Questions in this chapter

দৃশ্যকল্প-১ : $2 x=-1+\sqrt{-3}$ এবং $2 y=-1-\sqrt{-3}$

দৃশ্যকল্প-২ : $l=\mathrm{p}+\mathrm{q}, \mathrm{m}=\mathrm{p}+\omega \mathrm{q}$ এবং $\mathrm{n}=\mathrm{p}+\omega^{2} \mathrm{q}$

ক. $-5+12 \sqrt{-1}$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে প্রমাণ কর যে,

$x^{4}+x^{3} y+x^{2} y^{2}+x y^{2}+y^{5}=-1$

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও, যে,$l^{3}+\mathrm{m}^{3}+\mathrm{n}^{3}=3\left(\mathrm{p}^{3}+\mathrm{q}^{3}\right)$

$z=-1-i$ একটি জটিল সংখ্যা ।

ক. $\sqrt[3]{-\mathrm{i}^{2}}$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. $\left(\begin{array}{l}\underline{\mathbf{z}} \\\overline{\mathbf{z}}\end{array}\right)$ও $(\mathrm{z}, \overline{\mathrm{z}})$ এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

গ. সংখ্যাটির বর্গমূল নির্ণয় কর।

$d \in \mathbb{R}$ এবং $z \in \mathbb{C}$

ক. $-1<3 x-2<5$ অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর ।

খ. বিধি উল্লেখ করে দেখাও যে, $\text { d. } 0=0$

গ. দেখাও যে, $\arg \left(\frac{z-4}{z+3}\right)=\frac{\pi}{2}$ একটি বৃত্তের সমীকরণ, যার ব্যাসার্ধ $\frac{7}{2}$ একক ।

$P=\frac{5 i-1}{1+i}$ এবং $Q=2-3 i$

ক. $|3-Q i|$ নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{P}+\mathrm{Q}$ র আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর ।

গ. $x^{3}=1$ এর জটিল মূলদ্বয় $\omega$ ও $\omega^{2}$ হলে প্রমাণ কর যে,

$\mathrm{P} \omega+\mathrm{Q} \omega^{2}=-2-3 \sqrt{3}$

দৃশ্যকল্প-১ : $z=x+i y, z_{1}=a+i b$ দুইটি জটিল সংখ্যা ।

দৃশ্যকল্প-২ : $x^{2}-2 x-5=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ এবং $a x^{2}+b x+c=0$

সমীকরণের মূলদ্বয় $\gamma, \delta$

ক. $\mathrm{i}+\mathrm{i}^{2}+\mathrm{i}^{3}+\ldots \ldots+\mathrm{i}^{23}$ এর মান কত? যেখানে $i=\sqrt{-1}$

খ. $\sqrt[3]{\mathrm{z}_{1}}=\mathrm{z}$ হলে দেখাও যে, $\sqrt[3]{\left|z_{1}\right|}=|z|$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে $\alpha: \beta=\gamma: \delta$ হলে, দেখাও যে,

$5 b^{2}+4 a c=0$

দৃশ্যকল্প-১ : $z=\frac{25}{3+3 i-i^{2}}$

দৃশ্যকল্প-২ : $x^{2}+x+1=0$ এর দুইটি মূল $\alpha$ এবং $\beta$ ।

ক. $\left|\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta}\right|=|\mathrm{x}-\mathrm{iy}|$ কি নির্দেশ করে ।

খ. $\operatorname{Arg}(\sqrt{\overline{\bar{z}})}$ নির্ণয় কর।

$\text { (i) }(1+x)^{n}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+\ldots \ldots+a_{n} x^{n}$

$\text { (ii) } f(x)=x-1$

ক. যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের সুবিধাগুলো কী?

খ. $\frac{x^{2} f(x)}{f(x+2)}>0$ অসমতাটির সমাধান কর এবং সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও।

গ. দেখাও যে,

$\left(a_{0}-a_{2}+a_{4}-\ldots . .\right)^{2}+\left(a_{1}-a_{3}+a_{5}-\ldots\right)^{2}=a_{0} +a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots \ldots .+a_{n}$

$a=x^{3}, b=8$

ক. $\sqrt{i+\sqrt{i+\sqrt{i+\ldots \ldots \infty}}}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\left(2 a-\frac{2}{a}\right)^{10}$ এর বিস্তৃতিতে এর বিস্তৃতিতে ধ্রুব পদটির মান নির্ণয় কর ।

গ. $a-b=0$ সমীকরণের জটিল মূলদ্বয় $\mathrm{z}_{1}$ ও $z_{2}$ হলে, প্রমাণ কর,

যে, $\arg \left(z_{1} z_{2}\right)=\arg \left(z_{1}\right)+\arg \left(z_{2}\right)$

দৃশ্যকল্প-১: $\mathrm{a}=\left(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\right)^{\mathrm{n}}+\left(\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\right)^{\mathrm{n}}, \mathrm{n} \in \mathbb{N}$

দৃশ্যকল্প-২ : $|z-4|+|z+4|=10$

ক. $x=2+\sqrt{-3}$ হলে $3 x^{4}-17 x^{3}+41 x^{2}-35 x+1$ এর মান নির্ণয় কর ৷

খ. দৃশ্যকল্প-১: এর আলোকে দেখাও যে, $a = − 1$ যেখানে $n$ সংখ্যাটি $3$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।

গ. $z=x+i y$ হলে দেখাও যে, দৃশ্যকল্প -২ এ উল্লেখিত সমীকরণটি দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথটি

একটি উপবৃত্ত যার বৃহদাক্ষ $10$ একক।

$Z=-2-2 \sqrt{3} i$ একটি জটিল সংখ্যা ।

ক. $x+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}}$ হলে, দেখাও যে,

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=\frac{p^{2}+q^{2}}{r^{2}+s^{2}}$

খ. $\operatorname{Arg}(\sqrt{Z})$ নির্ণয় কর ।

গ. কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল $z$ এবং মূলগুলির গুণফল $80$ হলে সমীকরণটি

নির্ণয় কর।

$\mathrm{P}=\mathrm{x}+\mathrm{iy}=\sqrt[3]{\mathrm{a}+\mathrm{ib}}$

ক. $-2<x<6$ কে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর।

খ. উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে, $i \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{\frac{a}{2 x}-\frac{b}{2 y}}$

গ. উদ্দীপকের আলোকে $|P+6|+|P-6|=20$ হলে সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ : $f(\mathrm{x})=|\mathrm{bx}-\mathrm{c}|$

দৃশ্যকল্প-২ : $2 x=-1+\sqrt{-3}$ এবং $2 y=-1-\sqrt{-3}$

ক. $-5+12 \sqrt{-1}$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ $\mathrm{b}=1, \mathrm{c}=2$ এবং $f(x)<\frac{1}{4}$ হলে

দেখাও যে, $f\left(x^{2}-2\right)<\frac{17}{16}$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে,

$x^{4}+x^{3} y+x^{2} y^{2}+x y^{3}+y^{4}=-1$

$27 x^{2}+6 x-(m+2)=0$ এবং $1+x+x^{2}=0$

ক. $2+2 \sqrt{3} i$ এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

খ. ১ম সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\alpha^{2}$ হলে $m$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. ২য় সমীকরণটির সমাধান নির্ণয় কর এবং যদি সমীকরণটির মূলদ্বয় $\omega$ ও $\omega^{2}$ হয়,

তবে দেখাও যে,$(-1+\sqrt{-3})^{4}+(-1-\sqrt{-3})^{4}=-16$

দৃশ্যকল্প-১ : $\frac{1-i x}{1+i x}=p-i q$ যেখানে $\mathrm{p}, \mathrm{q} \in \mathbb{R}$ এবং $\mathrm{i}^{2}=-1$

দৃশ্যকল্প-২ : $f(x)=p x^{2}+q x+r$

ক. $\sqrt[3]{i}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{p}^{2}+\mathrm{q}^{2}=1$ হলে, দেখাও যে, x এর একটি বাস্তবমান দৃশ্যকল্প- ১ এর

সমীকরণকে সিদ্ধ করবে।

গ. $f(x)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে, $\operatorname{pr}\left(x^{2}+1\right)-\left(q^{2}-2 p r\right) x=0$ সমীকরণের

মূলদ্বয়কে $\alpha$ ও $\beta$ এর মাধ্যমে প্রকাশ করা ।

$f(x)=\mathrm{px}+\mathrm{q}+\mathrm{rx}^{2}$ এবং $P=x+i y$

ক. $3+4 i$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

খ. $|p+5|+|p-5|=10$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।

গ. $p+q+r=0$ হলে দেখাও যে,

$\{f(\omega)\}^{3}+\left\{f\left(\omega^{2}\right)\right\}^{3}=27 \text { pqr. }$

$\frac{z+i}{z+2}$ বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর, যখন এটি সম্পূর্ণ কাল্পনিক।

দৃশ্যকল্প-১ : $x+i y=\sqrt[3]{a+i b}$ একটি জটিল সংখ্যার সমীকরণ।

দৃশ্যকল্প-২ : A ও B দুই ধরনের খাবার আছে। যার মধ্যে প্রোটিন ও স্টার্চ এর পরিমাণ নিম্নরূপ :

ক. $\frac{1}{|3 x+1|} \geq 5$ যখন $x \neq \frac{-1}{3}$ কে পরমমান চিহ্ন ব্যতীত প্রকাশ কর ।

খ. দৃশ্যকল্প—১ এর আলোকে দেখাও যে, $2\left(x^{2}+y^{2}\right)=\frac{b}{y}-\frac{a}{x}$

গ. সবচেয়ে কম খরচে প্রত্যহের প্রয়োজন কিভাবে মেটানো যায় তা যোগাশ্রয়ী

প্রোগ্রামের মাধ্যমে নির্ণয় কর ।

$-i$ এর ঘনমূল তিনটির যোগফল নির্ণয় কর।

যদি $re^{i\theta}=\frac{3+2i}{2+3i}+\frac{1+5i}{1-2i},$ তবে $r$ ও $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।

$\frac{1+2i}{1-3i}$ কে $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ আকারে প্রকাশ কর।