Questions in this chapter

ক. প্রমাণ কর যে, $\tan 70^{\circ}=\tan 20^{\circ}+2 \tan 50^{\circ}$

খ. উপরোক্ত ত্রিভুজ হতে দেখাও যে,

$\cos ^{2} A+\cos ^{2} B+\cos ^{2} C+2 \cos A \cos B \cos C=1$

গ. $\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$ হলে, $C$ কোণটির মান কত?

দৃশ্যকল্প-১ : দেওয়া আছে, $\tan \theta=\frac{5}{12}$ এবং $\sin \theta$ ঋণাত্মক ।

দৃশ্যকল্প-২ : $f(x)=\sin x, g(x)=\cos x$

দৃশ্যকল্প-৩ : $\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\frac{\pi}{2}$

ক. দৃশ্যকল্প-১ হতে : $\frac{\sin \theta+\cos (-\theta)}{\sec (-\theta)+\tan \theta}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প—২ হতে : প্রমাণ কর যে, $\frac{1}{f\left(10^{\circ}\right)}-\frac{\sqrt{3}}{g\left(10^{\circ}\right)}=4$

গ. দৃশ্যকল্প—৩ হতে : দেখাও যে,

$\cos ^{2} A+\cos ^{2} B-\cos ^{2} C=2 \cos A \cos B \sin C$

ক. জ্যামিতিক পদ্ধতিতে দৃশ্যকল্প—২ হতে প্রমাণ কর যে,

$\sin R+\cos R>1$

খ. দেখাও যে, $(b+c) \sin \frac{A}{2}=a \cdot \cos \frac{B-C}{2}$

গ. যদি $\triangle \mathrm{ABC}$ এ $\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$ হয়, তবে দেখাও যে,$c=60^{\circ}$

$\text { (i) } f(x)=\sin x$

$\text { (ii) } \triangle \mathrm{ABC}$ এবং $A=60^{\circ}$

ক. $\sin A+\cos A=\sin B+\cos B$ হলে দেখাও যে $\mathrm{A}+\mathrm{B}=\frac{\pi}{2}$

খ. (i) নং হতে প্রমাণ কর যে,

$\{f({x})\}^{3}+\left\{f\left(120^{\circ}+x\right)\right\}^{3}+\left\{f\left(240^{\circ}+x\right)\right\}^{3}=-\frac{3}{4} f(3 x)$

গ. (ii) নং হতে দেখাও যে, $b+c=2 a \cos \frac{B-C}{2}$

ক. বৃত্তকলা $ACEF$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি ।

খ. জ্যামিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে দেখাও যে,

$\triangle \mathrm{ABC}$ এ $\cos A=\cos 30^{\circ} \cos 45^{\circ}-\sin 30^{\circ} \sin 45^{\circ}$

গ. $\triangle \mathrm{ABC}$ এর ক্ষেত্রে $\frac{1}{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}}+\frac{1}{\mathrm{AC}+\mathrm{BC}}=\frac{3}{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}+\mathrm{BC}}$ হলে $\angle B$ নির্ণয় কর।

ক. প্রমাণ কর যে, $16 \cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15} \cos \frac{8 \pi}{15} \cos \frac{14 \pi}{15}=1$

খ. $\frac{\cot B+\cot C}{\tan B+\tan C}+\frac{\cot C+\cot A}{\tan C+\tan A}+\frac{\cot A+\cot B}{\tan A+\tan B}$ নির্ণয় কর ৷ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. $a^{3} \cos (B-C)+b^{3} \cos (C-A)+c^{3} \cos (A-B)$ নির্ণয় কর ৷

দৃশ্যকল্প (i) : $\sqrt{2} \cos A=\cos B+\cos ^{3} B$ এবং $\sqrt{2} \sin \mathrm{A}=\sin \mathrm{B}-\sin ^{3} \mathrm{~B}$

দৃশ্যকল্প (ii) : $\sin x-\cos x=0$

ক. মান নির্ণয় কর : $\sin \left\{\mathrm{n} \pi+(-1)^{\mathrm{n}} \frac{\pi}{6}\right\} ; \mathrm{n}$ পূর্ণসংখ্যা ।

খ. দৃশ্যকল্প (i) হতে $\operatorname{cosec}(A-B)$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ ব্যবধিতে দৃশ্যকল্প (ii) সমাধান কর।

$a=\sqrt{2}+1, c=\sqrt{2}-1$

ক. প্রমাণ কর যে, $\cos 75^{\circ}+\sin 75^{\circ}=\sqrt{\frac{3}{2}}$ (ক্যালকুলেটর ব্যবহার না করে)

খ. প্রমাণ কর যে, $\operatorname{cosec} \frac{B}{8}=\frac{2}{\sqrt{2-\sqrt{2}+\sqrt{3}}}$

গ. $ABC$ ত্রিভুজটি সমাধান কর ।

দৃশ্যকল্প—১: $\cos ^{2} \mathrm{~A}+\cos ^{2} \mathrm{~B}+\cos ^{2} \mathrm{C}$

দৃশ্যকল্প-২ : $\tan \frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1-\mathrm{e}}{1+\mathrm{e}}} \tan \cdot \frac{\varphi}{2}$

ক. প্রমাণ কর যে, $\frac{\cos 8^{\circ}+\sin 8^{\circ}}{\cos 8^{\circ}-\sin 8^{\circ}}=\tan 53^{\circ}$

খ. $A+B+C=\pi$ হলে দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে,

$1-2 \cos A \cos B \cos C$

গ. দৃশ্যকল্প—২ হতে প্রমাণ কর যে, $\cos \varphi=\frac{\cos \theta-\mathrm{e}}{1-\mathrm{e} \cos \theta}$

দুইটি তরঙ্গের সমীকরণ $y=\cos ^{2} x$ এবং $y=\sin x$ এবং $A$ ও $B$ দুইটি সূক্ষ্মকোণ ।

ক. $\cos \mathrm{A}$ এর সাথে $\cos 2 \mathrm{~A}$ এর সম্পর্ক তৈরি কর।

খ. তরঙ্গ দুটির লেখচিত্র অঙ্কন করে $-\pi \leq \mathrm{x} \leq \pi$ সীমার মধ্যে - ছেদবিন্দু নির্ণয় কর ।

গ. $\sin ^{3} \mathrm{~A}+\sin ^{3}\left(120^{\circ}+\mathrm{A}\right)+\sin ^{3}\left(240^{\circ}+\mathrm{A}\right)$ কে সরল কর।

ক. $\tan A=\frac{5}{12}$ হলে দেখাও যে, $\sin 2 A=\frac{120}{169}$

খ. প্রমাণ কর যে,$2 \sin B=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}$

গ. $\triangle \mathrm{ABC}$ এর বৃহত্তম কোণ নির্ণয় কর ।

দৃশ্যকল্প : $\theta=x+y, p=\frac{\cos x}{\cos y}, k(x)=\sin x$

ক. $\sin 18^{\circ}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প অনুযায়ী দেখাও যে, $\tan \frac{x-y}{2}=\frac{1-p}{1+p} \cot \frac{\theta}{2}$

গ. দৃশ্যকল্প অনুযায়ী প্রমাণ কর যে,

$\mathrm{k}^{3}(\mathrm{x})+\mathrm{k}^{3}\left(120^{\circ}+\mathrm{x}\right)+\mathrm{k}^{3}\left(240^{\circ}+\mathrm{x}\right)=-\frac{3}{4} \mathrm{k}(3 \mathrm{x})$

দৃশ্যকল্প : $\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\frac{\pi}{2}$ এবং $ABC$ ত্রিভুজের বাহুত্রয় $a, b$ ও $c.$

ক. দেখাও যে, $\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{b c}}$

খ. দৃশ্যকল্প হতে প্রমাণ কর যে,

$\cos ^{2} \mathrm{~A}+\cos ^{2} \mathrm{~B}-\cos ^{2} \mathrm{C}=2 \cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \sin \mathrm{C} .$

গ. দৃশ্যকল্প হতে $ABC$ ত্রিভুজের ক্ষেত্রে দেখাও যে,

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ একক এবং $\Delta \mathrm{XYZ}$ এর অর্ধপরিসীমা s একক ।

ক. $x=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ হতে $\frac{d y}{d x}$ নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপক অনুসারে $\frac{\cos \alpha}{\sec \alpha}+\frac{\cos \beta}{\sec \beta}+\frac{\cos \gamma}{\sec \gamma}$ কে $a+\frac{b}{\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma}$ আকারে প্রকাশ কর,

যেখানে $a, b \in R$

গ. দেখাও যে, $\frac{1}{l} \cos ^{2} \frac{X}{2}+\frac{1}{m} \cos ^{2} \frac{Y}{2}+\frac{1}{n} \cos ^{2} \frac{Z}{2}=\frac{s^{2}}{4 \Delta \mathrm{r}}$

ক. একটি কোণের পরিমাপ $2 x^{0}$ এবং $y$ রেডিয়ান হলে $x$ এবং $y$ এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকের আলোকে $\mathrm{A}+\mathrm{B}=120^{\circ}$ হলে প্রমাণ কর যে,

$\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}-\sin ^{2}\left(\frac{\alpha}{2}+\theta\right)+\cos ^{2}\left(\frac{\alpha}{2}-\theta\right)=\frac{1}{2}$

গ. উদ্দীপক ত্রিভুজ হতে প্রমাণ কর যে,

$\cos ^{2} A-\sin ^{2} B+\cos ^{2} C=2 \cos A \cos B \cos 2 \theta$

দৃশ্যকল্প-১ :

দৃশ্যকল্প-২ :$\cot A+\cot B=x$

$\begin{array}{l}\tan A+\tan B=y \\A+B=\theta\end{array}$

ক. $126.8^{\circ}$ কে রেডিয়ানে এবং $\frac{\pi}{7}$ কে ডিগ্রিতে প্রকাশ কর ।

খ. দৃশ্যকল্প-১ বর্ণিত $\triangle \mathrm{ABC}$ এর আলোকে প্রমাণ কর যে,

$\cos 2 A+\cos 2 B+\cos 2 C+4 \cos A \cos B \cos C=-1$

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, $\tan \theta=\frac{x y}{x-y}$

দৃশ্যকল্প-১ :

দৃশ্যকল্প-২ : $f(\theta)=\cos \theta$

ক. মান নির্ণয় কর : $\sin ^{2} \frac{\pi}{9}+\sin ^{2} \frac{7 \pi}{18}+\sin ^{2} \frac{8 \pi}{9}+\sin ^{2} \frac{11 \pi}{18}$

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত $\triangle \mathrm{ACB}$ এ $\cos A=\sin B-\cos C$ হলে - প্রমাণ কর যে,

ত্রিভুজটি সমকোণী ।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে,

$f\left(\frac{2 \pi}{15}\right) f\left(\frac{4 \pi}{15}\right) f\left(\frac{8 \pi}{15}\right) f\left(\frac{14 \pi}{15}\right)=\frac{1}{16} .$

$f(x)=\sin x, g(x)=\cos x$ এবং $\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\pi$

ক. প্রমাণ কর : $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C$

খ. $f(\mathrm{x})+f(\mathrm{y})=\mathrm{p}$ এবং $g(x)+g(y)=q$ হলে প্রমাণ কর যে,

$f\left(\frac{x-y}{2}\right)=\pm \frac{1}{2} \sqrt{4-p^{2}-q^{2}}$

গ. যদি $\frac{g(A)}{f(\mathrm{~A})}+\frac{g(B)}{f(\mathrm{~B})}+\frac{\mathrm{g}(\mathrm{C})}{f(\mathrm{C})}=\sqrt{3}$ হলে দেখাও যে,$\mathrm{A}=\mathrm{B}=\mathrm{C}$ হবে।

$\text { (i) } \sin ^{2} A+\sin ^{2} B+\sin ^{2} C$

$\text { (ii) } \mathrm{ABC}$ ত্রিভুজে $a = 2b$ এবং $A = 3B.$

ক. কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য $3, 5, 7$ একক হলে, স্থূলকোণটি কত?

খ. $\mathrm{A}=60^{\circ}+\mathrm{x}, \mathrm{B}=\mathrm{x}, \mathrm{C}=60^{\circ}-\mathrm{x}$ হলে (i)-এর মান নির্ণয় কর ৷

গ. (ii) নং এর সাহায্যে ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর ।

দৃশ্যকল্প-১ : $\triangle X Y Z$ এ $\cos X=\sin Y-\cos Z$

দৃশ্যকল্প-২ : $\sqrt{1+n} \tan \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{1-n} \tan \left(\frac{\beta}{2}\right)$

ক. প্রমাণ কর যে, $\sin 65^{\circ}+\cos 65^{\circ}=\sqrt{2} \cos 20^{\circ}$

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী ।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, $\cos \beta=\frac{\cos \alpha-n}{1-n \cos \alpha}$