Questions in this chapter

যমুনা নদীতে নৌকা বাইচ প্রতিযোগিতায় একই বেগে O বিন্দু হতে হলুদ OA বরাবর রওনা দিয়ে B বিন্দুতে পৌঁছাল। কিন্তু সাদা নাবিক OB বরাবর রওনা দিয়ে নির্দিষ্ট সময়ে নদী পার হলো। প্রতিযোগিতা চলাকালীন সময় হঠাৎ $30 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}$ বেগে বৃষ্টি শুরু হলো। $20 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}$ নৌকার বেগ ছিল।

ক. লঘিষ্ঠ গণন কী?

য, সকল সমরেখ ভেক্টর সমান ভেক্টর নয়- ব্যাখ্যা কর।

গ. সাদা নাবিক কত সময়ে নদী পার হয়েছিল নির্ণয় কর।

ঘ. হলুদ নাবিক বৃষ্টি হতে রক্ষা পেতে কীভাবে ছাতা ধরেছিলেন? গাণিতিক বিশ্লেষণ কর।

$\vec{A}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, \vec{B}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$ এবং $\vec{C}=\hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}$

ক. সঠিক ভেক্টর কাকে বলে?

খ. ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয় কেন? ব্যাখ্যা কর।

গ. C ভেক্টর এবং X-অক্ষের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

ঘ. $\vec{A} \times \vec{B}$ ভেক্টর $\vec{A}+\vec{B}$ এর উপর লম্বভাবে অবস্থিত গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে এর সত্যতা যাচাই কর।

2 km প্রস্থের একটি নদীতে স্রোতের বেগ 5 km/hr নদী পার হওয়ার পর সাঁতার প্রতিযোগিতায় প্রথম সাঁতারু 10 km/hr বেগে স্রোতের প্রতিকূলের সাথে 60° কোণে এবং দ্বিতীয় সাঁতারু 15 km/hr বেগে আড়াআড়িভাবে সাঁতার শুরু করল।

ক. সান্দ্রতা কী?

খ. ট্রলি বেগের হাতল লম্বা রাখা হয় কেন?

গ. প্রথম সাঁতারুর লাম্বিক বেগ নির্ণয় কর।

ঘ. উক্ত প্রতিযোগিতার ফলাফল গাণিতিক বিশ্লেষণসহ আলোচনা কর।

$\vec{A}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ ও $\vec{B}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ দুটি ভেক্টর রাশি এবং $\vec{F}=x^{2} y \hat{i}+y^{2} z \hat{j}+z^{2} x \hat{k}$একটি অন্তরীণকরণযোগ্য ভেক্টর ক্ষেত্র নির্দেশ করে।

ক. টর্ক কী?

খ. ঘর্ষণ বল একটি অসংরক্ষণশীল বল-ব্যাখ্যা কর।

গ. $\vec{A}$ এর উপর $\vec{B}$ এর লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।

ঘ. (1, − 1, 1) বিন্দুতে F এর কার্ল নিরূপণ কর ও ফলাফলের উপর মন্তব্য কর।

চিত্রে OA বরাবর নৌকা চালিয়ে একজন মাঝি OB বরাবর পার হলেন। পরবর্তীতে BO বরাবর একই বেগে নৌকা চালিয়ে লক্ষ করলেন এবার পূর্বের তুলনায় বেশি পথ অতিক্রম করলেও সময় কম লেগেছে।

ক. আয়ত একক ভেক্টর কাকে বলে?

খ. ডাইভারজেন্স ও কার্লের মধ্যে পার্থক্য লিখ।

গ. O থেকে B বরাবর যেতে কোন দিকে নৌকা চালিয়েছে?

ঘ. BO বরাবর নৌকা চালিয়ে আসতে উদ্দীপকের বর্ণনার সত্যতা যাচাই কর।

$\vec{P}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$ এবং $\vec{Q}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \sqrt{3} \hat{k}$ভেক্টরদ্বয় একটি বিন্দুতে পরস্পর লম্ব।

ক. একক ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

খ. ভেক্টর গুণন ব্যাখ্যা কর।

গ. $\vec{P},\vec{Q}$ ভেক্টরদ্বয় সমতলে লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

ঘ. $\vec{P}$ ভেক্টরের সাপেক্ষে লব্ধি ভেক্টরের দিক নির্ণয় কর।

$\vec{A}=2 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}, \vec{B}=\hat{i}+2 \hat{j}+4 \hat{k}$এবং $\vec{C}=2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$

ক. একক ভেক্টর কাকে বলে?

খ. কার্লের ভৌত তাৎপর্য লিখ।

গ. $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ কত?

ঘ. ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থান করে কি না গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

ভেক্টর $\vec{A}=\left(6 \mathrm{xy}+z^{2}\right) \hat{i}+\left(3 x^{2}-\mathrm{z}\right) \hat{j}+\left(3 \mathrm{x} z^{2}-\mathrm{y}\right) \hat{k}$

ক. কার্ল কী?

খ. $\widehat{i} \cdot \hat{j}=0$ ব্যাখ্যা কর।

গ. (1, -1, 1 ) বিন্দুতে $\vec{A}$ এর ডাইভারজেন্স নির্ণয় কর।

ঘ. $\vec{A}$ ভেক্টরটি কী অঘূর্ণনশীল? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

সাঁতার প্রতিযোগিতায় একজন সাঁতারু $1 km$ স্বর নদী সোজাসুজি পার হচ্ছেন। নদীতে স্রোতের বেগ $6 \ km \ h^{-1}$ এবং সীতাবুর বেগ $8 \ km \ h^{-1}$ (নদী সোজাসুজি পার হয়ে কমপক্ষে 7 min-এ অপর তীরে পৌছাতে হবে।)

ক. ঋণাত্মক ভেক্টর কী?

খ. $\vec{A} \times \vec{B}$ বলতে কী বুঝায়, ব্যাখ্যা কর।

গ. স্রোত ও সাঁতারুর বেগের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

ঘ. নির্ধারিত সময়ের মধ্যে সাঁতারু অপর তীরে পৌছাতে পারবে কি না- গাণিতিকভাবে যুক্তি দাও।

দুটি ভেক্টর রাশি যথাক্রমে $\vec{A}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$এবং $\vec{B}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$ একটি ভেক্টরক্ষেত্র $\left(6 x^{2} y-z^{3}\right) i+2 x^{3} \hat{j}-3 x z^{2} \hat{k}$ ।

ক. যান্ত্রিক শক্তির নিত্যতার সূত্রটি লেখ।

খ. রাস্তায় পিচের ক্ষেত্রে লন রোলার টানা নাকি ঠেলা উপযোগী? ব্যাখ্যা কর।

গ. উদ্দীপক অনুসারে প্রমাণ কর : $\vec{A} \times \vec{B} \neq \vec{B} \times \vec{A}$

ঘ. উদ্দীপকের $\vec P$ ভেক্টরক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল নাকি অঘূর্ণনশীল? গাণিতিক ব‍্যাখ্যা দাও ।

দুটি ত্রিমাত্রিক ভেক্টর $\vec{A}=3 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ও $\vec{B}=2 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$ এবং $\vec{P}$ উহাদের লব্ধি।

ক. একক ভেক্টর কাকে বলে?

খ. কাজ কি ভেক্টর রাশি? ব্যাখ্যা কর।

গ. $\vec{P}$ এর দিকে একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

ঘ. এমন একটি একক ভেক্টর বাহির কর যা X - Y তলের সমান্তরাল এবং $\vec{P}$ এর সাথে লম্ব।

যদি $\vec{A}=\left(6 x y+z^{3}\right) \hat{i}+\left(3 x^{2}-2 z\right) \hat{j}+\left(3 x y z+x^{2} y\right) \hat{k}$

ক. স্কেলার ত্রিগুণন কী?

খ. কার্ল-এর ভৌত তাৎপর্য লেখ।

গ. ⛛. (⛛ x A) = 0 কি সম্ভব? গাণিতিকভাবে দেখাও।

ঘ. (1, − 2, 1) বিন্দুতে $\vec{A}$ এর কার্ল এবং ডাইভারজেন্স নির্ণয় কর এবং ভেক্টরটি ঘূর্ণনশীল কি না গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা কর।

একজন ছাত্র $\vec{P}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$ এবং $\vec{Q}=2 \hat{i}-3 \hat{j}-4 \hat{k}$ দুটি ভেক্টর দিয়ে তাদের ডট ও ক্রস গুণন নির্ণয় করছিল। সে দেখল যে, ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যস্থ কোণের মান একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ পরিবর্তন করলে তাদের ডট ও ক্রস গুণনের মান সমান হয়।

ক. আয়ত একক ভেক্টর কী?

খ. দুটি ভেক্টর রাশির যোগফল ও বিয়োগফল কখনও সমান হওয়া সম্ভব কি? ব্যাখ্যা কর ।

গ. $\vec{P}$ ও $\vec{Q}$ ভেক্টরদ্বয়কে কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু ধরে উক্ত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

ঘ. ছাত্রটির পর্যবেক্ষণের গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও ।

পদ্মা সেতুর চেয়েও দীর্ঘতম সেতু তৈরি হতে যাচ্ছে বরিশাল ও দ্বীপ জেলা ভোলার মধ্যে। সেতুর নির্মাণ কাজে নিচের চিত্রের ন্যায় একটি 100 kg ভরের বস্তুকে ঘর্ষণহীন তলে এক শ্রমিক টেনে ও অপর শ্রমিক ঠেলে তুলছে। উভয় শ্রমিক কর্তৃক প্রযুক্ত বলের মান সমান।

ক. আয়তাকার একক ভেক্টর কাকে বলে?

খ. অবস্থান ভেক্টর একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর—ব্যাখ্যা কর।

গ. ১ম চিত্রানুযায়ী 𝝷 এর মান নির্ণয় কর।

ঘ. ঠেলা অপেক্ষা টানা সহজ কি না— উদ্দীপকের আলোকে গাণিতিকভাবে তোমার মতামত উপস্থাপন কর।

দ্বাদশ শ্রেণির শিক্ষার্থী মাসুম একই জাতীয় দুটি ভেক্টর $\vec{\mathrm{A}}=6 \hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}$ এবং $\vec{\mathrm{B}}=2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}$ নিয়ে তাদের ডট ও ক্গুরস গুণন নির্ণয় করছিল। সে দেখল ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ পরিবর্তন করলে তাদের ডট ও ক্রস গুণনের মান সমান হয়।।

ক. অবস্থান ভেক্টর কাকে বলে?

খ. বালির উপর হাঁটা কষ্টকর কেন? ব্যাখ্যা কর।

গ. উদ্দীপকে উল্লিখিত ভেক্টবষয়কে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

ঘ. মাসুমের পর্যবেক্ষণ সঠিক ছিল কি না? গাণিতিক বিশ্লেষণসহ মতামত দাও।

একটি ত্রিমাত্রিক ব্যবস্থায় দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে P (5, 0, 0) ও Q ( 4, 3, 0)। বিন্দু দুটির জন্য সৃষ্ট অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\vec{\mathrm{OP}}$ ও $\vec{\mathrm{OQ}}$ । অবস্থান ভেক্টরদ্বয়কে সন্নিহিত বাহু ধরে সামান্তরিক অঙ্কন করা যায়।

ক. অবস্থান ভেক্টর কাকে বলে?

খ. দুটি ভেক্টর রাশির ক্রস গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না - ব্যাখ্যা কর।

গ. $\vec{\mathrm{OP}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

ঘ. উদ্দীপক অনুযায়ী সৃষ্ট সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করে কি? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

উপরের চিত্রে $\vec{A}=3 \hat{i}+7 \hat{j}-2 \hat{k} ; \vec{B}=9 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ এবং $\vec{C}=\left(2 x y^{2}-4 z x\right) \hat{i}+\left(7 x^{3} y z^{2}+2 z x\right) \hat{j}-5 y^{2} z^{3} \hat{k}$

ক. $(\hat{\mathrm{i}} \times \hat{\mathrm{j}}) \cdot \hat{\mathrm{k}}=?$

খ. সিলিং ফ্যানের বাতাস নিচের দিকে নামে কেন? ভেক্টরের সাহায্যে ব্যাখা কর।

গ. উদ্দীপকের $\vec{\mathbf{A}}$ এর উপর $\vec{\mathrm{B}}$এর লম্ব অভিক্ষেপ কত?

ঘ. (– 1, 2, – 2) বিন্দুতে $\vec{\mathrm{C}}$ ভেক্টরটি Y অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণ উদ্দীপকের 𝝷 অপেক্ষা ছোট না বড়? গাণিতিকভাবে যাচাই করে দেখাও।

ক. ক্ষেত্র ভেক্টর বলতে কী বুঝ?

খ. নাল ভেক্টরের সুনির্দিষ্ট দিক নেই কেন?

গ. ভেক্টর দুটি দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

ঘ. উদ্দীপকের ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি $\vec{P}$ এর সাথে 35° কোণ উৎপন্ন করলে ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ 80° এর সমান হবে কি না? গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে মতামত দাও।

একটি ভেক্টর ক্ষেত্রকে $\vec{A}=\left(x^{2}+y z^{2}\right) \hat{i}+\left(y^{2}+z x^{2}\right) \hat{j}+\left(z^{2}+x y\right) \hat{k}$ দ্বারা প্রকাশ করা হলো।

ক. লঘিষ্ঠ গুণন কি?

খ. ঘাস কাটা মেশিন ঠেলা অপেক্ষা টানা সুবিধাজনক ব্যাখ্যা কর।

গ. ভেক্টরটির ডাইভারজেন্স নির্ণয় কর।

ঘ. ভেক্টরটির কার্ল নির্ণয় করে ভেক্টর ক্ষেত্রটি সম্বন্ধে তোমার অভিমত ব্যক্ত কর।

চিত্রে স্রোতের বেগ $u=4 \ m s^{-1}$, নৌকার বেগ $v=10 \mathrm{~ms}^{-1}$ এবং নদীর প্রস্থ AB = d। চিত্র অনুযায়ী নৌকা চালালে অপর পাড়ে পৌঁছাতে সময় লাগে 11.55 সেকেন্ড।

ক. সংজ্ঞা লিখ : আয়তাকার একক ভেক্টর।

খ. লন রোলার ঠেলার চেয়ে টানা সহজ ব্যাখ্যা কর।

গ. নদীর প্রস্থ নির্ণয় কর।

ঘ. চিত্র অনুযায়ী নৌকা চালালে কি B বিন্দুতে পৌছাবে? যদি না পৌছায় তবে কি ব্যবস্থা গ্রহণ করলে B বিন্দুতে পৌঁছাতে পারবে— গাণিতিক বিশ্লেষণের সাহায্যে ব্যাখ্যা কর।