Questions in this chapter

$f(x)=\sin x$ এবং $g(x)=\cos x$

ক. $\cos \theta=\frac{3}{\sqrt{13}}$ হলে $\sqrt[1]{\frac{2-\cot ^{2} \theta}{2+\cot ^{2} \theta}}$ -এর মান নির্ণয় কর।

খ. $f(x)+f(y)=p$ এবং $g(x)+g(y)=q$ হলে প্রমাণ কর যে,

$f\left(\frac{x-y}{2}\right)=\pm \frac{1}{2} \sqrt{4-p^{2}-q^{2}}$

গ. $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi$ ব্যবধিতে $f(2 x)$ এর লেখচিত্র অঙ্কন করে এর

একটি বৈশিষ্ট্য লিখ ।

$\mathrm {\varphi(x)=\cos x}$

ক. কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য $\text {3a, 5a}$ ও $\text {7a}$ একক হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণ নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm {\varphi(2 x) \varphi(4 x) \varphi(8 x) \varphi(14 x)}$ এর মান নির্ণয় কর, যখন $\mathrm {x=\dfrac{\pi}{15}}$

গ. $\mathrm{p} \varphi(\mathrm{x})+\mathrm{q} \varphi(\mathrm{y})=\mathrm{r}=\mathrm{p} \varphi\left(\dfrac{\pi}{2}-\mathrm{x}\right)+\mathrm{q} \varphi\left(\dfrac{\pi}{2}-\mathrm{y}\right)$ হলে দেখাও যে, $\mathrm {\varphi\left(\dfrac{x-y}{2}\right)= \pm \sqrt{\dfrac{2 r^{2}-(p-q)^{2}}{4 p q}}}$

$c$ মিটার দীর্ঘ একটি সীমানা দেয়াল $AB$ এবং $C$ বিন্দুতে অবস্থিত একটি লাইট হাউস থেকে দেয়ালটি পর্যবেক্ষণ করা হয়। দেয়ালের $A$ ও $B$ প্রান্ত থেকে লাইট হাউসটির দূরত্ব যথাক্রমে $b$ ও $a$। পুরো দেয়ালটি

পর্যবেক্ষণের জন্য লাইট হাউসের সার্চ লাইটটিকে $\angle \mathrm{C}$ কোণে ঘুরাতে হয়। লাইট হাউস থেকে দেয়াল এবং লাইট হাউসের মধ্যে উৎপন্ন ত্রিভুজ আকৃতির এলাকাটিও পর্যবেক্ষণ করা হয় ।

ক. ত্রিভুজাকৃতির এলাকাটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

খ. ত্রিভুজ ক্ষেত্রটির জন্য প্রমাণ কর যে,

$\sin ^{2} A^{}-\sin ^{2} B+\sin ^{2} C=2 \sin A \cdot \cos B \cdot \sin C$

গ. সার্চ লাইটটিকে $60^{\circ}$ কোণে ঘুরানো প্রয়োজন হলে দেখাও যে, $\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$

কোন বিভেদ তলে আলোক রশ্মি $2 \alpha$ কোণে আপতিত হয়ে $2 \theta$ কোণে প্রতিসরিত হলো। এই তলে আপতন কোণ এবং প্রতিসরণ কোণের সাইনের অনুপাত $k$

ক. প্রমাণ কর যে, $\tan 54^{\circ}=\tan 36^{\circ}+2 \tan 18^{\circ}$

খ. আলোক রশ্মির প্রতিসরণ থেকে প্রমাণ কর যে, $\tan (\alpha-\theta)=\frac{k-1}{k+1} \tan (\alpha+\theta)$

গ. $\alpha=\frac{\theta}{3}=9^{\circ}$ হলে দেখাও যে, $k=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}$

$\frac{1}{\operatorname{cosec} \alpha}+\frac{1}{\operatorname{cosec} \beta}=\sqrt{5}\left(\frac{1}{\sec \beta}-\frac{1}{\sec \alpha}\right) \ldots \ldots(\mathrm i)$

$P+Q+R=n \pi \ldots \ldots \mathrm {(ii)}$

ক. $\theta=\cot ^{-1} 3$ হলে, $\cos 2 \theta$ এর মান নির্ণয় কর ৷

খ. (i) নং উদ্দীপক ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে, $\alpha-\beta=2 \cos ^{-1} \sqrt{\frac{5}{6}}$

গ. $n$-এর মান $2$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\cos ^{2} P+\cos ^{2} \mathrm{Q}+\cos ^{2} R=2 \cos P \cos Q \cos R+1$

ক. $\frac{1+\cot D}{1-\cot D}$ এর মান নির্ণয় কর ৷

খ. $ABC$ ত্রিভুজে $b = 2c$ এবং $B = 3C$ হলে $A, B$ ও $C$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. দেখাও যে, $\tan \left(\frac{2 \pi}{9}+D\right)=\tan \left(\frac{\pi}{9}+D\right)+2 \tan \left(D+\frac{\pi}{36}\right)$

ক. ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$

গ. $\angle A^{}=45^{\circ}$ হলে দেখাও যে, $\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\right) a+c \sqrt{2}=2 b$

ক. $\cos 3 B$ এর মান $\cos B$ আকারে প্রকাশ কর ।

খ. প্রমাণ কর যে, $\tan E+\tan F=\frac{4 \sin (E+F)}{1-4 \sin ^{2}\left(\frac{E+F}{2}\right)}$

গ. $\cos ^{3}\left(\frac{E+F}{2}\right)+\cos ^{3}\left\{(E-F)+\left(\frac{E+F}{2}\right)\right\}$

$+\cos ^{3}\left\{2(E-F)+\left(\frac{E+F}{2}\right)\right\}$এর মান নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১: $n \sin 2 \alpha=2\left(1-n \sin ^{2} \alpha\right) \tan \beta$ এবং

দৃশ্যকল্প-২: $x=4 \theta$

ক. $\sin 420^{\circ} \cos 390^{\circ}+\sin \left(-300^{\circ}\right) \cos \left(-330^{\circ}\right)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ থেকে দেখাও যে,

$(1-n) \tan \alpha=\tan (\alpha-\beta) \text {}$

গ. দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রমাণ কর যে,

$\tan \frac{x}{4}+2 \tan \frac{x}{2}+4 \tan x+8 \cot 2 x=\cot \frac{x}{4}$

ক. $\tan \mathrm{A}=\frac{1}{\sqrt{5}} ; \mathrm{A}<90^{\circ}$ হলে, $\cos 2 A=$ কত ?

খ. উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে,

$\sqrt{3} \operatorname{cosec} X-\sec X=4$

গ. উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে,

$\sin ^{2}(\theta+A)+\sin ^{2} A+\sin ^{2}(\theta-A)=\frac{3}{2}$

ক. দেখাও যে, $\frac{1-\tan D}{1+\tan D}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

খ. প্রমাণ কর যে, $\sin \frac{\mathrm{D}}{2}=\frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$

গ. দেখাও যে, $\tan \frac{\mathrm{B}}{2} \tan \frac{\mathrm{C}}{2}+\tan \frac{\mathrm{C}}{2} \tan \frac{\mathrm{A}}{2}+\tan \frac{\mathrm{A}}{2} \tan \frac{\mathrm{B}}{2}=1 .$

ক. $\cos \theta=\frac{4}{5}$ হলে, $\frac{1-\tan ^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\varphi=\frac{\pi}{32}$ হলে, $\cos \varphi$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\tan \left(\frac{\pi}{2}-A\right)+\tan \left(\frac{\pi}{2}-B\right)+\tan \left(\frac{\pi}{2}-C\right)=\frac{3}{\sqrt{3}}$

হলে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমবাহু।

$\triangle \mathrm{ABC}$ এর বাহুত্রয়ের দৈর্ঘ্য $a, b, c$ এবং $\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$ শর্ত মেনে চলে ।

ক. দেখাও যে, $\frac{\mathrm{D}}{180}=\frac{\mathrm{R}}{\pi} .$

খ. প্রমাণ কর যে, $\cos 20^{\circ} \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma=\frac{1}{16}$

গ. গাণিতিকভাবে প্রমাণ কর যে, $\triangle \mathrm{ABC}$ এর $\angle \mathrm{C}=60^{\circ} .$

ক. $\sin 36^{\circ}+\cos 36^{\circ}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $2 \sin A=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$

গ. $\sin \mathrm{B}+\sin \mathrm{C}=\mathrm{AB}$ এবং $\cos B+\cos C=A C$

হলে দেখাও যে, $\cos (B+C)=\frac{A C^{2}-A B^{2}}{A B^{2}+A C^{2}}$

ক. $\sin A+\sin B$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. পরিব্যাসার্ধের সাহায্যে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ. $A$ ও $B$ নির্ণয় কর ।

দৃশ্যকল্প ০১:

দৃশ্যকল্প ০২: $\cot A+\cot \mathrm{B}=\mathrm{x} \text {; }\tan A+\tan B=y$ এবং $A+B=\theta$

ক. $m=13 \mathrm{~cm}, n=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{p}=5 \mathrm{~cm}$ হলে, ত্রিভুজ $MNP$ এর ক্ষেত্রফল কত?

খ. দৃশ্যকল্প-০১ এ $m^{4}+n^{4}+p^{4}=2 p^{2}\left(m^{2}+n^{2}\right)$ হলে, দেখাও যে, $\angle P=45^{\circ}$ বা, $135^{\circ}$

গ. দৃশ্যকল্প-০২ হতে প্রমাণ কর যে, $\tan \theta=\frac{x y}{x-y}$

ক. $45^{\circ} 12^{\prime} 23.2^{\prime \prime}$ কোণকে রেডিয়ানে প্রকাশ কর ।

খ. $PQR$ ত্রিভুজের ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে,

$\sin ^{2} P-\sin ^{2} Q+\sin ^{2} R=2 \sin P \cdot \cos Q \cdot \sin R$

গ. $C$ কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তটির ব্যাসার্ধ $5cm$ হলে ছায়াকৃত অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

চিত্রে $PQRS$ একটি বর্গ এবং $Q$ কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তচাপ $MN.$

ক. দেখাও যে, $1+4 \cdot \frac{\mathrm{PT}^{2}}{\mathrm{QT}^{2}} \cdot \frac{\mathrm{PQ}^{2}}{\mathrm{QT}^{2}}=\left(\frac{\mathrm{PT}^{2}}{\mathrm{QT}^{2}}+\frac{\mathrm{PQ}^{2}}{\mathrm{QT}^{2}}\right)^{2}$

খ. $M Q=13$ সে.মি., $\mathrm{PQ}=12$ সে.মি. হলে, ছায়াঘেরা অংশ $MSN$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ. $\frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{PT}}=\sin \left(\sin \frac{\pi}{18}\right)$ হলে প্রমাণ কর যে, $8 \theta^{4}+4 \theta^{3}-6 \theta^{2}-2 \theta+\frac{1}{2}=0$

চিত্রে $A$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বৃত্তচাপ $BC$

ক. $\mathrm{r}=3 \mathrm{~m}$ হলে বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর ।

খ. প্রমাণ কর যে, $b+c=2 a \cos \frac{B-C}{2}$

গ. $AB = 3$ মিটার এবং প্রতি বর্গমিটার টাইলস করতে $1000$ টাকা খরচ

হলে $R$ এলাকা টাইলস করতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

ক. $\frac{\theta}{2}$ কে রেডিয়ানে প্রকাশ কর ।

খ. ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $\sin \frac{\theta}{4}=\frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$