Questions in this chapter

ক. যেকোনো ত্রিভুজ $ABC$ এর ক্ষেত্রে দেখাও যে, $\sin 3 B=4 \sin B$ যখন, $a=4 b$ এবং $A=3 B \text {. }$

খ. চিত্র-১ অনুযায়ী, $\mathrm{ADBC}$ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

গ. চিত্র-২ এ বর্ণিত ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণ নির্ণয় করে তার সাহায্যে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

চিত্রে, $ABCD$ একটি আয়তক্ষেত্র এবং $A$ কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের বৃত্তচাপ $BE$

ক. $\triangle P Q R$ এ, $p=6, q=3 \sqrt{3}$ এবং $P=90^{\circ}$ হলে $Q$ কোণের মান নির্ণয় কর ।

খ. উদ্দীপকের $\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AE}}$ অনুপাতটি $\theta$ কোণের যে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

নির্দেশ করে তার লেখচিত্র $-2 \pi \leq \theta \leq 2 \pi$ ব্যবধিতে অঙ্কন কর।

গ. উদ্দীপকের ছায়াঘেরা অংশ $BEC$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$S=\tan P \cot Q \cot R, X=\sec \frac{\pi}{17} \sec \frac{2 \pi}{17}$

এবং $Y=\cos \frac{4 \pi}{17} \cos \frac{9 \pi}{17}$

ক. $\tan A=\frac{5}{12}$ হলে দেখাও যে, $\sin 2 A=\frac{120}{169}$

খ. $\mathrm{P}=20^{\circ}, \mathrm{Q}=50^{\circ}, \mathrm{R}=10^{\circ}$ হলে দেখাও যে, $S=\sqrt{3}$

গ. প্রমাণ কর যে, $\frac{16 Y}{X}=-1$

চিত্রে, Q বৃত্তটির কেন্দ্র ।

ক. প্রমাণ কর যে,$\frac{\cos 33^{\circ}-\sin 33^{\circ}}{\cos 33^{\circ}+\sin 33^{\circ}}=\tan 12^{\circ}$

খ. উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, $\sin \frac{\mathrm{Q}-\mathrm{P}}{2}=\frac{\mathrm{q}-\mathrm{p}}{4 R} \operatorname{cosec} \frac{\mathrm{L}}{2}$

গ. $\angle \mathrm{PQL}=60^{\circ}$ এবং $p = 5$ সে.মি. হলে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

$\mathrm{PQR}$ একটি ত্রিভুজ।

ক. প্রমাণ কর যে, $\tan P=\tan Q+\tan R$ যখন $\cos P=\cos Q \cdot \cos R$

খ. প্রমাণ কর যে, $\sin ^{2} P-\sin ^{2} Q+\sin ^{2} R=2 \sin P \cos Q \sin R$

গ. প্রমাণ কর যে, $\cos \mathrm{P}=\frac{\mathrm{PQ}^{2}+\mathrm{PR}^{2}-\mathrm{QR}^{2}}{2 \mathrm{PQ} \cdot \mathrm{PR}}$

ক. প্রমাণ কর যে, $\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}$

খ. উদ্দীপকের সাহায্যে প্রমাণ কর যে,

$\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma=1+2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$

গ. উদ্দীপকের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

$ABC$ ত্রিভুজে, $A=\frac{\pi}{16}, B=\frac{9 \pi}{16}$

ক. $\sin ^{2} \mathrm{~A}+\sin ^{2} \mathrm{~B}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $2 \sin A=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}$

গ. প্রমাণ কর যে, $\cos ^{2} \mathrm{~A}+\cos ^{2} \mathrm{~B}-\cos ^{2} \mathrm{C}=1-2 \sin \mathrm{A} \sin \mathrm{B} \cos \mathrm{C}$

চিত্রে, $ABC$ ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র $O$। $\angle \mathrm{OAB}=\alpha,\angle O B C=\beta$ এবং $\angle \mathrm{OCA}=\gamma$

ক. $\mathrm{BC}=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=3 \mathrm{~cm}$ এবং $\mathrm{AB}=7 \mathrm{~cm}$ হলে $\angle \mathrm{C}$ নির্ণয় কর ।

খ. প্রমাণ কর যে, $\sin 4 \alpha-\sin 4 \beta+\sin 4 \gamma=4 \cos A \sin B \cos C$

গ. প্রমাণ কর যে, $\sin (\beta-\gamma)=\frac{A C-A B}{B C} \cos \alpha$

$A=10^{\circ}, B=50^{\circ}, C=60^{\circ}, \mathrm{D}=70^{\circ}$

ক. প্রমাণ কর যে, $\frac{\sin 75^{\circ}-\sin 15^{\circ}}{\sin 75^{\circ}+\sin 15^{\circ}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

খ. দেখাও যে, $\sin A \sin B \cos C \sin D=\frac{1}{16}$

গ. প্রমান কর যে, $\sin (C+D-B)+\sin (D+B-C)+\sin (B+C-D)=4 \sin B \sin C \sin D$

ক. প্রমাণ কর যে,

$\sin ^{2} \frac{\pi}{7}+\sin ^{2} \frac{5 \pi}{14}+\sin ^{2} \frac{8 \pi}{7}+\sin ^{2} \frac{9 \pi}{14}=2$

খ. প্রমাণ কর যে, $\sin ^{2} P+\sin ^{2} Q-\sin ^{2} R=2 \sin P \sin Q \cos R$

গ. $\cot P+\cot Q+\cot R=\sqrt{3}$ হলে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমবাহু।

$A=\sin X+\cos X$ এবং $B=\sin Y+\cos Y$ যেখানে, $X \neq Y ; M=\operatorname{cosec} 20^{\circ}, \mathrm{N}=\sec 20^{\circ}$

ক. $\theta=\cos ^{-1} \frac{1}{3}$ হলে, $\cos 3 \theta$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $A = B$ হলে, দেখাও যে, $X+Y=\frac{\pi}{2}$

গ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm{M}+\sqrt{3} \mathrm{~N}=4 \tan 50^{\circ}$

$S=\tan P \cot Q \cot R, Y=\sec \frac{\pi}{17} \sec \frac{2 \pi}{17}$

এবং $X=\cos \frac{4 \pi}{17} \cos \frac{9 \pi}{17}$

ক. $\tan A=\frac{5}{12}$ হলে, দেখাও যে, $\sin 2 A=\frac{120}{169}$

খ. $P=20^{\circ}, Q=50^{\circ}, R=10^{\circ}$ হলে, দেখাও যে, $S=\sqrt{3}$

গ. প্রমাণ কর যে, $\frac{\mathrm{Y}}{16 \mathrm{X}}=-1$

$\triangle \mathrm{ABC}$ এর $A+B=65^{\circ}, B-A=25^{\circ}$

ক. $\sin 15^{\circ}$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. $\tan \frac{B+\theta}{2} \tan \frac{B-\theta}{2}$ কে সরল কর।

গ. $\tan \mathrm{A} \tan 2 \mathrm{~A} \tan 3 \mathrm{~A} \tan 4 \mathrm{~A}$ এর মান নির্ণয় কর।

ক. $\tan A=\frac{1}{\sqrt{3}}$ হলে, $\cos 2 A=$ কত ?

খ. দেখাও যে, $\operatorname{cosecK}-\sqrt{3} \operatorname{secK}=4$

গ. প্রমাণ কর যে, $\sin ^{2}(\theta+\gamma)+\sin ^{2} \gamma+\sin ^{2}(\theta-\gamma)=\frac{3}{2}$

ক. দেখাও যে, $\sin 75^{\circ}=\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}$

খ. $C$ কোণের মান নির্ণয় কর।

গ. $x=2$ হলে দেখাও যে, ত্রিভুজটির পরিসীমা ক্ষেত্রফলের মানের $\frac{11 \sqrt{3}}{6}$ গুণ ।

ক. দেখাও যে, $\sin 50^{\circ}-\sin 70^{\circ}+\sin 10^{\circ}=0$

খ. দেখাও যে, $\cos ^{2} \frac{A}{2}+\cos ^{2} \frac{B}{2}+\cos ^{2} \frac{C}{2}=2+2 \sin \frac{\mathrm{A}}{2} \sin \frac{\mathrm{B}}{2} \sin \frac{\mathrm{C}}{2}$

গ. $C=60^{\circ}$ হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

ক. দেখাও যে,$\sin 15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

খ. প্রমাণ কর যে, $\frac{\cos A}{\sin B \sin C}+\frac{\cos B}{\sin C \sin A}+\frac{\cos C}{\sin A \sin B}=2$

গ. $\alpha=30^{\circ}, \beta^{}=45^{\circ}$ হলে দেখাও যে, $=\frac{1}{2}(\sqrt{3}+1) \mathrm{cm}^{2}$ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল

$\Rightarrow \frac{1}{2}(\sqrt{3}+1) \mathrm{cm}^{2}$

ক. দেখাও যে, $\sec \frac{5 x}{2}=\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 10 x}}}$

খ. উদ্দীপকের সাহায্যে দেখাও যে,

$A C \sin \left(\frac{B}{2}+C\right)=(A B+B C) \sin \frac{B}{2} \text {. }$

গ. উদ্দীপকের সাহায্যে দেখাও যে,

$\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma=1+2 \cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \cos \gamma$

$f(x)=\sin x$

ক. দেখাও যে, $\sin 50^{\circ}-\sin 10^{\circ}=\sqrt{3} \sin 20^{\circ}$

খ. $x+y \neq 0$ এবং $f(x)+f(y)=2 f(x+y)$ হলে

দেখাও যে, $3 \tan \frac{x}{2} \tan \frac{y}{2}=1$

গ. x এর যে মানের জন্য $f\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \cdot f\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ বৃহত্তম হয় তা নির্ণয় কর ?

$f(x)=\cos x$ এবং $\alpha+\beta+\gamma=\pi$

ক. দেখাও যে,$\frac{\sin \theta-\cos \theta}{\sqrt{1-\sin 2 \theta}}=1$

খ. দেখাও যে, $f(\alpha)-f(\beta)+f(\gamma)=4 f\left(\frac{\alpha}{2}\right) f\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\beta}{2}\right) f\left(\frac{\gamma}{2}\right)-1$

গ. প্রমাণ কর যে, $\cos ^{3} A \cdot f(3 A)+\sin ^{3} A f\left(\frac{\pi}{2}-3 A\right)=\cos ^{3} 2 A$