Questions in this chapter

রাফি রোজ সাইকেলে করে কলেজে যায়। সাইকেল চালায় আর ভাবে, সাইকেলের প্যাডেলে সোজা খাড়া নিচের দিকে বল প্রয়োগ করি অথচ সাইকেল সামনের দিকে এগিয়ে যায়। রাফির বন্ধু আল আমিন বিষয়টা সহজ করে দেয়। সে বলে এটি বলের বিভাজন দ্বারাই সম্ভব। নিচের দিকে এ বল দুইটি উপাংশে বিভক্ত হয়ে ক্রিয়া করে। এদের একটি উপাংশ বল সাইকেলকে সামনের দিকে গতিশীল করে ।

ক. একক ভেক্টর কী?

খ. অবস্থান ভেক্টর হতে কীভাবে বেগ ও ত্বরণ পাওয়া যায়।

গ. F মানের একটি বলকে দুটি অংশে বিশ্লেষণ করলে, একটি অংশ যদি বলটির সমমানের হয় এবং এর সাথে সমকোণ উৎপন্ন করে তবে অপর অংশটির মান ও দিক নির্ণয় কর।

ঘ. উদ্দীপকের বল F-কে যে কোনো দুই দিকে বিভাজিত করে বিশ্লিস্টাংশদ্বয়ের রাশি দুইটি তুলনা কর ।

উদ্দীপকে X ও Y বিন্দু দুইটি কলেজের অবস্থান নির্দেশ করে। O উভয় কলেজের যাত্রা অবস্থানের সাধারণ বিন্দু।

ক. তাৎক্ষণিক ত্বরণ কাকে বলে?

খ. উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর গতিবেগ হ্রাস পায় কেন?

গ. $\overrightarrow{O X}$ ও $\overrightarrow{O Y}$ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

ঘ. $\overrightarrow{O X}, \overrightarrow{O Y}$ এর তলের উপর লম্ব একক ভেক্টর এবং $\overrightarrow{O Y}, \overrightarrow{O X}$ এর তলের উপর লম্ব একক ভেক্টর, একই হবে কি? প্রয়োজনীয় গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে যুক্তি দাও।

একজন সাঁতারু চিত্রানুযায়ী 1.5 km প্রশস্ত একটি নদী $4\ \mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে স্রোতের সাথে 30° কোণে সাঁতার কাটছে। ওই নদীতে স্রোতের বেগ $2\ \mathrm{kmh}^{-1}$।

ক. ব্যাসার্ধ ভেক্টর কী?

খ. দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব ও সমান্তরাল হওয়ার শর্ত কী?

গ. সাঁতারুকে নদীর অপর প্রান্তে পৌঁছাতে হলে কত পথ সাঁতার কাটতে হবে?

ঘ. সাঁতারু যদি AD পথে সাঁতরাতে শুরু করে তবে আদৌ B বিন্দুতে পৌঁছাতে পারবে কি-না? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

ক. অবস্থান ভেক্টর কী?

খ. বৃষ্টির পানি চলন্ত গাড়ির সামনের কাঁচকে ভিজিয়ে দেয় পিছনের কাঁচকে ভিজায় না কেন?

গ. নৌকাটির গতির বিপরীত দিক থেকে 200 N টানের স্রোত আসায় নৌকাটি নদীতে স্থির হয়ে রইল। গুণের টান নির্ণয় কর।

ঘ. গুণের টান অপরিবর্তিত থাকলে নৌকাটি নদীর কোন পথ দিয়ে চললে দ্রুত সামনের দিকে এগিয়ে যাবে- বিশ্লেষণ কর।

সাকিল একটি সুপার শপে বাজার করার সময় ট্রলি ব্যবহার করছিল। সে ট্রলির হাতলকে উল্লম্বের সাথে 30° কোণে 10 N বল প্রয়োগ করে গাড়িটিকে ঠেলতে থাকে। এ দেখে দোকানদার বলল আপনি ট্রলির হাতল ধরে না ঠেলে টানলে কম বল লাগবে।

ক. সদৃশ ভেক্টর কী?

খ. কার্লের ভৌতিক তাৎপর্য উল্লেখ কর।

গ. ট্রলির গতি সৃষ্টিকারী বল কত?

ঘ. দোকানদারের কথার যৌক্তিকতা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

চিত্রে A, B, C রশি তিনটিতে বলের পরিমাণ 300 N।

ক. নাল ভেক্টর কী?

খ. “দুটি ভেক্টর রাশির ক্রস গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না।”— উক্তিটি ব্যাখ্যা কর।

গ. নৌকার গতির দিকে লব্ধি বলের পরিমাণ নির্ণয় কর।

ঘ. প্রযুক্ত বলের কত শতাংশ কার্যকর হচ্ছে? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর। A, B, C তিনটি রশির মধ্যে কোন রশি টেনে বেশি গতি সৃষ্টি করা যাবে - গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

চিত্রে $|\vec{A}|=5$ এবং $|\vec{B}|=6$

ক. অপারেটর কাকে বলে?

খ. ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয় কেন?

গ. চিত্রে $(\vec{A}-\vec{B})$ এর মান নির্ণয় কর।

ঘ. উদ্দীপকে $(\vec{A} \times \vec{B})$ ভেক্টরটি $(\vec{A}+\vec{B})$ এর ওপর লম্বভাবে অবস্থিত— গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে এর সত্যতা যাচাই কর ।

চিত্রে $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$।

ক. ভেক্টর গুণন কাকে বলে?

খ. পাখির উড্ডয়নে ভেক্টর বিভাজনের কোনো ভূমিকা আছে কি?

গ. m এর মান কত হলে $\alpha$ = 90° হবে?

ঘ. $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ ভেক্টরদ্বয় কি ভেক্টর গুণনের বিনিময় সূত্র মেনে চলে? গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে তোমার উত্তর যাচাই কর।

ক. লব্ধি ভেক্টর কী?

খ. ভেক্টরের মান কখন ঋণাত্মক হয় এবং কেন? ব্যাখ্যা কর।

গ. OX ও OY ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

ঘ. OX ও OY -এর তলের ওপর একক ভেক্টর এবং OY ও OX -এর তলের ওপর লম্ব একক ভেক্টর একই হবে কী? প্রয়োজনীয় গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে যুক্তি দাও।

$\begin{array}{l}\vec{A}=2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k} \\\vec{B}=6 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}\end{array}$

ক. ডাইভারজেন্স কী ?

খ. দুটি অসমান সমজাতীয় ভেক্টরের লম্বি শূন্য হতে পারে কি-না ব্যাখ্যা কর।

গ. $\alpha$ -এর মান নির্ণয় কর।

ঘ. $\alpha$ এর মানের পরিবর্তন কত হলে A-এর উপর B-এর অভিক্ষেপ এক-চতুর্বিংশ হবে? গাণিতিক বিশ্লেষণসহ মতামত দাও।

উদ্দীপকের চিত্রটি লক্ষ করো এবং নিচের প্রশ্নগুলির উত্তর দাও:

ক. একটি ভেক্টরের ঘূর্ণনশীল ও সলিনয়েড হওয়ার শর্ত কী?

খ. ক্যারম বোর্ডের গুটিগুলোকে একটির পর একটি সাজিয়ে নিচের গুটিকে স্ট্রাইকার নিয়ে আঘাত করলে সবগুলো গুটি না সরে কেবল নিচের গুটি সরে যায় কেন?

গ. $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি এবং মধ্যবর্তী কোণ কীভাবে নিৰ্ণয় করবে?

ঘ. দেখাও যে, প্রদত্ত ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি তাদের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$- কে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং প্রদত্ত ভেক্টর রাশি দুটি পরস্পর সমান্তরালে অবস্থান করে না । —গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো ।

চিত্রে একটি লন রোলার দেখানো হয়েছে। লন রোলারটির হাতল অনুভূমিকের সাথে θ কোণে হেলানো আছে।

ক. ভেক্টর ব্যবকলনীয় বা ডিফারেনশিয়াল অপারেটর কী?

খ. লন রোলার ঠেলা অপেক্ষা টানা সহজ কেন?

গ. লন রোলারকে 20 N বল দ্বারা ঠেললে বলটির অনুভূমিক ও উল্লম্ব উপাংশ বের কর।

ঘ. লন রোলারের 20 N বল টানার এবং ঠেলার ক্ষেত্রে প্রয়োগ করে যদি 5m সরাতে হয় তবে উভয় ক্ষেত্রে কাজ সমান হবে কী? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

$\vec{A}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$ এবং $\vec{B}=2 \hat{i}-\hat{j}-m \hat{k}$

ক. ঋণাত্মক ভেক্টর কী?

খ. পাখি আকাশে কীভাবে উড়ে— ব্যাখ্যা কর।

গ. m-এর মান কত হলে ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব হবে?

ঘ. m = 6 হলে ভেক্টরদ্বয় ত্রিভুজ ও সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় ধরে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করে তাদের অনুপাত নির্ণয় কর।

4 km প্রশস্ত একটি নদীর পাড়ের A বিন্দু হতে $12 \mathrm{kmh}^{-1}$। বেগে একটি নৌকা নদীর অপর পাড়ে যাওয়ার জন্য যাত্রা শুরু করল। একজন লোক নৌকা চলার শুরু হতে অপর পাড়ের B বিন্দুতে 20 মিনিট অপেক্ষা করে চলে গেল। নদীতে স্রোতের বেগ $6 \mathrm{kmh}^{-1}$।

ক. ডট গুণন কী?

খ. নৌকার গুণ টানার ক্ষেত্রে নৌকার গতি কীভাবে বৃদ্ধি করা যায়? ব্যাখ্যা কর ।

গ. নৌকাটির লব্ধি বেগ কত?

ঘ. নৌকাটিকে কীভাবে চালনা করলে সোজা অপর পাড়ের B বিন্দুতে পৌঁছাতে পারবে? অপেক্ষমান লোকটির সাথে সাক্ষাৎ হয়েছিল কি? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

$4 \mathrm{~ms}^{-1}$ বেগে দৌড়ে যাবার সময় একজন লোক $6 \mathrm{~ms}^{-1}$ বেগে লম্বভাবে পতিত বৃষ্টির সম্মুখীন হলো।

ক. আয়ত একক ভেক্টর কী?

খ. $\hat{j} \times \hat{j}$ কেন নাল ভেক্টর ব্যাখ্যা কর।

গ. বৃষ্টি থেকে রক্ষা পেতে হলে কত কোণে ছাতা ধরতে হবে?

ঘ. বৃষ্টির বেগ এবং লোকটির বেগ সমান হলে ছাতাকে আগের অবস্থা হতে কী অবস্থায় ধরলে লোকটি ভিজবে না— গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

উপরের চিত্রে $\vec{A}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ এবং $\vec{B}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}$

ক. $\vec{A}, \vec{B}$ ভেক্টর দুটি সমতলীয় হওয়ার শর্ত কী?

খ. ডাইভারজেন্সের ভৌত তাৎপর্য লিখ।

গ. উদ্দীপকের আলোকে $\theta_{1}$ এর মান নির্ণয় কর।

ঘ. $\theta_{1}$ ও $\theta_{2}$ সমান হওয়া সম্ভব কিনা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

একটি কণার ওপর $\vec{F}=(2 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}) N$ বল ক্রিয়া করায় কণাটির $\vec{x}=(2 \hat{i}-a \hat{j}-\hat{k}) m$ সরণ হয়।

ক. লব্ধি ভেক্টর কী?

খ. বৃষ্টির ফোঁটা চলন্ত গাড়ির সামনের কাঁচকে ভিজিয়ে দেয়, পিছনের কাঁচকে ভিজায় না কেন? ব্যাখ্যা কর।

গ. কণাটির ওপর কৃতকাজ নির্ণয় কর।

ঘ. a-এর মান কত হলে সম্পাদিত কাজের পরিমাণ শূন্য হবে?

200 m প্রস্থ একটি নদী পার হওয়ার জন্য তিনজন মাঝি যথাক্রমে $15 \mathrm{~ms}^{-1}, 10 \mathrm{~ms}^{-1}$ এবং $$ 10 \mathrm{~ms}^{-1}বেগে যাত্রা করলেন। দ্বিতীয় ও তৃতীয় মাঝি স্রোতের বেগের সাথে যথাক্রমে 30° এবং 150° কোণে যাত্রা করেন। (নদীতে স্রোতের বেগ $5 \mathrm{~ms}^{-1}$)

ক. আয়ত একক ভেক্টর কাকে বলে?

খ. দুটি অসম মানের ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হতে পারে কিনা? ব্যাখ্যা কর।

গ. প্রথমে মাঝিকে ঐ নদীতে সোজাসুজি ওপারে পৌঁছাতে হলে কোন দিকে নৌকা চালাতে হবে? নির্ণয় কর।

ঘ. দ্বিতীয় ও তৃতীয় মাঝি একই সময়ে নদী পার হতে পারবে কিনা? গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও।

36m চওড়া একটি নদীতে $10 \mathrm{~ms}^{-1}$ বেগে একটি নৌকা চলছে (চিত্র-১)। নৌকাটি নদী পার হয়ে বিপরীত তীরের C বিন্দুতে পৌছাল । নদীতে স্রোতের বেগ $3 \mathrm{~ms}^{-1}$।

ক. কার্ল কি?

খ. কোনো বস্তুর বৃত্তাকার পথে সমবেগে চলা সম্ভব নয় ব্যাখ্যা কর ।

গ. নদীটির বিপরীত পাড়ের BC দূরত্ব বের কর।

ঘ. নদীর বিপরীত পাড়ের B বিন্দুতে নৌকাটিকে পৌছাতে হলে, মাঝির কি ব্যবস্থা নিতে হবে?

একটি স্কেলার ক্ষেত্র $\varphi=2 x^{2} y^{2} z^{2}$ এবং ভেক্টর ক্ষেত্র $\mathrm{F}=x^{2} \text { yi }-2 x y z j+2 y z k$

ক. সমতলীয় ভেক্টর কী?

খ. ঘর্ষণ বল সংরক্ষণশীল নয় কেন?

গ. উদ্দীপকের স্কেলার ক্ষেত্রের div grad o নির্ণয় কর।

ঘ, (1, - 1, 1) বিন্দুতে Curl F, একমাত্রিক হবে কি না তা গাণিতিক বিশ্লেষণ করে মতামত দাও।