Questions in this chapter

দৃশ্যকল্প: $ABC$ ত্রিভুজের পরিসীমা $2s$ ।

ক. $\frac{\cos 75^{\circ}+\cos 15^{\circ}}{\cos 75^{\circ}-\cos 15^{\circ}}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\sec B=\sec C \sec A$ হলে দেখাও যে, $\tan A=2 \cot C$

গ. দৃশ্যকল্পের আলোকে $4 s(s-b)=3 c a$ হলে $\angle B$ এর মান কত?

$ABC$ ত্রিভুজের কোণগুলি যথাক্রমে $A, B, C.$

ক. $\cos A=\cos B \cos C$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\tan A=\tan B+\tan C$

খ. প্রমাণ কর যে,

$\sin (B+C-A)+\sin (C+A-B)+\sin (A+B-C)=4 \sin A \sin B \sin C$

গ. প্রমাণ কর যে, $(a-b)^{2} \cos ^{2} \frac{C}{2}+(a+b)^{2} \sin ^{2} \frac{C}{2}=c^{2}$

দৃশ্যকল্প:

ক. প্রমাণ কর যে, $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A \tan B \tan C$

খ. যদি $\tan \alpha=2 \tan \beta$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে,

$\tan (\alpha+\beta)=\frac{3 \sin 2 \alpha}{1+3 \cos 2 \alpha}$

গ. $ABC$ ত্রিভুজটি সমাধান কর।

$f(x)=\sin x$ এবং $g(x)=\cos x$

ক. $\cos \theta=\frac{3}{\sqrt{13}}$ হলে, $\sqrt{\frac{3-\cot ^{2} \theta}{3+\cot ^{2} \theta}}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $f(\mathrm{x})+f(\mathrm{y})={\mathrm{p}}$ এবং $g(x)+g(y)=q$ হলে, প্রমাণ কর যে,

$f\left(\frac{x-y}{2}\right)= \pm \frac{1}{2} \sqrt{4-\mathrm{p}^{2}-\mathrm{q}^{2}}$

গ. $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi$ ব্যবধিতে $f(2x)$ এর লেখচিত্র অঙ্কন করে এর একটি বৈশিষ্ট্য লিখ।

$f(x)=\cos x$

ক. যদি, $\tan \theta=\frac{2}{3}$ হয়, তবে $\cos 2 \theta$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\frac{1}{f(x)}=\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+2 f(4 x)}}}$

গ. $-\pi \leq \mathrm{x} \leq \pi$ ব্যবধিতে $f(2x)$ এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।

দৃশ্যকল্প : $PQR$ একটি ত্রিভুজ।

ক. প্রমাণ কর যে, $\sin x \sin \left(x+30^{\circ}\right)+\cos x \sin \left(x+120^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

খ. $\cos \mathrm{P}=\sin \mathrm{Q}-\cos \mathrm{R}$ হলে, প্রমাণ কর যে,$\triangle \mathrm{PQR}$ সমকোণী ।

গ. প্রমাণ কর যে, $\cos \frac{P}{2}+\cos \frac{Q}{2}+\cos \frac{R}{2}=4 \cos \frac{\pi-P}{4} \cos \frac{\pi-Q}{4} \cos \frac{\pi-R}{4}$

দৃশ্যকল্প :

ক. $\cos 15^{\circ}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\frac{\cos A}{\sin B \sin C}+\frac{\cos B}{\sin C \sin A}+\frac{\cos C}{\sin A \sin B}=2$

গ. $\alpha=30^{\circ}, \beta=45^{\circ}$ হলে, দেখাও যে, $\triangle \mathrm{ABC}$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}(\sqrt{3}+1)$ বর্গ একক ।

দৃশ্যকল্প :

ক. $A+B=105^{\circ}$ হলে, $\sin C$ নির্ণয় কর।

খ. $\triangle \mathrm{ABC}$ এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে,

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=8 R^{2}(1+\cos A \cos B \cos C)$

গ. $\triangle \mathrm{PQS}$ এর ক্ষেত্রে $\frac{1}{P Q+P S}=\frac{3}{P S+P Q+Q S}-\frac{1}{P S+Q S}$ হলে, $\angle Q$ নির্ণয় কর।

$ABC$ ত্রিভুজে $A, B$ ও $C$ কোণের বিপরীত বাহু যথাক্রমে $a, b$ ও $c$. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে,

ক. $\tan \mathrm{A}=\tan B+\tan C$ যখন, $\cos \mathrm{A}=\cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}$

খ. $\cos \mathrm{A}+\cos \mathrm{B}+\cos C=1+4 \sin \frac{\mathrm{A}}{2} \sin \frac{\mathrm{B}}{2} \sin \frac{\mathrm{C}}{2}$

গ. $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$ অথবা, প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য তার বিপরীত কোণের সাইন $\text {(sin)}$ এর সমানুপাতিক ।

চিত্রে, ABC একটি ত্রিভুজ।

ক. ত্রিভুজটির বাহু তিনটি $a = 3$ একক, $b = 5$ একক ও $c = 7$ একক হলে, এর পরিব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

খ. $A=\frac{\pi}{16}$ হলে প্রমাণ কর যে, $2 \sin A=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}$

গ. $\cos \mathrm{A}=\sin \mathrm{B}-\cos C$ হলে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী ।

ক. প্রমাণ কর যে, $\sin x \sin \left(x+30^{\circ}\right)+\cos x \sin \left(x+120^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

খ. চিত্রের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ. চিত্রের সাহায্যে প্রমাণ কর যে,

$\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \lambda-2 \cos \alpha \cos \beta \cos \lambda=1$

$\triangle \mathrm{ABC}$ এ $a=b \cos C+c \cos B$

ক. $\angle A=90^{\circ}$ হলে $a=b \cos C+c \cos B$ এর সাহায্যে প্রমাণ কর যে, $a^{2}=b^{2}+c_{}^{2}$

খ. উদ্দীপকের সাহায্যে দেখাও যে, $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$

গ. উদ্দীপকের সাহায্যে দেখাও যে, $\cos (A+B)=\cos A \cos B-\sin A \sin B$

ক. $\sin 2 \alpha=k \sin 2 \theta$ হলে দেখাও যে, $\tan (\alpha-\theta)=\frac{k-1}{k+1} \tan (\alpha+\theta)$

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে $\mathrm{ABEC}$ ক্ষেত্রের পরিসীমা নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রতি বর্গ মিটার $500$ টাকা দরে ছায়াঘেরা অংশে টাইলস করতে কত টাকা খরচ হবে নির্ণয় কর।

উদ্দীপক: চিত্রে, ABCD একটি ঘুড়ি। CBD একটি বৃত্তকলা ।

ক. প্রমাণ কর যে, $\frac{\tan ^{2}\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)-1}{\tan ^{2}\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)+1}=\sin 2 \theta$

খ. দেখাও যে, $\mathrm{BO}=4$ এবং এর সাহায্যে দেখাও যে, $\triangle \mathrm{BOC}$ এর ক্ষেত্রফল $8 \sqrt{3}$ বর্গ একক ।

গ. রেখাংশ দ্বারা চিহ্নিত সীমাবদ্ধ এলাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

চিত্রে, $P$ কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের বৃত্তচাপ $S_{1}$ এবং $\text { Q }$ কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের বৃত্তচাপ $\mathrm{S}_{2}$

ক. দেখাও যে, $\angle \mathrm{APB}=\frac{2 \pi}{3}$

খ. একজন খেলোয়াড় $S_{1}$ ও $S_{2}$ পথ $6$ সেকেন্ডে অতিক্রম করলে তার গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিলোমিটার তা নির্ণয় কর।

গ. রেখাংশ দ্বারা চিহ্নিত সীমাবদ্ধ এলাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

চিত্রে, $P$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বৃত্তচাপ $\mathrm{S}_{1}$ এবং $\mathrm Q$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের অর্ধবৃত্তচাপ $\mathrm{S}_{2}$।

ক. $a \sin \theta+b \sin \phi=c=a \cos \theta+b \cos \phi$ হলে দেখাও যে, $\cos \frac{1}{2}(\theta-\phi)= \pm \sqrt{\frac{2 c^{2}-(a-b)^{2}}{4 a b}}$

খ. একজন খেলোয়াড় $\mathrm{S}_{2}$ বৃত্তচাপ $3$ সেকেন্ডে অতিক্রম করলে তার গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিলোমিটার তা নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$ABC$ ত্রিভুজে, $\mathrm{A}=\frac{\pi}{16}, \mathrm{~B}=\frac{9 \pi}{16}$

ক. $\operatorname{cosec}^{2} A+\tan ^{2} B$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $2 \sin \mathrm{A}=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}$

গ. প্রমাণ কর যে, $\cos ^{2} A+\cos ^{2} B-\cos ^{2} C=1-2 \sin A \sin B \cos C$

চিত্রে, $ABC$ ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র $O$ ।

$\angle \mathrm{OAB}=\alpha, \angle \mathrm{OBC}=\beta$ এবং $\angle O C A=\gamma$

ক. প্রমাণ কর যে, $\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}$

খ. $\cot 2 \alpha+\cot 2 \beta+\cot 2 \gamma=\sqrt{3}$ হলে দেখাও যে $A=B=C$

গ. দেখাও যে, $\sin (\beta-\gamma)=\frac{A C-A B}{B C} \cos \alpha$

$\alpha=\tan ^{-1} \frac{3}{4}$ এবং

ক. প্রমাণ কর যে, $\frac{\cos 15^{\circ}+\sin 15^{\circ}}{\cos 15^{\circ}-\sin 15^{\circ}}=\sqrt{3}$

খ. $\cos \alpha$ ঋণাত্মক হলে $\frac{\tan \alpha+\sin (-\alpha)}{\cot \alpha+\cos (-\alpha)}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $AB$ এর মান ব্যবহার করে ত্রিভুজ $ABC$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

ক. $\tan \left(1590^{\circ}\right)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধ ও অন্ত:ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $R$ ও $r$ হলে, $R : r$ নির্ণয় কর।

গ. বৃহত্তম কোণের সাহায্যে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।