Questions in this chapter

ক. ঋণাত্মক কাজ কি?

খ. সকল অনুকল্পই তত্ত্ব হয় না- ব্যা্খ্যা কর।

গ. $r_2$ ভেক্টরটি Y অপেক্ষ সাথে কত কোণ উৎপন্ন করে?

ঘ. PQ ও QR ভেক্টরদ্বয় সমান্তরাল কি না - গাণিতিক বিশ্লেষণসহ যাচাই কর।

একটি নদী 12 km চওড়া। এতে $7 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}$ বেগে স্রোত বইছে। দুটি নৌকা স্রোতের সাথে যথাক্রমে 40° ও 70° কোণে যথাক্রমে $10 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}$ ও $8 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}$ বেগে অপর পাড়ে যাবার জন্য রওনা দিল ।

ক. ভেক্টর গুণন কাকে বলে?

খ. পাখি বাতাসে উড়ে সামনে যায় কীভাবে? ভেক্টর যোজন নীতি দিয়ে ব্যাখ্যা কর।

গ. যদি নদীতে স্রোত না থাকে তবে 20 মিনিট পর নৌকা দুটির মধ্যে দূরত্ব কত?

ঘ. কোন ক্ষেত্রে নৌকাটি আগে অপর পাড়ে পৌঁছাবে তা গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও ।

$\vec{A}=4 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}, \vec{B}=2 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}, \vec{c}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-9 \hat{k}$

ক. কার্ল কী?

খ. একটি ভেক্টর রাশির লম্বাংশে বিভাজন ব্যাখ্যা কর।

গ. $\widehat{A}$ ও $\widehat{B}$ vector দুটি যে তলে অবস্থিত সেই তলের উপর লম্ব একক ভেক্টর বের কর।

ঘ. উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হবে কি না গাণিতিকভাবে যাচাই কর।

$\mathbf{Q}=2 x y^{4}-x^{2} z$একটি ব্যবকলন যোগ্য স্কেলার ফাংশন।

ক. ভেক্টর অপারেটর কী?

খ. বল ও সরণ ভেক্টর রশি হওয়া সত্ত্বেও কাজ স্কেলার রাশি ব্যাখ্যা কর।

গ. (1, − 1, 1) বিন্দুতে Q এর গ্রেডিয়েন্ট নির্ণয় কর।

ঘ. দেখাও যে, $\vec{\nabla} \mathrm{Q}$ অঘূর্ণনশীল ভেক্টর।

অর্নব তার বাবার সাথে কক্সবাজার এয়ারপোর্টে বিমান থেকে নেমে 25 kg ভরের ট্রলিব্যাগটিকে উল্লম্বের সাথে 30° কোণে 20 N বল দ্বারা ঠেলে নিয়ে চলছে। তার বাবা তাকে বলল “ট্রলিব্যাগটিকে টেনে নিয়ে চল, তাহলে সহজে নিয়ে যেতে পারবে”। অর্নব একই কোণে ব্যাগটি টেনে নিয়ে গাড়িতে উঠল ।

ক. পীচ কী?

খ. প্রধান স্কেলের সাথে ভার্নিয়ার স্কেল ব্যবহারের কারণ কী?

গ. উদ্দীপকের ট্রলিব্যাগটি সমবেগে ঠেলে নিয়ে যাওয়ার সময় তলের সাথে ঘর্ষণ বলের মান কত হবে?

ঘ. অর্নবের বাবার উক্তির সত্যতা গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে যাচাই কর।

পাশাপাশি বাড়ীর দুই বন্ধু ইহান ও জিশান একই কলেজে পড়ে। ইহানের কলেজ গমন পথের দৈর্ঘ্য $(3 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})$m এবং জিশানের পথের দৈর্ঘ্য $(5 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$m দুই বন্ধুর বাড়ীর মাঝে একটি খাল আছে যা তাদের যাতায়াতকে কঠিন করে তুলেছে। দুই বন্ধু মিলে খালের উপর একটি সাঁকো বানানোর সিদ্ধান্ত নিল।

ক. সলিনয়ডাল কী?

খ. ভেক্টর গুণফল বিনিময় সূত্র মেনে চলে না- ব্যাখ্যা কর।

গ. জিশানের পথ বরাবর ইহানের সমতুল্য পথের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

ঘ. উদ্দীপকের খালের উপর সাঁকো বানাতে হলে কমপক্ষে কত দৈর্ঘ্যের সাঁকো বানাতে হবে বলে তুমি মনে কর— গাণিতিক যুক্তিসহ ব্যাখ্যা কর।

একটি নদীর প্রস্থ 10 km এই নদীর স্রোতের বেগ $7 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}$ সুমন সোজা অপর পাড়ে পৌঁছার জন্য $10 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}$বেগে নৌকা চালালো।

ক. টর্ক কী?

খ. ডাইভারজেগের ভৌত তাৎপর্য লিখ।

গ. নৌকার লব্ধি বেগ নির্ণয় কর।

ঘ. সুমন যদি সরাসরি অপর পাড়ের দিকে একই বেগে নৌকা তবে কী একই সময়ে পৌছাত? গাণিতিক বিশ্লেষণ দাও।

$A=x^{2} y i-2 x z j+2 y z k$ একটি ভেক্টর অপেক্ষক এবং $B=3 x^{2} y z+4 x y z+2 y z^{3}$ একটি ভেক্টর অপেক্ষক

ক. তাৎক্ষণিক বেগ কাকে বলে?

খ. পানির ফোঁটা গোলাকৃতি হয় কেন? ব্যাখ্যা কর ।

গ. Curl A নির্ণয় কর।

ঘ. উদ্দীপকের আলোকে বিশ্লেষণ করে দেখাও কীভাবে একটি স্কেলার ক্ষেত্রকে ভেক্টর ক্ষেত্রে এবং ভেক্টর ক্ষেত্রকে স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তর করা যায়।

200 m চওড়া একটি নদীতে স্রোতের বেগ $8 \mathrm{~ms}^{-1}$ । একটি নৌকা $10 \mathrm{~ms}^{-1}$ বেগে চলতে শুরু করে সোজা অপর পাড়ে পৌঁছে।

ক. স্কেলার গুণন কী?

খ. সর্বোচ্চ উচ্চতার বিন্দু ব্যতীত, প্রাসের গতি দ্বিমাত্রিক গতি ব্যাখ্যা কর।

গ. নদীর বিপরীত পাড়ে সোজাসুজি পৌছাতে নৌকাটিকে অনুভূমিকের সাথে কত কোণে চালনা করতে হয়েছিল?

ঘ. নৌকাটি সোজা অপর পাড়ে পৌঁছাতে 30 s এর বেশি সময় লেগেছিল। গাণিতিক বিশ্লেষণ কর।

15 N মানের দুটি বল একটি বিন্দু O তে কাজ করছে।

ক. বিপরীত ভেক্টর কী?

খ. 'দুটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না' ব্যাখ্যা কর।

গ. $\left|\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}\right|$কত হবে?

ঘ. $\vec{F}=\left|\overrightarrow{F_{1}}+\vec{F}_{2}\right|$ হলে, $\vec{F}_{x}$ এবং $\vec{F}_{y}$ এর মধ্যে কোনটি বড় হবে? গাণিতিক যুক্তি দিয়ে ব্যাখ্যা কর।

$\text { i. } \varphi=2 z-x^{3} y$এবং $\vec{a}=2 x^{3} \hat{i}-3 y \hat{y}+x^{2} \hat{k}$

$\text { ii. } \vec{F}=(\mathrm{x}+2 \mathrm{y}+\mathrm{az}) \hat{i}(\mathrm{bx}-3 \mathrm{y}-\mathrm{z}) \hat{j}+(4 \mathrm{x}+\mathrm{cv}+2 \mathrm{z}) \hat{k}$

ক. ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্রটি লিখ।

খ. নাল ভেক্টরের সুনির্দিষ্ট দিক নেই কেন?

গ. (1, -1, 1) বিন্দুতে, $\vec{a}, \vec{\varphi}$ নির্ণয় কর।

ঘ. a, b ও c এর মান কত হলে F ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীল হবে? গাণিতিক যুক্তির সাহায্যে আলোচনা কর।

কোনো একটি নদীতে স্রোতের বেগ $6 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}$ এবং নৌকার বেগ $12 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}$ । নদীর প্রস্থ 2 km । একজন মাঝি এক তীর থেকে অপর তীরে পৌঁছানোর জন্য নৌকা চালনা করলেন।

ক. সলিনয়ডাল ভেক্টর কী?

খ. ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না- ব্যাখ্যা কর।

গ. সর্বনিম্ন দূরত্বে নদী পার হতে হলে নৌকাটিকে কোন দিকে চালনা করতে হবে?

ঘ. সর্বনিম্ন সময়ে নদী পার হতে হলে নৌকাটিকে কত পথ অতিক্রম করতে হবে?

জয়িতা একদিন একটি নদীতে সাঁতার কাটতে গেল। নদীর স্রোত পশ্চিম দিক হতে পূর্ব দিকে এবং এর বেগ 2 km/h, জয়িতা নদীর দক্ষিণ পাড় হতে উত্তর পাড়ে যাবার জন্য 4 km/h, বেগে স্রোতের দিকের সাথে একটি কোণ করে সাঁতার কাটতে শুরু করল।

ক. অবস্থান ভেক্টর কী?

খ. $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ 45° হলে দেখাও যে, $\vec{\mathrm{A}} \cdot \vec{\mathrm{B}}=|\vec{\mathrm{A}} \times \vec{\mathrm{B}}|$

গ. উদ্দীপকের আলোকে জয়িতার সাঁতারের দিক নির্ণয় কর।

ঘ. যদি সোজাসুজি সাঁতার কাটে তবে অপর পাড়ে পৌঁছাতে উদ্দীপকে বর্ণিত পথের চেয়ে সময় বেশি লাগবে কি না? গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে দেখাও।

$\phi$একটি স্কেলার অপেক্ষক যেখানে $\phi=3 x^{2} y z+4 x y z+2 y z^{3}$ এবং $\vec{A}$ একটি ভেক্টর অপেক্ষক যেখানে $\vec{A}=4 x y^{3} z \hat{i}-3 x^{3} y z \hat{j}+5 x y z^{2} \hat{k}$

ক. স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ কী?

খ. বাঁকা পথে দ্রুত গতিশীল গাড়ি উল্টে যায় কেন? ব্যাখ্যা কর।

গ. $\vec{\nabla}$ এর কার্ল নির্ণয় কর।

ঘ. উদ্দীপকের আলোকে গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করে দেখাও যে কীভাবে একটি স্কেলার ক্ষেত্রকে ভেক্টর ক্ষেত্রে এবং একটি ভেক্টর ক্ষেত্রকে স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তর করা যায়?

$\vec{A}=3 x \hat{i}+2 y \hat{j}+4 \mathrm{xy}^{2} z^{2} \hat{k}$

$\vec{B}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$

$\vec{c}=\hat{i}+7 \hat{j}+7 \hat{k}$

ক. এক মোলের সংজ্ঞা দাও।

খ. ঘূর্ণন গতির জন্য জড়তার ভ্রামক, বস্তুর ভরের সমতুল্য ব্যাখ্যা কর।

গ. $\vec{A}$ এর কার্ল নির্ণয় কর।

ঘ. A এর (1, 1, 1) বিন্দুর জন্য A, B ও C ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থান করবে কী? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

m = 10 kg ভরের একটি বস্তুর উপর একই সময়ে তিনটি বল ক্রিয়া করছে যা ১নং চিত্রে দেখানো হলো।

ক. কৌণিক বেগ কাকে বলে?

খ, বল ও সরণ ভেক্টর রাশি হলেও তাদের দ্বারা সৃষ্ট কাজ স্কেলার রাশি- ব্যাখ্যা কর।

গ. ১নং চিত্রে বস্তুটির উপর ক্রিয়াশীল নিট বলের মান কত?

ঘ. চিত্র-১ এর আলোকে চিত্র-২ এর সঠিকতা যাচাই কর।

1 km প্রস্থের একটি নদী পার হওয়ার জন্য দুইজন সাঁতারু, সাঁতার প্রতিযোগিতায় অংশগ্রহণ করে। প্রথম সাঁতারু 6 km$h^{-1}$ বেগে স্রোতের প্রতিকূলের সাথে 60° কোণে এবং দ্বিতীয় সাঁতারু 6 km$h^{-1}$ বেগে আড়াআড়িভাবে সাঁতার কাটা শুরু করে। নদীতে স্রোতের বেগ 3 km$h^{-1}$

গ. প্রথম সাঁতারুর লব্ধি বেগ নির্ণয় করো ।

1 km প্রস্থের একটি নদী পার হওয়ার জন্য দুইজন সাঁতারু, সাঁতার প্রতিযোগিতায় অংশগ্রহণ করে। প্রথম সাঁতারু 6 km$h^{-1}$ বেগে স্রোতের প্রতিকূলের সাথে 60° কোণে এবং দ্বিতীয় সাঁতারু 6 km$h^{-1}$ বেগে আড়াআড়িভাবে সাঁতার কাটা শুরু করে। নদীতে স্রোতের বেগ 3 km$h^{-1}$

ঘ. উক্ত প্রতিযোগিতায় কোন সাঁতারু আগে নদী পার হতে পারবে? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো ।

নাহিন এবং জাহিন একটি ভারী স্থির ট্রাক-এ দুটি রশি বেঁধে টেনে নিয়ে যাচ্ছিল। রশি দুটির মধ্যে $\alpha$ কোণ সৃষ্টি হয়। ট্রাকটি নাহিনের দিকে সরে যাচ্ছিল । নাহিন জাহিনকে আরো বেশি বল প্রয়োগ করতে বললো ।

গ. দেখাও যে, জাহিন নাহিনের সমমানের বল প্রয়োগ করলে এদের লব্ধি বল মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে ।

নাহিন এবং জাহিন একটি ভারী স্থির ট্রাক-এ দুটি রশি বেঁধে টেনে নিয়ে যাচ্ছিল। রশি দুটির মধ্যে $\alpha$ কোণ সৃষ্টি হয়। ট্রাকটি নাহিনের দিকে সরে যাচ্ছিল । নাহিন জাহিনকে আরো বেশি বল প্রয়োগ করতে বললো ।

ঘ. নাহিন এবং জাহিন ট্রাকটিকে কীভাবে টানলে সর্বাপেক্ষা কম বল প্রয়োগে ট্রাকটিকে সর্বোচ্চ লব্ধি বলে টেনে নিতে পারবে? গাণিতিক বিশ্লেষণের সাহায্যে ব্যাখ্যা করো