Questions in this chapter

$x^{2}+y^{2}=36......(i)$

$f(y)=y-1, g(y)=y^{2}+4......(ii)$

ক. $\int \frac{1}{1+\cos 4 x} d x$ নির্ণয় কর৷

খ. (i) এ বর্ণিত বৃত্তের x অক্ষের উপরের অংশের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

গ. $\int \frac{f(y)+1}{f(y) g(y)} d y$ নির্ণয় কর।

$x^{2}+y^{2}=16$ একটি বৃত্তের এবং $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।

ক. সমাকলন কর : $\int e^{x}(\sin x+\cos x) dx$

খ. বৃত্তটির সমীকরণ হতে $\int y d x$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প : $\mathrm{P}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}, \mathrm{Q}=\cos \mathrm{x}, \mathrm{R}=\sin \mathrm{x}, f(\mathrm{x})=\frac{1}{1-\sin \mathrm{x}}$

এবং $g(x)=\frac{\left(\tan ^{-1} x\right)^{2}}{1+x^{2}}$

ক. দেখাও যে $\int P R d x=\frac{1}{2} P(R-Q)+C$

খ. প্রমাণ কর যে, $\int \frac{P}{Q^{2}}(Q+R) d x=\frac{P}{Q}+C$

গ. মান নির্ণয় কর : $\text { (i) } \int_{3}^{\frac{\pi}{3}} f(x) d x \text { (ii) } \int_{0}^{1} g(x) d x$

$f(x)=\sin 2 x, g(x)=e^{x}$ এবং $y^{2}=4 x$ একটি পরাবৃত্ত।

ক. $\int \frac{\tan x}{\ln (\cos x)} \cdot d x$ এর যোগজ নির্ণয় কর।

খ. $\int g(x) \cdot f(x) \cdot d x$ এর যোগজ নির্ণয় কর।

গ. উপরোক্ত পরাবৃত্ত এবং $y = x$ সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

উদ্দীপক−1 : $f(x)=\cos x$ একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ।

উদ্দীপক-2 :

ক. $\int \frac{d x}{\left(4+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+f\left(\frac{3 \pi}{2}-x\right)} d x$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$f(x)=x^{2}, g(x)=\sqrt{\sin x}$

ক. $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin x}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^{2}}$

খ. মান নির্ণয় কর : $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{3} x g(x) d x$

গ. $x-y+2=0$ সরলরেখা এবং $y = f(x)$ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$f(x)=e^{x}$ এবং $25 x^{2}+36 y^{2}=a^{2}$

ক. $\int \frac{x^{2}-4}{x^{2}+4} d x$ নির্ণয় কর।

খ. $\int_{0}^{\ln 5} \frac{d x}{f(x)-f^{-1}(x)}$ নির্ণয় কর ৷

গ. $a = 30$ হলে উদ্দীপকের উপবৃত্ত এবং $f(\ln x)-3=0$ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের

ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

দৃশ্যকল্প-১ : $f(x)=\frac{x+2}{(1-x)\left(x^{2}+4\right)}$

দৃশ্যকল্প-২ : $9 x^{2}+6 y^{2}-144=0$

ক. $\int x \ln x d x$ নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প ১ হতে $\int f(x) d x$ নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প ২ হতে আবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$f(x)=x^{2}-5 x+4$ এবং $g(x)=\cos x$

ক. $\int \mathrm{xe}^{\mathrm{x}^{2}} \mathrm{dx}$ নির্ণয় কর।

খ. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{g(x)}{8+\{g(x)\}^{2}} d x$ নির্ণয় কর।

গ. $f(x)$ এবং x অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

ক. দেখাও যে, $1+\tan ^{2} x=\sec ^{2} x$

খ. সরলরেখা ও বৃত্তের ছেদবিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর ৷

গ. চিত্রের কালো (ছায়া) অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

ক. $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5^{x+1}-5^{-x}}{5^{x}+5^{-x}}+\frac{2}{x}$ নির্ণয় কর ।

খ. দেখাও যে, $y=\cos ^{-1}(f(x))+\frac{1}{\cos ^{-1}(f(x))}$ এর গুরুমান ও লঘুমানের

পরমমান সমান।

গ. উদ্দীপকের আলোকে $\int\left\{\frac{\tan x}{\ln (f(x))}+\frac{1}{1+3\{f(x)\}^{2}}\right\} d x$ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প : $f(x)=x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{4}}, g(x)=e^{x}, y=\frac{1}{4 a} x^{2}$

ক. $\int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প অনুযায়ী যোগজ নির্ণয় কর :

$\text { (i) } \frac{d x}{f(x)} \text {, (ii) } \int \sqrt{g(x)-1} d x$

গ. দৃশ্যকল্প হতে পরাবৃত্ত ও এর উপকেন্দ্রিক লম্ব দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

ক. ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যটি লিখ। কোন শর্তে $\mathbf{y}=f(\mathrm{x})$

ফাংশনের প্রতি অন্তরজ $F(x)$ হবে ?

খ. $A, B, D$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। $A$ ও $B$ বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের অভিলম্বের

সমীকরণ নির্ণয় কর। (উদ্দীপক ১)

গ. $y^{2}=4 x$ বক্ররেখা ও $y=8 x-1$ রেখা দ্বারা ছেদকৃত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

নির্ণয় কর। (উদ্দীপক - ২)

দৃশ্যকল্প-১ : $f(x)=\ln x$

দৃশ্যকল্প-২ : $4 x^{2}+9 y^{2}=36$

ক. মান নির্ণয় কর : $\int \sec ^{2} x \operatorname{cosec}^{2} x \mathrm{dx}$

খ. মান নির্ণয় কর : $\text { (i) } \int \frac{e^{f(x)} \cdot e^{x}}{\left(e^{f(x)}+1\right)^{2}} d x \text {; (ii) } \int_{1}^{e^{2}} \frac{d x}{e^{f(x)} \cdot\{1+f(x)\}}$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

ক. $\int \frac{x}{x^{2}-5 x+6} d x$ নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকের বৃত্ত হতে ১ম চতুর্ভাগে $y = f(x)$ বের করে $\int x^{2} f(x) d x$ নির্ণয় কর ।

গ. উদ্দীপকের বৃত্ত ও উপবৃত্ত দ্বারা ঘন আবদ্ধ এলাকার ক্ষেত্রফল ক্যালকুলাসের

মাধ্যমে নির্ণয় কর।

$\begin{array}{l}\text{(i) } f(x)=\frac{1}{g(x) \sqrt{g(x)+4}}\\\text{(ii) } 4 \mathrm{x}^{2}+9 \mathrm{y}^{2}=36\end{array}$

ক. $\int(5-3 x)^{\frac{3}{2}}$ নির্ণয় কর।

খ. $g(x)=x-3$ হলে, $\int f(x) d x$ নির্ণয় কর।

গ. $(ii)$ নং বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ x-অক্ষের উপরে অবস্থিত অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$g(x)=\sin ^{6} x$ এবং $h(x)=2 x^{2}+2 y^{2}$

ক. $\int \frac{\left(\tan ^{-1} x\right)^{2}}{1+x^{2}} d x$ নির্ণয় কর।

খ. $(i)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} g(x) \cos x d x$ এবং $(ii)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{g(x)} \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) d x$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. $h(x)=32$ বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$\text { (i) } g(x)=\tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-\cos 2 x}{1+\cos 2 x}}$

$\begin{array}{l}\text{(ii) } y=\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{m}\\\text{(iii) } h(x)=\cos ^{3} x \sqrt{\sin x}\end{array}$

ক. (i) হতে $\int g(x) d x$ নির্ণয় কর।

খ. (ii) হতে দেখাও যে, $\left(1+x^{2}\right) y_{2}+x y_{1}-m^{2} y=0$

গ. (iii) হতে $\int_{1}^{\frac{\pi}{2}} h(x) d x$ এর মান নির্ণয় কর।

$4 x^{2}+9 y^{2}=36$ উপবৃত্তের সমীকরণ

ক. $\int_{0}^{\pi} x^{2} \sin \frac{x}{2} d x$ নির্ণয় কর।

খ. উপবৃত্তটির যে সকল বিন্দুতে স্পর্শক x - অক্ষের উপর লম্ব তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

গ. উপবৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ : $y^{2}=4 a x$ এবং $x^{2}=4 a y$

দৃশ্যকল্প—২ : $f(x)=1+\tan x$

ক. যোগজীকরণ বা সমাকলন ব্যাখ্যা কর ।

খ. দৃশ্যকল্প—১ এর দ্বারা আবদ্ধ সমতল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প—২ এর আলোকে $\int \frac{1}{f(x)} d x$ এর মান নির্ণয় কর।