Questions in this chapter

দৃশ্যকল্প-১: XYZ সমবাহু ত্রিভুজের YZ, ZX এবং XY বাহুর সমান্তরাল যথাক্রমে 5, 7 এবং 9 একক মানের তিনটি বল ক্রিয়ারত।

দৃশ্যকল্প-২: 2 P দীর্ঘ এবং M ওজন বিশিষ্ট একটি সুষম তক্তা $l$ দূরত্বে অবস্থিত দুটি খুঁটির উপর আনুভূমিকভাবে অবস্থিত।

একে না উল্টিয়ে এর দুই প্রান্তে পর্যায়ক্রমে সর্বাধিক $\mathrm{M}_{1}$ ও $\mathrm{M}_{2}$ ওজন ঝুলানো যায়।

ক. 8N ও 5N মানের দুটি বলের লব্ধি বৃহত্তর বলের সাথে 45° কোণ উৎপন্ন করলে বল দুটির মধ্যবর্তী কোণের মান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে $\frac{\mathrm{M}_{1}}{\mathrm{M}+\mathrm{M}_{1}}+\frac{\mathrm{M}_{2}}{\mathrm{M}+\mathrm{M}_{2}}=\frac{l}{\mathrm{P}}$

ক. যদি কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত a ও b (a > b) বলের লব্ধি তাদের অন্তর্গত কোণকে এক-তৃতীয়াংশে বিভক্ত করে, তবে বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর।

খ . উদ্দীপকে অন্তঃকেন্দ্র I গামী P, Q, R বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও যে,

$P: Q: R=\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}\right): \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{B}{2}\right): \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right)$

গ. উদ্দীপকের P, Q, R বলগুলো ক্রিয়া না করলে, শুধুমাত্র A, B, C বিন্দুতে ক্রিয়ারত U, V, W মানের সদৃশ,

সমান্তরাল বলের লব্ধি পরিকেন্দ্র O গামী হলে, প্রমাণ কর যে, $\mathrm{U}: \mathrm{V}: \mathrm{W}=\mathrm{a} \cos \mathrm{A}: \mathrm{b} \cos \mathrm{B}: \mathrm{c} \cos \mathrm{C}$

ক. $120^{\circ}$ কোণে ক্রিয়ারত দুটি সমান বলের লব্ধি $9N$ হলে সমান বল দুটি নির্ণয় কর ৷

খ. উদ্দীপক-১ এ উল্লিখিত ত্রিভুজটির লম্বকেন্দ্র $\text { O } \mid P_{1}, P_{2}, P_{3}$ তিনটি বল যথাক্রমে $\mathrm{OD}, \mathrm{OE}, \mathrm{OF}$ বরাবর ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থায় আছে। প্ৰমাণ কর যে, $P_{1}: P_{2}: P_{3}=a: b: c$ (সংশোধিত)

গ. উদ্দীপক-২ এ প্রদত্ত বলগুলির লব্ধি উক্ত ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্রগামী হলে দেখাও যে, $P_{1}: P_{2}: P_{3}=a: b: c$

ক. কোনো বিন্দুতে পরস্পর $\alpha$ কোণে ক্রিয়ারত $P$ মানের দুইটি সমান বলে লব্ধির মান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ নির্দেশিত সদৃশ, সমান্তরাল বলদ্বয় পরস্পর স্থান বিনিময় করলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু

$AB$ বরাবার $d$ দূরত্বে সরে যায়। প্রমাণ কর যে, $d=\frac{10}{7}$ মিটার ।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এ $P=6 N, Q=9 N$ ও $R=5 \mathrm{~N}$ হলে বলগুলোর লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় কর।

ক. $\mathbf{\alpha}$ কোণে ক্রিয়ারত $3$ ও $2$ একক মানের বলদ্বয়ের লব্ধি $R$ এবং একই -কোণে ক্রিয়ারত $6$ ও $2$ একক মানের বলদ্বয়ের লব্ধি $\text { 2R. } \alpha$ এর মান নির্ণয় কর ৷

খ. উদ্দীপকে উল্লিখিত সমান্তরাল বলদ্বয়ের ক্রিয়াবিন্দুর অবস্থান বিনিময় করলেও যদি তাদের লব্ধির ক্রিয়াবিন্দুর অবস্থান অপরিবর্তিত থাকে তবে দেখাও যে, $F = G.$

গ. উদ্দীপকে উল্লিখিত $A$ ও $B$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত সদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয়ের অবস্থান পরিবর্তন করলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু $FG$ বরাবর x দূরত্বে সরে যায়। প্রমাণ কর যে $x=\frac{F-G}{F+G} A B ; F>G$

উদ্দীপক-১ : কোনো কণার উপর একই সময়ে ক্রিয়াশীল $P$ এবং $\mathrm{Q}(\mathrm{P}>\mathrm{Q})$ | দুটি বলের লব্ধি $P$ বলের সাথে $60^{\circ}$ কোণ উৎপন্ন করে। $P$ বলকে দ্বিগুণ করলে উক্ত কোণটি পূর্বের কোণের অর্ধেক হয়।

উদ্দীপক-২ : $M$ মানের তিনটি বল একটি বিন্দুতে এরূপভাবে কার্যরত যেন এদের দিক $\triangle \mathrm{ABC}$ এর $BC, CA$ এবং $AB$ বাহুর সমান্তরাল।

ক. $5N$ এবং $12N$ দুটি বল একটি বিন্দুতে $45^{\circ}$ কোণে ক্রিয়ারত থাকলে, বল দুটির লব্ধি নির্ণয় কর।

খ. $P$ এবং $Q$ বলের মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, বলত্রয়ের লব্ধির পরিমাণ $M \sqrt{3-2 \cos A-2 \cos B-2 \cos C }$

উদ্দীপক-১ : $P, Q, R$ বলত্রয় একটি বিন্দুতে ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে। $P$ ও $Q$ এর মধ্যবর্তী কোণ $60^{\circ}$ এবং $P$ ও $R$ এর মধ্যবর্তী কোণ $150^{\circ}$

উদ্দীপক-২ : $20$ সে.মি. দীর্ঘ AB হাল্কা দন্ডটি $10$ সে.মি. ব্যাবধানে দুইটি খুঁটির উপর আনুভূমিকভাবে অবস্থিত। $A$ ও $B$ বিন্দুতে যথাক্রমে $2W$ এবং $3W$ ওজন ঝুলানো হলো।

ক. $15 N$ এবং $20 N$ ওজনের দুইটি অসদৃশ সমান্তরাল বল দুইটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত থাকলে, তাদের লব্ধি কত ?

খ. প্রমাণ কর যে, $P=Q=\frac{\mathbf{R}}{\sqrt{3}}$

গ. খুঁটি দুইটির অবস্থান নির্ণয় ।

দৃশ্যকল্প-১ : $F_{1}$ ও $F_{2}$ বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ $\alpha$ বলদ্বয় পরস্পর অবস্থান বিনিময় করিলে তাদের লব্ধি $\theta$ কোণে সরে যায় ।

দৃশ্যকল্প-২ : $P_{1}$ ও $P_{2}$ দুইটি সমমুখী সমান্তরাল বল একটি দৃঢ় বস্তুর $A$ ও $B$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে এবং বলদ্বয় অবস্থান বিনিময় করলে তাদের লব্ধি $AB$ বরাবর $S$ দূরত্বে সরে যায়।

ক. কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত $4N$ ও $8N$ মানের দুইটি বলের লব্ধি $4N$ বলের ক্রিয়ারেখার উপর লম্ব হলে, তাদের অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, $\tan \frac{\theta}{2}=\frac{F_{1}-F_{2}}{F_{1}+F_{2}} \tan \frac{\alpha}{2} .$

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, $\mathbf{S}=\frac{\mathbf{P}_{1}-\mathbf{P}_{2}}{\mathbf{P}_{1}+\mathbf{P}_{2}} \mathbf{A B}$ যেখানে $P_{1}>P_{2}$

উদ্দীপক-১ : দুইটি দল $ABC$ ত্রিভুজের $AB$ ও $AC$ বাহু বরাবর ক্রিয়া করে এবং এদের মান যথাক্রমে $\cos B$ ও $\cos C$ এর সমানুপাতিক ।

উদ্দীপক-2 : $F_{1}$ ও $F_{1}$ মানের দুইটি পদৃশ সমান্তরাল বল একটি অনড় বস্তুর উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দুতে ক্রিয়াশীল। $P_{1}$ এর ক্রিয়ারেখা সমান্তরাল রেখে তার ক্রিয়াবিন্দুকে $'d'$ দূরত্বে সরানো হল।

ক. $5 N, 7 N$ ও $8 N$ মানের পলায় একটি কণার উপর জিম্মা করে ভারসাম্য সৃষ্টি করেছে। $8N$ ও $5N$ মানের বলদ্বয়ের ক্রিয়ারেখার মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপক-১ ব্যবহার করে দেখাও যে, বলদ্বয়ের যদি $A$ কোণকে $\frac{1}{2}(A+B-C)$ ও $\frac{1}{2}(C+A-B)$ এই দুই অংশে বিভক্ত করে ।

গ. উদ্দীপক-২ ব্যবহার করে দেখাও যে, বলদ্বয়ের লব্ধি $\frac{F_{1} d}{F_{1}+F_{2}}$ দূরত্বে সরে যায়।

দৃশ্যকল্প-১ : $\triangle \mathrm{ABC}$ এর অন্তঃকেন্দ্র $\text { I }$ তে $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ মানের তিনটি বল যথাক্রমে $\text { IA, IB, IC }$ বরাবর ক্রিয়া করে ভারসাম্য সৃষ্টি করে।

দৃশ্যকল্প-২ : $P$ ও $Q$ মানের দুইটি সমমুখী সমান্তরাল বল একটি কঠিন বস্তুর উপর ক্রিয়া করছে। $P$ বলটির ক্রিয়ারেখা সমান্তরাল রেখে তার ক্রিয়াবিন্দুকে $Q$ এর দিকে $b$ দূরত্বে সরানো হলো।

ক. $F$ মানের দুইটি সমান বল কোনো বিন্দুতে $60^{\circ}$ কোণে ক্রিয়া করে $3 \sqrt{3} N$ বলের সাহায্যে ভারসাম্য সৃষ্টি করে, $F$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে প্রমাণ কর যে, $\frac{P_{1}}{\cos \frac{A}{2}}=\frac{P_{2}}{\cos \frac{B}{2}}=\frac{P_{3}}{\cos \frac{C}{2}}$

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, বলদ্বয়ের লব্ধি $\frac{\mathrm{Pb}}{\mathrm{P}+\mathrm{Q}}$ দূরে সরে যায় ।

ক. প্রমাণ কর যে, দুইটি সমান বলের লব্ধি তাদের মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

খ. চিত্র-১ এ বলগুলো $P$ বিন্দুতে সাম্যাবস্থায় থাকলে $F$ এবং $\alpha$ এর মান নির্ণয় কর ৷

গ. চিত্র ২ থেকে দেখাও যে, বল দুটিকে সমপরিমাণে বৃদ্ধি করলে নতুন লব্ধি আরও দূরে সরে যাবে।

ক. $P=Q, R=3 \sqrt{3} N$ এবং $\alpha=60^{\circ}$ হলে সমান বলদ্বয় নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ $\alpha=3 \theta$ হলে প্রমাণ কর যে,$R=\frac{P^{2}-Q^{2}}{Q} ;(P>Q)$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এ বলদ্বয় স্থান বিনিময় করলে তাদের লব্ধি $AB$ বরাবর কত মিটার দূরে সরে যাবে তা নির্ণয় কর ।

ক. $2 \alpha$ কোণে ক্রিয়ারত দুটি সমান বলের লব্ধি, $2 \theta$ কোণে ক্রিয়ারত বল দুটির লব্ধির দ্বিগুণ হলে প্রমাণ কর : $\cos \alpha=2 \cos \theta$

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, $T \tan \theta=S \tan \frac{\alpha}{2}$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বলদ্বয়ের লব্ধি $C$ বিন্দুতে এবং বলয় পরস্পর স্থান বিনিময় করলে লব্ধি $D$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল হলে প্রমাণ কর। যে, $P: Q=2: 1$

ক. বদের লম্বাংশ এর সংজ্ঞা দাও ।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে $O, ABC$ ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র এবং বলয়। সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও যে, $P_{1}^{2}: P_{2}^{2}: P_{3}^{2}=(1+\cos A)(1+\cos B):(1+\cos C)$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বলদ্বয়ের প্রত্যেকের সাথে সমপরিমাণ কত বল যোগ করলে নতুন লব্ধি পূর্বের লব্ধি থেকে $8 cm$ দূরে সরে যাবে?

দৃশ্যকল্প-১ : কোনো বিন্দুতে কার্যরত $Q-R ; Q, Q+R$ মানের বলগুলোর দিক একইক্রমে কোনো সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর সমান্তরাল।

দৃশ্যকল্প-২ :

ক. মূল বিন্দুতে $5, 8$ ও $10$ একক মানের তিনটি বল x-অক্ষের সাথে যথাক্রমে $0^{\circ}, 60^{\circ}$ ও $120^{\circ}$ কোণে ক্রিয়া করছে। $OX$ বরাবর বরগুলোর লম্বাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর বলগুলোর লব্ধি নির্ণয় কর ।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সদৃশ সমান্তরাল বল $P, Q, R$ এর লব্ধি যদি $ABC$ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র $G$-তে ক্রিয়া করে তবে প্রমাণ কর যে, $P=Q=R.$

একটি বিন্দুতে $\alpha$ কোণে ক্রিয়ারত $P$ ও $Q (P> Q)$ মানের বলদ্বয়ের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম লব্ধির মান যথাক্রমে $L$ ও $M$

ক. এক বিন্দুতে $120^{\circ}$ কোণে ক্রিস্মারত দুইটি সমান বলের লব্ধি নির্ণয় কর।

খ. $P$ এর দিক বরারবর লব্ধির লম্বাংশের পরিমাণ $Q$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\alpha=\cos ^{-1} \frac{Q-P}{Q}$

গ. দেখাও যে, কলদ্বয়ের লব্ধির মান $\alpha=\cos ^{-1} \frac{Q-P}{Q}$ [সংশোধিত]

উদ্দীপক-১: তিনটি সদৃশ সমান্তরাল বল $L, M, N$ যথাক্রমে $\triangle A B C$ এর শীর্ষবিন্দু $A, B, C$ তে কার্যরত এবং এদের লব্ধি ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্রগামী ।

উদ্দীপক-২: $l$ দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট একটি সুতার এক প্রান্ত একটি উল্লম্ব দেয়ালে আটকানো। অন্য প্রাপ্ত $'a'$ 'ব্যাসার্ধবিশিষ্ট ও $W$ ওজনের একটি সুষম গোলকের সাথে যুক্ত আছে।

ক. একটি বস্তুর উপর $A$ ও $B$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল $L$ ও $M (L > M)$ পরস্পর স্থান বিনিময় করলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু $AB$ বরাবর x দূরত্বে সরে যায়। প্রমাণ কর যে, $x=\frac{L-M}{L+M} A B$

খ. উদ্দীপক-১ এর সাহায্যে প্রমাণ কর যে, $\frac{L}{a}=\frac{M}{b}=\frac{N}{c}$

গ. উদ্দীপক-২ এর সাহায্যে দেখাও যে, সুতার টান $=\frac{W(a+l)}{\sqrt{l^{2}+2 a l}}$

দৃশ্যকল্প-১ :

দৃশ্যকল্প-২ : দুটি অসদৃশ সমান্তরাল বল $10$ একক এবং $3$ একক যথাক্রমে একটি বস্তুর $A$ ও $B$ বিন্দুতে ক্রিয়া করছে।

ক. কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত $P$ ও $2P$ মানের বলদ্বয়ের লব্ধি যদি $P$ এর ক্রিয়ারেখার ওপর লম্ব হয় তবে বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর এক বিন্দুতে ক্রিয়াশীল $P, Q, R$ বলত্রয় সাম্যাবস্থায় "থাকলে প্রমাণ কর যে,$R^{2}=Q(Q-P)$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এ যদি $AB = a$ একক এবং উভয় বলকে যদি পরিমাণ বৃদ্ধি করা হয় তাহলে দেখাও যে, তাদের লব্ধি $\frac{a x}{7}$ দূরত্বে সরে যাবে।

দৃশ্যকল্প-১ : কোনো একটি বিন্দুতে পরস্পর $120^{\circ}$ কোণে $3N, 4N, 6N$ বলত্রয় ক্রিয়ারত আছে ।

দৃশ্যকল্প-২ : $16N$ ও $12N$ দুইটি সমমুখী সমান্তরাল বল একটি কঠিন বস্তুর উপর যথাক্রমে $L$ ও $M$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত আছে।

ক. $P$ ও $Q$ দুইটি বলের বৃহত্তম লব্ধির মান ক্ষুদ্রতম লব্ধির মানের দ্বিগুণ হলে বল দুইটির অনুপাত নির্ণয় কর ।

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর লব্ধি নির্ণয় কর ।

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে বলদ্বয় অবস্থান বিনিময় করলে $LM$ বরাবর তাদের লব্ধির সরণ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ : একটি হালকা লাঠির এক প্রাপ্ত হতে $2, 8, 6$ ফুট দূরে অবস্থিত তিনটি বিন্দুতে যথাক্রমে $F_{1}, F_{2}, F_{3}$ মানের তিনটি সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত আছে।

দৃশ্যকল্প-২ : কোন বিন্দুতে ক্রিয়ারত $F_{1}$ ও $F_{2}$ মানের দুইটি বলের লব্ধি $F$ তাদের অন্তর্গত কোণকে এক-তৃতীয়াংশে বিভক্ত করে।

ক. $4N$ ও $3N$ মানের দুইটি বল $90^{\circ}$ কোণে ক্রিয়ারত থাকলে তাদের লব্ধির মান কত?

খ. দৃশ্যকল্প-১ অনুসারে লাঠিটি ভারসাম্যে থাকলে দেখাও যে, $F_{1}: F_{2}:F_{3}=1: 2: 3$

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, বল দুইটির লব্ধি $F=\frac{F_{1}^{2}-F_{2}^{2}}{F_{2}}\left(F_{1}>F_{2}\right)$