Questions in this chapter

নিচের চিত্রে অঙ্কিত দ্বিঘাত ফাংশন কোনটি?

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও:

$f(x)=x^{2}$ একটি ফাংশন

$f(x+1)$ এর স্কেচ কোনটি?।

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও:

$f(x)=x^{2}$ একটি ফাংশন

$\text { fofof }{ }^{-1}(2)$

$f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, \mathbf{g}: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ যথাক্রমে $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-a}}, \quad a \in \mathbb{R}$

এবং $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ $=2 x+1$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত।

ক. $f(x)$ এর ডোমেন নির্ণয় কর ।

খ. $g(x)$ ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কি-না পরীক্ষা কর ।

গ. $g^{-1}(x)$ এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।

দৃশ্যকল্প-১ : $g(x)=\frac{x+2}{5 x-1},\left(x \neq \frac{1}{5}\right)$

দৃশ্যকল্প-২ :$f(x)=\sqrt{-x^{2}-6 x+16}$

ক. $P: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, \mathrm{P}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}+3$ এবং

$Q: R \rightarrow R, Q(x)=2 x-3$ হলে,

$\left(\mathrm{P}_{0} \mathrm{Q}\right)(4)$ নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর ক্ষেত্রে, এক-এক ও সার্বিক ফাংশন যাচাইপূর্বক $\mathrm{g}^{-1}(\mathrm{x})$ নির্ণয় কর ।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এ $y = f(x)$ বক্ররেখাটির প্রকৃতি নির্ণয়পূর্বক তার স্কেচ অঙ্কন কর।

$g(x)=e^{-x}+e^{x}$ এবং $f(x)=\frac{5 x-3}{2 x+1}$

ক. $sin 3x$ এর পর্যায় নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $g(2 y)+g(2 x)=g(x-y) g(x+y)$

গ. যদি, $\mathbf{A}=\mathbf{R}-\left\{-\frac{1}{2}\right\}, \mathbf{B}=\mathbf{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\}$

এবং $f: A \rightarrow B$ তে সংজ্ঞায়িত হয়, তবে দেখাও যে, $f(x)$

একটি এক-এক ফাংশন এবং $f^{-1}$ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ : $g(x)=(x+5)^{n}$ এবং $f(x)=x^{2}-6$

দৃশ্যকল্প-২ : রহিম স্যার ছাত্র-ছাত্রীদেরকে $\text { "TESTICLE" }$ শব্দটি নিয়ে আলোচনা করলেন।

ক. $y=|x-3|$ এর স্কেচ অঙ্কন কর ।

খ. দৃশ্যকল্প-১ অনুসারে $\mathrm{n}=\frac{1}{2}$ হলে $gof$ এর ডোমেন নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যাবে যাতে প্রথমে ও শেষে $E$ থাকবে না।

দৃশ্যকল্প-১ : $\text { MUJIBNAGAR }$

দৃশ্যকল্প-২ : $f(x)=\frac{2 x+7}{3 x-2}, x \in \mathbb{R}-\left\{\frac{2}{3}\right\}$

ক. ${ }^{n} C_{3}=\frac{4}{5} \times{ }^{n} C_{2}$ হলে n এর মান নির্ণয় কর ।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো একত্রে না থাকে ।

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, $f^{-1}(\mathrm{x})=f(\mathrm{x})$

$A, B \subset \mathbb{R}, B=\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{3}\right\}, g: A \rightarrow B, g(x)=\frac{x-5}{3 x+1}$

এবং $h(x)=x^{2}+1$

ক. $\sin ^{\prime} \mathrm{e}^{\sqrt{1-x}}$ এর অন্তরক সহগ নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $(\mathrm{hog})(1)-(\mathrm{goh})(2)=2$ .

গ. অস্তিত্ব যাচাইপূর্বক $\mathrm{g}^{-1}(\mathrm{x})$ নির্ণয় কর।

$7$ মিটার দীর্ঘ একটি তারকে x- সেকেন্ড উত্তপ্ত করায় তারটির তাপমাত্রা $4^{\circ} \mathrm{C}$ থেকে পরিবর্তিত হয়ে $(2 x)^{\circ} \mathrm{C}$ এবং দৈর্ঘ্য $7$ মিটার থেকে পরিবর্তিত হয়ে $(4x)$ মিটার হলো।

তারটির দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ $y = f(x)$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যায় যা দৈর্ঘ্য পরিবর্তন এবং তাপমাত্রা পরিবর্তনের একটি অনুপাত। উল্লেখ্য সময় $(x)$ কখনো ঋণাত্মক হবে না ।

ক. $p(x)=2 x-7$ এবং $q(x)=x^{2}+5$ হলে, $\mathrm{q}(\mathrm{p}(3))$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $f(x)$ এর ডোমেন নির্ণয় করে দেখাও যে ফাংশনটি এক-এক।

গ. $f o g(x)=\frac{x-3}{2 x+1}$ হলে $g(x)$ এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

$f(x)=x^{2}-17, g(x)=\sqrt{x+8}, p(x)=\frac{f^{-1}(x)}{g(x)}$

ক. $\sqrt{f(x)}$ এর ডোমেন নির্ণয় কর ।

খ. x এর কোন মানগুলোর জন্য $gof(x) \neq-f o g(x)$ হবে ?

গ. $p(x)$ এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

$f: x \rightarrow 2 x-3 ; g: x \rightarrow \frac{1}{x+5}, x \neq-5$

ক. $g(g(x))$ নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{x}))$ এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর ।

গ. $f^{-1}(x)=g^{-1}(2)$ হলে, x এর মান নির্ণয় কর ।

$g(x)=\frac{1+x}{1-x}, f(x)=\ln (x)$

ক. $f(x)$ এর ডোমেন নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $\frac{g(x)-g(y)}{1+g(x) g(y)}=\frac{x-y}{1+x y}$

গ. প্রমাণ কর যে, $f \circ g\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)=2 \text { fog }(x)$

$f(x)=-x^{2}+3 x+2$ একটি দ্বিঘাত ফাংশন

ক. $f(f(x))$ নির্ণয় কর ।

খ. $f(x)$ ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

গ. $g(x)=x^{2}$ এর স্কেচ থেকে $f(x)$ এর স্কেচ অঙ্কন কর ।

$f(x)=e^{x}, g(x)=\sqrt{x}$ ও $h(x)=25-x^{2}$ তিনটি ফাংশন ।

ক. $f(x)$ এর ডোমেন নির্ণয় কর।

খ. $[0, 5]$ ব্যবধির মধ্যে $goh$ ফাংশনটি এক-এক ও সার্বিক কিনা যাচাই কর ।

গ. $f(x)$ ও তার বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অংকন করে তাদের প্রকৃতি কেমন তা মন্তব্য কর ।

$f(x)=\frac{a x+b}{c x-d}$

ক. দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক ।

খ. $\mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=-3, \mathrm{c}=3$ ও $d=-1$ হলে, $f(x)$ এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর ৷

গ. $a = d$ হলে, দেখাও যে, $f^{-1}(x)=f(x)$

$A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 3 \\4 & 5 & -2 \\0 & 3 & 9\end{array}\right]$ এবং $f(x)=x^{2}+2 x$

ক. $\operatorname{Det}(\mathrm{A})$ নির্ণয় কর ।

খ. $f(\mathrm{~A})+5 I_{3}$ নির্ণয় কর ।

গ. $f:\{-3,-2,1,2\} \rightarrow \mathbb{N}$ হলে রেঞ্জ $f$ এর উপাদানগুলিকে - ব্যবহার করে চার অংক

বিশিষ্ট কতগুলি অর্থপূর্ণ জোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে?

$f(x)=x^{2}+9$ একটি ফাংশন এবং $A=\left[\begin{array}{l}5 \\3 \\2\end{array}\right]$ ও $B=\left[\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right.\text { 0] }$ দুটি ম্যাট্রিক্স ।

ক. $\left[\begin{array}{lr}x+3 & 3 \\2 & x+2\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্স ব্যতিক্রমী হলে x এর মান নির্ণয় কর।

খ. $P(x)=\sqrt{f(x)}$ হলে, $\mathrm{P}^{-1}[3, \sqrt{10}]$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $f(A B+I)$ নির্ণয় কর।

$f(x)=\frac{3 x-5}{4 x+7}$ ও $g(x)=2 x-9$

$\mathbf{R}=g(4) \hat{i}-g(5) \hat{j}-g(3) \hat{k}$ ও

$\mathbf{M}=-g(10) \hat{i}+g(0) \hat{j}+g\left(\frac{1}{2}\right) \hat{k}$

ক. $f(x)$ ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

খ. $f o p(x)=g(x)$ হলে, $\text { gop(4) }$ নির্ণয় কর।

গ. $R$ ও $M$ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর ।

দৃশ্যকল্প ১: $3 x-4 y+5=0$

দৃশ্যকল্প ২: $g(x)=b \frac{x-a}{b-a}+a \frac{x-b}{a-b}$

ক. $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{\sqrt{7-x}}$ ফাংশনের ডোমেন নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, $g(a)+g(b)=g(a+b)$

গ. $(2, −1)$ বিন্দু হতে দৃশ্যকল্প ১ এ বর্ণিত রেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।