Questions in this chapter

ক. দেখাও যে, $\sin \dfrac{\pi}{16}=\dfrac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}$

খ. $\angle \mathrm{B}=60^{\circ}$ হলে দেখাও যে, $\mathrm {2 \cos \dfrac{C-A}{2}=\dfrac{c+a}{b}}$

গ. $\mathrm {ABC}$ ত্রিভুজ হতে, $\mathrm {\sin ^{2} A+\sin ^{2} B+\sin ^{2} C -2 \cos A \cos B \cos C}$ এর মান নির্ণয় কর ।

$\mathrm{ON} \| \mathrm{BN}^{\prime}$

ক. $\mathrm {\tan \theta=\dfrac{y}{x}}$ হলে দেখাও যে, $\mathrm {x \cos 2 \theta+y \sin 2 \theta=x}$

খ. দৃশ্যকল্প-১ ব্যবহার করে $\mathrm {AB}$ দূরত্ব নির্ণয় কর।

গ. $\dfrac{1}{\mathrm{~T}-\mathrm{m}}+\dfrac{1}{\mathrm{~T}-l}=\dfrac{3}{\mathrm{~T}}$ হলে, দৃশ্যকল্প-২ এর ত্রিভুজের $\mathrm R$ কোণ নির্ণয় কর ।

দৃশ্যকল্প -১ : $\mathrm {f(x) = \cos x.}$

দৃশ্যকল্প -২ :

ক. $\tan \theta=\dfrac{3}{4}$ এবং $\pi<\theta<\dfrac{3 \pi}{2}$ হলে, $\operatorname{cosec}(-\theta)+\sec (-\theta)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm {f(\alpha)+f(\beta)=a}$ এবং $\mathrm {f\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)+f\left(\dfrac{\pi}{2}-\beta\right)=b}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\mathrm {\sin \dfrac{\alpha+\beta}{2}= \pm \dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}$

গ. $\angle A$ এর সাহায্যে $\triangle \mathrm {ABC}$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

ক. $\dfrac{\tan 42^{\circ} \tan 78^{\circ}}{\cot 6^{\circ} \cot 66^{\circ}}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm {\tan \dfrac{E}{2}=\dfrac{p-q}{p+q} \cot \left(\dfrac{S-T}{2}\right) .}$

গ. যদি $\mathrm{p}^{4}+\mathrm{q}^{4}+\mathrm{r}^{4}=2 \mathrm{p}^{2}\left(\mathrm{q}^{2}+\mathrm{r}^{2}\right)$ হয়, তবে দেখাও যে, $\mathrm S = 45^{\circ}$ অথবা $135^{\circ}$.

উদ্দীপক-$\mathrm I :$ $\Delta\mathrm {ABC}$ এ $\mathrm {A+B+C= \pi}$

উদ্দীপক-$\mathrm {II} :$

ক. উদ্দীপক-I থেকে প্রমাণ কর যে, $\mathrm {\tan A+\tan B+\tan C=\tan A \tan B \tan C}$

খ. উদ্দীপক-II থেকে প্রমাণ কর যে, $\mathrm {\tan \dfrac{C-A}{2}=\dfrac{c-a}{c+a} \cot \dfrac{B}{2}}$

গ. উদ্দীপক-I থেকে প্রমাণ কর যে, $\sin ^{2} \dfrac{\mathrm{A}}{2}+\sin ^{2} \dfrac{\mathrm{B}}{2}+\sin ^{2} \dfrac{\mathrm{C}}{2}=1-2 \sin \dfrac{\mathrm{A}}{2} \sin \dfrac{\mathrm{B}}{2} \sin \dfrac{\mathrm{C}}{2}$ ।

যেখানে $\alpha+\beta+\gamma=\pi$

ক. প্রমাণ কর: $\dfrac{\sin 75^{\circ}+\sin 15^{\circ}}{\sin 75^{\circ}-\sin 15^{\circ}}=\sqrt{3}$

খ. প্রমাণ কর: $\sin ^{2} \alpha-\sin ^{2} \beta+\sin ^{2} \gamma=2 \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma$

গ. $\mathrm {\cos P=\sin Q-\cos R}$ হলে দেখাও যে, $\mathrm {PQR}$ ত্রিভুজটি - সমকোণী ৷

$\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\dfrac{\pi}{2}$

ক. প্রমাণ কর যে, $\cos 5 \theta=16 \cos ^{5} \theta-20 \cos ^{3} \theta+5 \cos \theta$

খ. উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে, $\mathrm {\cos (B+C)+\cos (C+A)} +\cos (\mathrm{A}+\mathrm{B})=1+4 \sin \dfrac{\pi-2 \mathrm{~A}}{4} \sin \dfrac{\pi-2 \mathrm{~B}}{4} \sin \dfrac{\pi-2 \mathrm{C}}{4}$

গ. উদ্দীপকের আলোকে যদি $\mathrm {\tan A+\tan B+\tan C=\sqrt{3}}$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $\mathrm { A = B = C}$

$\mathrm {POR}$ একটি ত্রিভুজ।

ক. প্রমাণ কর যে, $\mathrm {2 \cos x=\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 4 x}} .}$

খ. উদ্দীপক হতে প্রমাণ কর যে, $\begin{array}{l}\mathrm {1+4 \sin \dfrac{Q+R}{4} \cdot \sin \dfrac{R+P}{4} \cdot \sin \dfrac{P+Q}{4} =\sin \dfrac{P}{2}+\sin \dfrac{Q}{2}+\sin \dfrac{R}{2}}\end{array}$

গ. উদ্দীপক হতে প্রমাণ কর যে, $\mathrm{p}^{3} \cos (\mathrm{Q}-\mathrm{R})+\mathrm{q}^{3} \cos (\mathrm{R}-\mathrm{P})+\mathrm{r}^{3} \cos (\mathrm{P}-\mathrm{Q})=3 \mathrm{pqr}$

দৃশ্যকল্প-১ :

দৃশ্যকল্প-২ : $\mathrm {\sin 2 \alpha=Q-\sin 2 \beta ; \cos 2 \beta=P-\cos 2 \alpha}$

ক. দেখাও যে, $\sin 29^{\circ}+\cos 29^{\circ}=\sqrt{2} \cos 16^{\circ}$

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ $\mathrm {a^{4}+b^{4}+c^{4}=2 b^{2}\left(a^{2}+c^{2}\right)}$ হলে দেখাও যে, $\angle \mathrm B = 45^°$ বা $135^°.$

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, $\mathrm {\cos (\alpha+\beta)= \pm \frac{P}{\sqrt{\mathrm{P}^{2}+\mathrm{Q}^{2}}}}$

$\sin \theta=\frac{3}{5}$ এবং $A=\frac{\pi}{12}$

ক. দেখাও যে, $\cos 75^{\circ}=\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$

খ. $\frac{\cot \theta+\cos (-\theta)}{\operatorname{cosec}(-\theta)+\tan \theta}$ এর মান নির্ণয় কর; যখন $\frac{\pi}{2}<\theta<\pi$ হয়।

গ. প্রমাণ কর যে,$\tan A \tan 3 \mathrm{~A} \tan 5 \mathrm{~A} \tan 7 \mathrm{~A} \tan 11 A=1$

ক. দেখাও যে, $\frac{b+c}{b-c}=\frac{\sin B+\sin C}{\sin B-\sin C}$

খ. প্রমাণ কর যে, $\frac{\cos \mathrm{A}}{\sin B \sin C}+\frac{\cos \mathrm{B}}{\sin C \sin \mathrm{A}}+\frac{\cos \mathrm{C}}{\sin \mathrm{A} \sin \mathrm{B}}=2$

গ. $\alpha=45^{\circ}, \beta=60^{\circ}$ এবং $a=(\sqrt{3}+1)$ সে. মি. হলে, $\triangle \mathrm{ABC}$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

ক. $\cos 3 \mathrm{~A}$ কে $\cos \mathrm{A}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ।

খ. $\cos ^{2} A+\cos ^{2} B+\cos ^{2} C+2 \cos A \cos B \cos C$ এর মান কত?

গ. $A=60^{\circ}$ হলে, দেখাও যে, $\cos \frac{B-C}{2}=\frac{b+c}{2 a}$

ক. $\mathrm{a}=\sqrt{3}+1, \bar{b}=\sqrt{3}-1, \mathrm{C}=60^{c}$ হলে, $\triangle \mathrm{ABC}$ এ $c$ বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

খ. $A+B=120^{\circ}$ হলে, উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে,

$\sin ^{2}(\theta+\alpha)+\sin ^{2}(\theta-\alpha)-\cos ^{2} \alpha=\frac{1}{2}$

গ. উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে,

$\sin 2 A-\sin 2 B+\sin 2 C=-4 \cos A \sin B \cos 2 \theta$

ক. $\cos \alpha \cdot \cos \beta-\sin \alpha \cdot \sin \beta=1$ হলে, দেখাও যে, $\sin \alpha \operatorname{cosec} \beta+\cos \alpha \sec \beta=0$

খ. $C=75^{\circ}$ হলে উদ্দীপক হতে দেখাও যে,$\sec 2 A-\sqrt{3} \operatorname{cosec} 2 A=4$

গ. উদ্দীপক ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে, $\frac{a^{2}}{b c} \sin (B-C)+\frac{b^{2}}{c a} \sin (C-A)+\frac{c^{2}}{a b} \sin (A-B)=0$

ক. প্রমাণ কর যে, $\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt{2+2 \cos 6 x}}}=\frac{1}{2} \operatorname{cosec} \frac{3 x}{2}$

খ. প্রমাণ কর যে, $\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta+\sin ^{2} \gamma+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma=1 \text {. }$

গ. প্রমাণ কর যে, $(c-b) \sec \left(\frac{A}{2}+B\right)=\text { a sec } \frac{A}{2}$

$ABC$ একটি ত্রিভুজ এবং $f(x)=\sin x$

ক. দেখাও যে, $f(A)=\sin B \cos C+\cos B \sin C$

খ. প্রমাণ কর যে, $c(\cos B-\cos A)=2(a-b) \cos ^{2} \frac{C}{2}$

গ. প্রমাণ কর যে, $f(A+B-C)+f(B+C-A)+f(C+A-B)=4 \sin A \sin B \sin C$

ক. প্রমাণ কর: $\tan 35^{\circ}+\tan 10^{\circ}+\tan 35^{\circ} \cdot \tan 10^{\circ}=1$

খ. প্রমাণ কর: $\cos ^{2} A-\cos ^{2} B+\cos ^{2} C=1-2 \sin A \cdot \cos B \sin C \text {. }$

গ. $ABC$ ত্রিভুজটি সমাধান কর ।

দৃশ্যকল্প-১:

দৃশ্যকল্প-২: $\sec \theta=\frac{m-n \cos \varphi}{m \cos \varphi-n}, m=\frac{P+Q}{2}, n=\frac{P-Q}{2}$

ক. $\frac{\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}}{\sqrt{1+\sin \theta}}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ থেকে দেখাও যে, $\operatorname{asin}\left(\frac{A}{2}+B\right)=(b+c) \sin \frac{A}{2}$

গ. দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রমাণ কর যে, $\frac{\tan \frac{\theta}{2}}{\sqrt{\mathrm{P}}}=\frac{\tan \frac{\varphi}{2}}{\sqrt{\mathrm{Q}}}$

দৃশ্যকল্প-১: $M=\cos ^{2} 5 \alpha+\cos ^{2} 5 \beta-\sin ^{2} 5 \gamma+2 \cos 5 \alpha \cos 5 \beta \cos 5 \gamma$

দৃশ্যকল্প-২:

ক. যেকোনো $ABC$ ত্রিভুজে $\mathrm{b}=4 \mathrm{~cm}, \mathrm{c}=3 \mathrm{~cm}$ এবং $\angle C=30^{\circ}$ হলে $\angle B$ নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, $M. = 0$ যেখানে, $\alpha+\beta+\gamma=\pi$

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, $\frac{\mathrm{b}-\mathrm{c}}{2 \mathrm{a}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \sin \frac{\mathrm{B}-\mathrm{C}}{2}$

দৃশ্যকল্প-১ : $\angle \mathrm{P}+\angle \mathrm{Q}=\angle \mathrm{R}$

দৃশ্যকল্প-২ :

ক. প্রমাণ কর যে, $\sin \theta+\sin \left(120^{\circ}+\theta\right)+\sin \left(240^{\circ}+\theta\right)=0$

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে দেখাও যে,

$\cos ^{2} \frac{P}{3}+\cos ^{2} \frac{Q}{3}+\cos ^{2} \frac{R}{3}=1+2 \cos \frac{{P}}{3} \cos \frac{Q}{3} \cos \frac{R}{3}$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সাহায্যে $\angle C$ এর মান নির্ণয় কর।

অতঃপর দেখাও যে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $\frac{\sqrt{3}}{4}$ বর্গ একক ।