Questions in this chapter

ক. $CD$ অধিচাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

খ. ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ. কোণ $A$ ও $C$ এর মান নির্ণয় কর।

$\text {(i)}$

$\text { (ii) } \sin p+\sin q=m, \sin \left(\frac{\pi}{2}+p\right)+\sin \left(\frac{\pi}{2}+q\right)+n=0$ এবং $p+q=r$

ক. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ $15$ সে.মি. এবং এর একটি চাপ কেন্দ্রে $60°$ কোণ উৎপন্ন করলে বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকের (i) হতে প্রমাণ কর যে, $\cos P+\cos Q+\cos R$

$=1+4 \cos \frac{P+Q}{2} \cos \frac{Q+R}{2} \cos \frac{R+P}{2} .$

গ. উদ্দীপকের (ii) হতে প্রমাণ কর যে, $\cos r=\frac{n^{2}-m^{2}}{n^{2}+m^{2}}$

ক. $6$ কি. মি. দূরত্বে একটি স্তম্ভ পৃথিবী পৃষ্ঠে কোন বিন্দুতে $10^{\prime}$ কোণ উৎপন্ন করে । স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{R}=60^{\circ}$ হলে দেখাও যে, $\frac{1}{s-b}+\frac{1}{s-a}=\frac{3}{s}$

গ. প্রমাণ কর যে, $\cos \frac{P}{2}+\cos \frac{Q}{2}+\cos \frac{R}{2}=4 \cos \frac{\pi-P}{4} \cos \frac{\pi-Q}{4} \cos \frac{\pi-R}{4}$

ক. প্রমাণ কর যে, $\tan 25^{\circ}+\tan 20^{\circ}+\tan 25^{\circ} \tan 20^{\circ}=1$

খ. প্রমাণ কর যে, $\sec ^{2} 2 \theta+\tan ^{2} 2 \theta=\frac{1}{2}\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)$

গ. প্রতি বর্গমিটার $500$ টাকা দরে ছায়াঘেরা অংশে ঘাস লাগানোর খরচ নির্ণয় কর। যেখানে $x = 3$ মিটার।

ক. দেখাও যে, $\tan 36^{\circ}+\tan 9^{\circ}+\tan 36^{\circ} \tan 9^{\circ}=1$

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে $ABDC$ এলাকার পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যেখানে, $OA = 6$ সে. মি.

$AC = 3$ সে. মি. এবং$AOB$ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল $12$ বর্গ সে. মি.।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এ $\frac{1}{p+r}+\frac{1}{q+r}=\frac{3}{p+q+r}$ হলে, $\theta$ নির্ণয় কর।

ক. $\tan \left\{\frac{n \pi}{2}+(-1)^{n} \frac{\pi}{4}\right\}$ এর মান নির্ণয় কর, যেখানে $n$ শূন্য বা

খ. $\frac{\mathrm{AD}+\mathrm{DC}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BD}+\mathrm{DC}}{\mathrm{BC}}$ হলে দেখাও যে, $\triangle \mathrm{ABC}$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

গ. প্রমাণ কর যে, $\frac{\cos C-\cos B}{1+\cos A}=\frac{A C-A B}{B C}$

দৃশ্যকল্প-১: $A$ ও $B$ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ এবং $A+B<90^{\circ} .$

দৃশ্যকল্প-২: $\sqrt{2} \cos A=\cos B+\cos ^{3} B$ এবং $\sqrt{2} \sin A=\sin B-\sin ^{3} B$

ক. $\cos (\alpha+\beta)=1$ হলে দেখাও যে, $1+\cot \alpha \tan \beta=0$

খ. দৃশ্যকল্প-১ অনুসারে দেখাও যে, $\sin (A+B)=\sin A \cos B+\cos A \sin B$

গ. দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে দেখাও যে, $\sin (A-B)= \pm \frac{1}{3}$

$ABC$ ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য $a, b, c.$

ক. $f(\theta)=\sin ^{2} \theta$ হলে, $f\left(\frac{\pi}{4}\right)+f\left(\frac{3 \pi}{4}\right)+f\left(\frac{5 \pi}{4}\right)+f\left(\frac{7 \pi}{4}\right)$ মান নির্ণয় কর।

খ. ত্রিভুজের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের মান নির্ণয় কর, যখন $\mathrm{a}=2,b=4$ ও $c=5$

গ. প্রমাণ কর যে, $\cos \frac{B-C}{2}=\frac{b+c}{a} \sin \frac{A}{2} .$

ক. দেখাও যে, $\sin ^{2} \frac{\pi}{7}+\sin ^{2} \frac{5 \pi}{14} +\sin ^{2} \frac{8 \pi}{7}+\sin ^{2} \frac{9 \pi}{14}=2 \text {. }$

খ. $AD$ বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

গ. $ABCD$ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$\mathrm{ABC}$ একটি ত্রিভুজ এবং $f(x)=\tan x$ একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ।

ক. $A+B+C=\pi$ হলে, প্রমাণ কর যে,

$f(A)+f(B)+f(C)=f(A) f(B) f(C)$

খ. $f(\alpha)=2 f(\beta)$ হলে, দেখাও যে, $f(\alpha+\beta)=\frac{3 \sin 2 \alpha}{1+3 \cos 2 \alpha}$

গ. ত্রিভুজটি সমাধান কর।

$S=\tan P \cot Q \cot R ; X=\cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15}$

$Y=\sec \frac{8 \pi}{15} \sec \frac{14 \pi}{15}$

ক. $\theta$ সূক্ষ্মকোণ এবং $\tan \theta=\frac{2}{3}$ হলে, দেখাও যে, $\sin 2 \theta=\frac{12}{13}$

খ. $P=20^{\circ}, Q=50^{\circ}, \mathrm{R}=10^{\circ}$ হলে, দেখাও যে,$S=\sqrt{3}$

গ. প্রমাণ কর যে, $\frac{16 \mathrm{X}}{\mathrm{Y}}=1 .$

$S=\tan P \cot Q \cot R, X=\sec \frac{\pi}{17} \sec \frac{-2 \pi}{17}$ এবং $Y=\cos \frac{4 \pi}{17} \cos \frac{9 \pi}{17}$

ক. $\tan A=\frac{5}{12}$ হলে দেখাও যে, $\sin 2 A=\frac{120}{169}$

খ. $P=20^{\circ}, Q=50^{\circ}, R=10^{\circ}$ হলে দেখাও যে, $S=\sqrt{3}$

গ. প্রমাণ কর যে, $\frac{16 Y}{X}=-1$

ক. $\cos \phi=\frac{1}{3}$ হলে, দেখাও যে, $\cos 2 \phi=-\frac{7}{9}$

খ. দেখাও যে, $\operatorname{cosec} C-\sqrt{3} \sec C=4$

গ. প্রমাণ কর যে, $\sin ^{2}(\theta+\alpha)+\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2}(\theta-\alpha)=\frac{3}{2}$

$f(\theta)=\cos \frac{\theta}{2}-\sin \frac{\theta}{2}$ একটি ফাংশন ।

ক. $\sin A=\frac{1}{\sqrt{5}}$ হলে, $\frac{1-\tan ^{2} \mathrm{~A}}{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2} \sin \frac{\pi}{8}$

গ. লেখচিত্রের সাহায্যে, $f(\theta)=0$ এর সমাধান কর (যেখানে $\left.\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{3 \pi}{4}\right)$

ক. প্রমাণ-কর: $\sin 78^{\circ} 19^{\prime} \cos 18^{\circ} 19^{\prime}-\sin 11^{\circ} 41^{\prime} \sin 18^{\circ} 19^{\prime}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

খ. $a=\sqrt{b^{2}+b c+c^{2}}$ হলে ত্রিভুজটির সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি নির্ণয় কর।

গ. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, $\frac{a-b}{c} \operatorname{cosec} \frac{A-B}{2}=\sec \frac{C}{2}$

$\text { (i) } \frac{1}{\operatorname{cosec} \alpha}+\frac{1}{\operatorname{cosec} \beta}=\sqrt{5}\left(\frac{1}{\sec \beta}-\frac{1}{\sec \alpha}\right)$

$\text { (ii) } P+Q+R=n \pi$

ক. $\cot \theta=3$ হলে, $\cos 2 \theta$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. (i) থেকে প্রমাণ কর যে, $\cos \frac{\alpha-\beta}{2}=\sqrt{\frac{5}{6}}$

গ. (ii) এর শর্তে $n = 2$ হলে, প্রমাণ কর যে,

$\cos ^{2} P+\cos ^{2} Q+\cos ^{2} R=2 \cos P \cos Q \cos {R}+1 \text {. }$

$\text { (i) } \tan \frac{1}{2}(\theta-\phi)=\frac{k-1}{k+1} \tan \frac{1}{2}(\theta+\phi) \text {; }$

$\text { (ii) }(a+b+c)(b+c-a)=3 b c \text {. }$

ক. একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ যথাক্রমে $30^{\circ}$ এবং $60°$ হলে, দেখাও যে,

ত্রিভুজটির বাহুগুলির অনুপাত হবে $1: \sqrt{3}: 2$

খ. $\sin \theta=\mathrm{k} \sin \phi$ হলে, উদ্দীপকের (i) প্রমাণ কর।

গ. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলি $a, b, c$ হলে, (ii) থেকে $\angle A$ নির্ণয় কর।

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে $P, Q, R.$

ক. প্রমাণ কর যে, $\tan (P+Q)+\tan R=0$

খ. প্রমাণ কর যে, $\sin ^{2} \frac{P}{2}+\sin ^{2} \frac{\mathrm{Q}}{2}+\sin ^{2} \frac{R}{2}=1-2 \sin \frac{\mathrm{P}}{2} \sin \frac{\mathrm{Q}}{2} \sin \frac{R}{2}$

গ. যদি, $\cot P+\cot Q+\cot R=\sqrt{3}$ হয়, তবে দেখাও যে, $P=Q=R$

যে কোনো ত্রিভুজ $ABC$ এর বাহুগুলি যথাক্রমে $a, b, c.$

ক. $\cos 3 A$ কে $\cos A$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\cos (B-C)+\cos A=\frac{b c}{2 R^{2}}$

যেখানে $ABC$ ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ $R$

গ. যদি $a^{4}+b^{4}+c^{4}=2 c^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)$ হয়, তবে দেখাও যে, $\mathrm{C}=45^{\circ}$ অথবা $135^{\circ} .$

$PQR$ ত্রিভুজের বাহুগুলি যথাক্রমে $p, q, r.$

ক. প্রমাণ কর যে,

$\cos ^{2} \frac{\pi}{24}+\cos ^{2} \frac{19 \pi}{24}+\cos ^{2} \frac{31 \pi}{24}+\cos ^{2} \frac{37 \pi}{24}=2$

খ. দেখাও যে, $\cos Q+\cos R=\frac{2(q+r)}{p} \sin ^{2} \frac{P}{2}$

গ. $q = r$ হলে, দেখাও যে, $\triangle \mathrm{PQR}$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{p}{4} \sqrt{4 q^{2}-p^{2}}$ বর্গ একক ।