক. প্রমাণ কর যে, $\tan \frac{45^{\circ}+\theta}{2} \tan \frac{45^{\circ}-\theta}{2}=\frac{\sqrt{2} \cos \theta-1}{\sqrt{2} \cos \theta+1}$

খ. প্রমাণ কর যে,

$\{f(x)\}^{3}+\left\{f\left(120^{\circ}+x\right)\right\}^{3}+\left\{f\left(240^{\circ}+x\right)\right\}^{3}=\frac{3}{4} f(3 x)$

গ. $\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\frac{\pi}{2}$ হলে, প্রমাণ কর যে,

$\left.\{(\mathrm{A})\}^{2}+\{f(\mathrm{~B})\}^{2}-\{f(\mathrm{C})\}^{2}-2 f(\mathrm{~A}) f(\mathrm{~B})\right\}\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{C}\right)=0$

ক. যদি $\cos \theta^{\prime}=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে,

$\cos 2 \theta=\frac{1}{2}\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)$

খ. উদ্দীপকের $\angle B=30^{\circ}$ এবং $\mathrm{BD}=2 \mathrm{~cm}$ হলে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল

নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকের ত্রিভুজটির ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে,

$a \sin \left(\frac{A}{2}+B\right)=(b+c) \sin \frac{A}{2}$

ক. প্রমাণ কর যে, $\sin 44^{\circ}+\cos 44^{\circ}=\sqrt{2} \cos 1^{\circ}$

খ. উদ্দীপকের সাহায্যে প্রমাণ কর যে,

$\tan D+\tan F=\frac{4 \sin (D+F)}{1-4 \sin ^{2}\left(\frac{D+F}{2}\right)}$

গ. উদ্দীপক হতে প্রমাণ কর যে, $2 \sin E=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$

$p=\sin 2 \alpha, q=\sin 2 \beta, r=\cos 2 \alpha, s=\cos 2 \beta, t=\sin 2 \gamma$

ক. প্রমাণ কর যে, $\sec \frac{3 x}{2}=\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{4+\sqrt{8+8 \cos 6 x}}}$

খ. $\mathbf{p}+\mathbf{q}=\mathbf{c}, \mathrm{r}+\mathrm{s}=\mathrm{d}$ হলে, দেখাও যে,$\cos (2 \alpha+2 \beta)=\frac{d^{2}-c^{2}}{d^{2}+c^{2}}$

গ. $\alpha+\beta+\gamma=\pi$ হলে, দেখাও যে, $p^{2}+q^{2}+t^{2}=2-2 \text { rs. } \cos 2 \gamma$

$A B C$ একটি ত্রিভুজ এবং $f(x)=\tan ^{} x$ একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন।

ক. দেখাও যে, $\sin 20^{\circ}+\cos 20^{\circ}=\sqrt{2} \cos 25^{\circ}$

খ. $f(\alpha)=2 f(\beta)$ হলে দেখাও যে, $f(\alpha+\beta)=\frac{3 \sin 2 \alpha}{1+3 \cos 2 \alpha}$

গ. ত্রিভুজটি সমাধান কর ।

দৃশ্যকল্প-১ :

দেওয়া আছে, $PQR$ বৃত্তকলার $\mathrm{PQ}=\mathrm{QR}=6$ সে.মি.$\mathrm{PR}=6 \sqrt{2}$ সে.মি.।

দৃশ্যকল্প-২: $X+Y+Z=\frac{\pi}{2}$

ক. যদি $\cot X+\cot Y+\cot Z=0$ হয়, তবে দেখাও যে,

$\left(\sum \tan x\right)^{2}=\sum \tan ^{2} x$

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে,

$\cos ^{2} X+\cos ^{2} Y-\cos ^{2} Z=2 \cos X \cos Y \sin Z$

ক. $A+B+C=\pi$ হলে, $\tan \frac{\mathrm{A}}{2} \tan \frac{\mathrm{B}}{2}+\tan \frac{\mathrm{B}}{2} \tan \frac{\mathrm{C}}{2}+\tan \frac{\mathrm{C}}{2} \tan \frac{A}{2}=1$

এর সত্যতা যাচাই কর ।

খ. উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে,

$4 \sin ^{3} x+4 \sin ^{3}(2 C+x)+4 \sin ^{3}(4 C+x)+3 \sin 3 x=0$

গ. $a=2, b=1+\sqrt{3}$ হলে, $ABC$ ত্রিভুজটি সমাধান কর ।

$f(x)=\sin x$ এবং $g(x)=\cos x$

ক. প্রমাণ কর : $2 \sin \frac{\pi}{16}=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}$

খ. প্রমাণ কর :

$\{f(\alpha)\}^{3}+\left\{f\left(120^{\circ}+\alpha\right)\right\}^{3}+\left\{f\left(240^{\circ}+\alpha\right)\right\}^{3}=-\frac{3}{4} f(3 \alpha)$

গ. $f(\mathrm{x})+f(\mathrm{y})=\mathrm{p}$ এবং $g(x)+g(y)=q$ হলে প্রমাণ কর যে,

$f\left(\frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{2}\right)=\pm \frac{1}{2} \sqrt{4-\mathrm{p}^{2}-\mathrm{q}^{2}}$

ক. $\frac{\cos 75^{\circ}+\cos 15^{\circ}}{\cos 75^{\circ}-\cos 15^{\circ}}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $f(\theta)+f(\varphi)=\mathrm{a}, f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+f\left(\frac{\pi}{2}-\varphi\right)=\mathrm{b}$ হলে, প্রমাণ কর

যে $\tan \frac{(\theta-\varphi)}{2}=\pm \sqrt{\frac{4-a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}$

গ. উদ্দীপকের $ABC$ ত্রিভুজটি সমাধান কর।

দৃশ্যকল্প-১ : $f(x)=\cos x$

দৃশ্যকল্প-২ :

ক. $PQR$ ত্রিভুজের $\cos R-\cos Q-\sin P=0$ হলে, প্রমাণ কর

যে, $\angle Q=90^{\circ}$

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে প্রমাণ কর যে,

$\cos ^{3} \mathrm{~A} f(3 \mathrm{~A})+\sin ^{3} \mathrm{~A} f\left(\frac{\pi}{2}-3 \mathrm{~A}\right)=\cos ^{3}(2 \mathrm{~A}) .$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, s যে, $s=\frac{3 R \sin B \sin C}{\sin B+\sin C-\sin A}$

ক. দেখাও যে, $\sin \theta+\sin \left(120^{\circ}+\theta\right)+\sin \left(240^{\circ}+\theta\right)=0$

খ. $c=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ এবং $b = 2$ হলে $\angle A$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, $\sin A=\cos B+\cos C$

$f(\theta)=\cos \theta$

ক. যদি $\alpha+\beta=\pi$ হয়, তবে $\sin \alpha-\sin \beta$ এর মান কত?

খ. প্রমাণ কর যে,

$\{f(x)\}^{3}+\left\{f\left(\frac{2 \pi}{3}+x\right)\right\}^{3}+\left\{f\left(\frac{2 \pi}{3}-x\right)\right\}^{3}=\frac{3}{4} f(3 x)$

গ. $y=f(x)$ এর লেখচিত্র অঙ্কন কর; যখন $-2 \pi<x<2 \pi$

দৃশ্যকল্প-১

দৃশ্যকল্প-২: $f(x)=\sin 4 x$

ক. $\cos ^{2}\left(\mathrm{~A}-120^{\circ}\right)+\cos ^{2} \mathrm{~A}+\cos ^{2}\left(\mathrm{~A}+120^{\circ}\right)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{AB}=10$ একক হলে ছায়াঘেরার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ. $0 \leq x \leq 2 \pi$ ব্যবধিতে $f\left(\frac{x}{2}\right)$ এর লেখচিত্র অঙ্কন কর ।

দৃশ্যকল্প-১ : $A=\cos x \cos 2 x \cos 4 x \cos 7 x$

দৃশ্যকল্প-২ : $\triangle A B C-$এ $\cos A=\sin B-\cos C$

ক. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলো যথাক্রমে $3, 5, 7$ একক হলে ক্ষুদ্রতম কোণটি নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $A=\frac{1}{16}$ যখন $x=\frac{2 \pi}{15}$

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, $C$ কোণটি সমকোণ।

ক. দেখাও যে, $\sin 18^{\circ}=\frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)$

খ. প্রমাণ কর যে,

$\sin ^{2} \mathrm{~A}+\sin ^{2} \mathrm{~B}+\sin ^{2} \mathrm{C}=2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C})$

গ. প্রমাণ কর যে, $c(\cos A+\cos B)=2(a+b) \sin ^{2} \frac{C}{2}$

$\mathrm{p}=\sin 2 \alpha, \mathrm{q}=\sin 2 \beta, \mathrm{r}=\cos 2 \alpha, \mathrm{s}=\cos 2 \beta, \mathrm{t}=\sin 2 \gamma$

ক. প্রমাণ কর যে, $\sec \frac{3 x}{2}=\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{4+\sqrt{8+8 \cos 6 x}}}$

খ. যদি $p+q=c, r+s=d$ হয়, তবে দেখাও যে,

$\cos (2 \alpha+2 \beta)=\frac{d^{2}-c^{2}}{d^{2}+c^{2}}$

গ. যদি $\alpha+\beta+\gamma=\pi$ হয়, তবে দেখাও যে,

$\mathrm{p}^{2}+\mathrm{q}^{2}+\mathrm{t}^{2}=2-2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma$

দৃশ্যকল্প-১ : $\triangle A B C$ এর $A=75^{\circ}, B-C=15^{\circ}$

দৃশ্যকল্প-২ :

ক. $\cos 30^{\circ} 32^{\prime} \cos 29^{\circ} 28^{\prime}-\sin 149^{\circ} 28^{\prime} \sin 29^{\circ} 28^{\prime}$ এর মান নির্ণয় কর ৷

খ. দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী দেখাও যে, $\cos \frac{C}{6}=\frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$

গ. দৃশ্যকল্প-২ অনুযায়ী ত্রিভুজটির সমাধান কর।