Questions in this chapter

$y^{2}=16 x$ এবং $x^{2}=16 y$ দুইটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।

ক. $\int \frac{1}{1-\cos 4 x} d x$ নির্ণয় কর।

খ. প্রথম পরাবৃত্তের উপরস্থ $(1, 4)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর ৷

গ. পরাবৃত্ত দুইটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$f(x)=\frac{5 x^{2}-8 x+1}{2 x(x-1)^{2}}$ এবং $g(x)=e^{x}$

ক. $\int \frac{\ln x}{2 x} d x$ নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে,$\int_{4}^{9} f(x) d x=\ln \left(\frac{32}{3}\right)-\frac{5}{24}$

গ. প্রমাণ কর যে,$\frac{x}{g^{-1}(x)}$ এর ক্ষুদ্রতম মান $e$

$\text { (i) } y=x$ একটি সরলরেখা এবং $y^{2}=4 x$ একটি পরাবৃত্ত নির্দেশ করে ।

$\text { (ii) } f(\mathrm{x})=\cot ^{-1} \mathrm{x}$ একটি বিপরীত ত্রিকোণমিতি ফাংশন

ক. $\int \sin x \cos x d x$ নির্ণয় কর।

খ. $\int_{1}^{\sqrt{3}} x f(x) d x$ নির্ণয় কর।

গ. সরলরেখা এবং পরাবৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

ক. $\int x \sin x d x$ নির্ণয় কর।

খ. $B$ বিন্দুতে বক্ররেখাটির স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

ক. $\int \sin ^{2} 2 x d x$ নির্ণয় কর।

খ. $A$ বিন্দুতে বক্ররেখাটির অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উপরের চিত্রটি একটি উপবৃত্ত যার সমীকরণ $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$

ক. $\int x e^{x^{2}} d x$ নির্ণয় কর।

খ. $C$ বিন্দুতে উপবৃত্তটির স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. ছায়াঘেরা অংশটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

উদ্দীপক-১ : $g(x)=\cos x, f(x)=x-1, \varphi(x)=x^{2}+4$

উদ্দীপক—২ :

ক. $\tan ^{-1}\left(\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)$ কে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ কর।

খ. $\text { (i) } \int\{g(x)\}^{4} d x$ নির্ণয় কর ।

$\text { (ii) } \int \frac{x}{f(x) \varphi(x)} d x$ নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপক—২ এ উল্লেখিত বৃত্ত এবং $x − 3 = 0$ রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম

ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$f(\theta)=\sin \theta$ এবং $g(x)=e^{m \sin ^{-1} 2 x}$

ক. যদি $\triangle \mathrm{ABC}$ এ $\mathrm{BC}=\mathrm{a}, \mathrm{CA}=\mathrm{b}, \mathrm{AB}=\mathrm{c}$ এবং $a^{4}+b^{4}+c^{4}=2 c^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)$

হয়, তবে দেখাও যে,$C=45^{\circ}$ অথবা,$135^{\circ}$

খ. প্রমাণ কর যে,$\left(1-4 x^{2}\right) g^{\prime \prime}(x)-4 x \cdot g^{\prime}(x)=4 m^{2} g(x)$

গ. i. যোগজ নির্ণয় কর :$\int \frac{d \theta}{1+3\left\{f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}^{2}}$

ii. মান নির্ণয় কর : $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left\{f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right\}^{3} \sqrt{f(x)} d x$

$y^{2}=4 a x$ এবং $x^{2}=4 a y$ দুইটি পরাবৃত্তের সমীকরণ এবং $x^{3}+x y^{2}-3 x^{2}+4 x+5 y+2=0$ একটি বক্ররেখার সমীকরণ

ক. $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\sec ^{3} x-\tan ^{3} x}{\tan x}$ এর মান কত?

খ. বক্ররেখাটির $(1, – 1)$ বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ - নির্ণয় কর ৷

গ. দেখাও যে, পরাবৃত্ত দুইটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $\frac{16 a^{2}}{3}$ বর্গ একক ৷

দেওয়া আছে, $f(x)=\operatorname{cosec} x, \varphi(x)=e^{x} \sin x, \omega(x)=\sqrt{16-x^{2}}$

ক. দেখাও যে, $\sin 18^{\circ}=\frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)$

খ. মূল নিয়মে x এর সাপেক্ষে $f(5x)$ এর অন্তরক সহগ নির্ণয় কর ।

গ. সমাকলন কর : $\text { (i) } \int \varphi(x) d x$ এবং $\text { (ii) } \int_{0}^{4} \omega(x) d x \text {. }$

$\mathrm{y}=2 \mathrm{x}......(i)$

$x^{2}+y^{2}=8 x.......(ii)$

ক. $\int \frac{\sin x}{\sin x-\cos x} d x$ নির্ণয় কর ।

খ. মান নির্ণয় কর : $\int_{0}^{\pi} x f(x) d x$

গ. (i) ও (ii) রেখাদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ৷

$x^{2}=y......(i)0$ এবং $y^{2}=8 x.....(ii)$ দুইটি পরাবৃত্তের সমীকরণ ।

ক. $\int \frac{\ln x}{x} d x$ নির্ণয় কর।

খ. (i) নং সমীকরণের সাহায্যে $\int_{-1}^{1} y \sqrt{4-y} d x$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকের পরাবৃত্তদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$f(x)=\sin x$ এবং $g(x)=4 p x$.

ক. $\int \sqrt{1-f(2 x)} d x$ নির্ণয় কর।

খ. $\int \frac{2 x+1}{\left\{f\left(\sin ^{-1} x\right)+2\right\}\left\{f\left(\sin ^{-1} x\right)-3\right\}^{2}} d x$ নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $z^{2}=g(y)$ এবং $y^{2}=g(z)$ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের

ক্ষেত্রফল $\frac{16 \mathrm{p}^{2}}{3}$

$\phi(x, y)=9 x^{2}+16 y^{2}-144, f(x)=x-2$ এবং $g(x)=\cos x$

ক. $\int \ln x d x$ নির্ণয় কর।

খ. $\varphi(x, y)=0$ এবং $f(x) = 0$ রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল

নির্দিষ্ট যোগজ প্রয়োগ করে নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2 g(x) g\left(\frac{\pi}{2}-x\right) d x}{\left\{g\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right\}^{4}+\{g(x)\}^{4}}=\frac{\pi}{4}$

$f(z)=16+25 \cos ^{2} z$ এবং

ক. $\int_{2}^{3} \frac{1}{x} \cos (\ln x) d x$ নির্ণয় কর ।

খ. উদ্দীপক ব্যবহার করে $\int \frac{1}{f(x)} d x$ নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকের আলোকে ছায়াকৃত অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$f(\mathrm{x})=\mathrm{x}$ এবং $g(x)=x^{2}+1$

ক. $\int \frac{f(x)}{g(x)} d x$ নির্ণয় কর।

খ. $\int_{1}^{2} \frac{d x}{\{f(x)\}^{2} \sqrt{5-g(x)}}$ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ ও $f(y)=10$ বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উদ্দীপক-১ : $g(x)=\cos x$

উদ্দীপক-২ : $y^{2}=16 x, x^{2}=16 y$

ক. $y=\cos x$ হলে, দেখাও যে, $y_{4}-y=0$

খ. 'উদ্দীপক-১' হতে $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\{g(x)\}^{3}\left\{g\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right\}^{4}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. ‘উদ্দীপক-২'-এর পরাবৃত্ত দুইটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর৷

দৃশ্যকল্প-১ : $f(x)=\tan x$

দৃশ্যকল্প-২ : $f(x, y)=x^{2}+y^{2}$

ক. $\int e^{x} \sin x d x$ নির্ণয় কর।

খ. $\int \frac{d x}{1+f(x)}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $f(\mathrm{x}, \mathrm{y})=25$ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উদ্দীপক-1 : $f(x)=\tan x$

উদ্দীপক-2 : ${x}^{2}+y^{2}=9$

ক. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \theta}{5+3 \cos \theta}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\int \frac{d x}{1+f(x)}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপক- ২ এ উল্লিখিত বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$f(x)=x^{2}$ একটি কণিকের সমীকরণ।

ক. সমাকলন কর : $\int \ln \mathrm{xdx}$

খ. যোগজ নির্ণয় কর : $\int \frac{d x}{f(x)(\sqrt{f(x)}+1)}$

গ. দেখাও যে, $f(x)$ এবং $x-y=0$ রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $\frac{1}{6}$ বর্গ একক।