Questions in this chapter

ক. $100N$ ও $70N$ মানের দুইটি বলের লব্ধি কোনো বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

এদের মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ $62°$ হলে বল দুইটির লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় কর।

খ. P কে $(R + 3)$ পরিমাণে এবং $Q$ কে $(S + 2)$ পরিমাণে বৃদ্ধি করলেও লব্ধি

C বিন্দুতে ক্রিয়া করে। আবার $P, Q$ এর পরিবর্তে যথাক্রমে $Q, (R + 3)$ ক্রিয়া করলেও

লব্ধি C বিন্দুতে ক্রিয়া করে । প্রমাণ কর যে, $R=S+\frac{(Q-R-3)^{2}}{P-Q}+1$

গ. উদ্দীপকে উল্লিখিত বলদ্বয়ের সমতলে x দূরত্বের ব্যবধানে R মানের দুইটি

অসদৃশ সমান্তরাল বল প্রয়োগ করা হলো । প্রমাণ কর যে, এদের লব্ধি $\frac{\mathrm{xR}}{\mathrm{P}+\mathrm{Q}}$

দূরত্বে সরে যাবে।

$LD, ME$ ও $NF$ যথাক্রমে $4MN, NL$ ও $LM$ এর উপর লম্ব।

ক. বলের অংশক ও লব্ধি ব্যাখ্যা কর ।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ $\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{P}}$ বলকে কোন বাহু বরাবর স্থানান্তর করা

যাবে? যদি বলদ্বয়ের লব্ধি p বলের $\frac{\sqrt{5}}{2}$ গুণ হয় তবে বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ ও লব্ধির

দিক নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এ উল্লিখিত বলগুলির লব্ধি শূন্য হলে প্রমাণ কর যে,

$\mathrm{W}_{1}=\mathrm{W}_{2}=\mathrm{W}_{3}$ যখন $l=\mathrm{m}=\mathrm{n}$

দৃশ্যকল্প-১ : $L, M, N$ মানের সুস্থিত তিনটি বলের ক্রিয়ারেখা $ABC$ ত্রিভুজের

$BC, CA, AB$ বাহুর সমান্তরাল। বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $25, 60, 65$ সে. মি. ।

$L$ ও $M$ মানের বলদ্বয়ের সমষ্টি 51 গ্রাম ওজন ।

দৃশ্যকল্প-২ : 20 সে. মি. ব্যবধানে একটি সুষম হালকা দূরে দুই প্রান্তে $8N$ ও $4N$ মানের

বিপরীতমুখী দুইটি সমান্তরাল বল ক্রিয়া করে ।

ক. $4N$ ও $2 \sqrt{3} \mathrm{~N}$ মানের বলদ্বয় 30° কোণে ক্রিয়া করে। $4N$ মানের বল বরাবর

বলদ্বয়ের লম্বাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর ।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এ প্রত্যেক বলের মান $4N$ করে বৃদ্ধি করা হলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু কত দূরত্বে সরে যাবে?

$P, Q, R$ বলত্রয় $\triangle \mathrm{XYZ}$ এর লম্ব কে হতে যথাক্রমে $YZ, ZX$ ও $XY$ বাহুর উপর লম্বভাবে ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থায় থাকে।

আবার বলত্রয় যথাক্রমে $X, Y, Z$ বিন্দুতে সদৃশ সমান্তরালভাবে ক্রিয়া করলে তাদের লব্ধি ত্রিভুজটির

অন্তঃকেন্দ্রে ক্রিয়া করে

ক. “দুইটি সমান বলের লব্ধি তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে-

উক্তিটির সত্যতা যাচাই কর ।

খ. উদ্দীপকের বলত্রয়ের সাম্যাবস্থায় থাকার ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে,

$P: Q: R=x: y: z$

গ. উদ্দীপকের বলত্রয় সদৃশ সমান্তরালভাবে ক্রিয়া করার ক্ষেত্রে

প্রমাণ কর যে, $P: Q: R=x: y: z$

দৃশ্যকল্প-১ : $ABC$ সমবাহু ত্রিভুজের $BC, CA, AB$ বাহুর সমান্তরালে

যথাক্রমে $5, 7, 9$ একক মানের তিনটি বল ক্রিয়ারত ।

দৃশ্যকল্প-২ : ৪ মিটার দীর্ঘ $12kg$ ওজনের একটি সুষম তক্তা দুইটি খুঁটির উপর

আনুভূমিকভাবে স্থির আছে। একটি খুঁটি A প্রান্ত অন্যটি B প্রান্ত হতে 1 মিটার ভেতরে অবস্থিত

ক. 8N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের

লব্ধির মান কত?

খ. উদ্দীপক-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর ।

গ. উদ্দীপক-২ হতে একজন বালক তক্তাটিকে না উল্টিয়ে এর

উপর দিয়ে B প্রান্তে পৌছালে বালকের ওজন কত?

ক. বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর ।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ $\mathrm{F}_{1} \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_{2} \propto \cos \mathrm{Q}$ এবং $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$ এর

লব্ধি F হলে দেখাও যে, $R-\varphi=\frac{1}{2}(R+Q-P)$

গ. দৃশ্যমান-২ এ $Q, R S$ বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও

যে, $S^{2}=R(R-Q)$

দৃশ্যকল্প-১ : কোনো বিন্দুতে P এবং 3P দুইটি বল ক্রিয়াশীল ।

দৃশ্যকল্প-২ : $P_{1}$ এবং $\mathrm{P}_{2}$ দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল যথাক্রমে A ও B

বিন্দুতে ক্রিয়াশীল ।

ক. একটি বিন্দুর উপর ক্রিয়ারত বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে এবং

শেষ বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ 45° হলে বল তিনটির মধ্যে সম্পর্ক প্রতিষ্ঠা কর ।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ, প্রথমটিকে চারগুণ ও দ্বিতীয়টির মান 18 একক বৃদ্ধি

করলে উভয়ক্ষেত্রে লব্ধির দিক অপরিবর্তিত থাকে। P এর মান নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এ $P_{1}=4, P_{2}=6$ হলে এবং বল দুইটির = প্রত্যেককে

2 একক পরিমাণে বৃদ্ধি করলে লব্ধির সরণ নির্ণয় কর।

ক. $100 N$ ও $70 N$ মানের দুইটি বলের লব্ধি কোনো বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

এদের মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ $62°$ হলে বল দুইটির লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় কর।

খ. P কে $(R + 3)$ পরিমাণে এবং Q কে $(S + 2)$ পরিমাণে বৃদ্ধি করলেও লব্ধি

C বিন্দুতে ক্রিয়া করে। আবার P, Q এর পরিবর্তে যথাক্রমে $Q, (R + 3)$ ক্রিয়া করলেও

লব্ধি c বিন্দুতে C ক্রিয়া করে । প্রমাণ কর যে, $\mathrm{R}=\mathrm{S}+\frac{(\mathrm{Q}-\mathrm{R}-3)^{2}}{\mathrm{P}-\mathrm{Q}}+1$

গ. উদ্দীপকে উল্লিখিত বলদ্বয়ের সমতলে x দূরত্বের ব্যবধানে R

মানের দুইটি অসদৃশ সমান্তরাল বল প্রয়োগ করা হলো ।

প্রমাণ কর যে, এদের লব্ধি_$\frac{\mathrm{xR}}{\mathrm{P}+\mathrm{Q}}$ দূরত্বে সরে যাবে ।

$10$ মিটার দৈর্ঘ্যের ইলেক্ট্রিক খাম্বাকে ভূমির সাথে যুক্ত দুটি টানা তার দিয়ে বাতাসের ধাক্কার বিরুদ্ধে সুস্থিত করা হয়েছে। প্রথম তারটির সর্বোচ্চ বল সহ্য ক্ষমতা $400 \mathrm N$ এবং

তা $40°$ কোণে ভূমির সাথে যুক্ত আছে। দ্বিতীয় তারটি সর্বোচ্চ $600\mathrm N$ বল সহ্য করতে পারে এবং তা 60° কোণে ভূমির সাথে যুক্ত আছে।

ক. বলের' লম্বাংশের উপপাদ্যটি লিখ ।

খ. ঝড়ে সর্বোচ্চ কত আনুভূমিক ধাক্কার বিরুদ্ধে খাম্বাটি দাড়িয়ে থাকতে পারবে? (চিত্র-১)

গ. (প্রবল কাল বৈশাখী ঝড়ে) বাতাস $1000\mathrm N$ বলে ধাক্কা দিলে সর্বনিম্ন কত সহ্য ক্ষমতার অতিরিক্ত

একটি টানা তার $50°$ কোণে ব্যবহার করতে হবে? (চিত্র-২)

(দণ্ডের বাম প্রান্তে $40 kg$ ভর চাপানো আছে এবং ডান প্রান্তে $10 kg$ ভর আছে।) নগর ও টগর দুই জমজ ভাই এর প্রত্যেকের ওজন $10 kg$ করে। তাদের বড় বোন শশীর ওজন $40 kg$।

খুঁটির উপর দণ্ডায়মান $20$ মিটার দণ্ডের বাম প্রান্তে শশী এবং ডানপ্রান্তে নগর দাড়ালো । অতঃপর টগর ও ডানপ্রান্তে দাড়ানোর জন্য বায়না ধরল।

ক. দুটি সমান্তরাল বলের সদৃশ লব্ধি $14\mathrm N$, অসদৃশ লব্ধি $2\mathrm N$ বলদ্বয়ের মান কত?

খ. শুধু নগর ও শশীর দণ্ডে অবস্থানকালে দণ্ডটিকে আনুভূমিক রাখার জন্য খুটির অবস্থান নির্ণয় কর।

গ. বাম প্রান্তে শশী এবং ডান প্রান্তে দুই জমজ ভাই নগর ও টগর একত্রে দাঁড়ালে খুঁটিকে কি পরিমাণ সরাতে হবে?

$5$ মিটার দৈর্ঘ্যের পালকিতে $100 kg$ ওজনের রাজকন্যা বেড়াতে যাবে। $2$ জন বেয়ারা পালকি বহন করবে। সম্মুখের বেয়ারা সর্বোচ্চ $40 kg$ ভর বহন করতে পারে এবং সেজন্যে তাকে পালকির প্রান্ত হতে

সর্বনিম্ন $3$ মিটার দূরত্বে কাঁধ লাগাতে হয়। পেছনের বেয়ারা পালকির পেছন প্রান্ত (B) হতে $2$ মিটার দূরত্বে কাঁধ লাগায়। (পালকির ওজন অগ্রাহ্য কর )

ক. পেছনের বেয়ারাকে সর্বনিম্ন কত ওজন বহন করার ক্ষমতা থাকতে হবে?

খ. বেয়ারা দুইজনের অবস্থান অপরিবর্তিত থাকলে রাজকন্যাকে পালকির ভেতরে সম্মুখ প্রান্ত $(A)$ হতে কত দূরে বসতে হবে?

গ. রাজকন্যা পালকির ঠিক মধ্যবিন্দুতে বসার ব্যাপারে মনস্থির করল । এতে উভয় বেয়রা একই দিকে (সমান পরিমাণ) $x$ দূরত্ব সরে

যাওয়ার সিদ্ধান্ত নিল। বেয়ারা দুটিকে কোনদিকে একত্রে কত দূরত্ব সরে যেতে হয়েছিল?

ক. $R$ বরাবর $P$ ও $Q$ বলের উপাংশ সমান হলে $\frac{P}{Q}$ কে $\alpha$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

খ. $P=\sqrt{3} Q$ হলে $\alpha$ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{R}=\mathrm{mP}$ হলে দেখাও যে, $\frac{P}{Q}-\frac{Q}{P}=m$

একটি টিউবওয়েলের (চাপকলের) সম্পূর্ণ হাতলের দৈর্ঘ্য $a$ ফুট এবং হাতলের ঠেস বিন্দু থেকে ভার বিন্দুর দৈর্ঘ্য $b$ ফুট। বলবাহুর শেষপ্রান্তে $P kg$ বল প্রয়োগ করে $W kg$ ওজনের পানি তোলা সম্ভব হলো ।

ক. $A B C D$ বর্গক্ষেত্রের $\overrightarrow{\mathrm{AB}}, 2 \overrightarrow{\mathrm{BC}}, 2 \overrightarrow{\mathrm{CD}}, \overrightarrow{\mathrm{DA}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{DB}}$ বলগুলোর লব্ধির মান কত?

খ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm{W}=\mathrm{P}\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}-1\right)$

গ. $P$ বলটিকে $w$ ওজনের দিকে x দূরত্বে সরালে হাতলের ঠেস বিন্দুর অবস্থান কি পরিমান সরালে $w$ ওজনের পানি তোলা যাবে?

$A$ বিন্দুতে অবস্থিত একটি ধনাত্মক চার্জকে ঘিরে তিনটি ঋণাত্মক চার্জ এমনভাবে অবস্থান করে যেন ধনাত্মক চার্জের সাথে তাদের আকর্ষণ বল যথাক্রমে $P, Q$ ও $R$ সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করে।

ক. $60^{\circ}$ কোণে ক্রিয়ারত $1 \mathrm{~N}$ ও $1 \mathrm{~N}$ মানের বলের লব্ধি কত?

খ. $P$ ও $Q$ বলের অন্তর্গত কোণ $P$ ও $R$ বলের অন্তর্গত কোণের

দ্বিগুণ হলে প্রমাণ কর যে, $\mathrm{R}^{2}=\mathrm{Q}(\mathrm{Q}-\mathrm{P})$

গ. যদি R বলের ক্রিয়ারেখা $P$ ও $Q$ এর অন্তর্ভুক্ত কোণকে এক- তৃতীয়াংশে

বিভক্ত করে তবে দেখাও যে তাদের অন্তর্গত কোণের পরিমাণ $3 \cos ^{-1} \frac{ P}{2 Q}$ এবং $\mathrm{R}=\frac{\mathrm{P}^{2}-\mathrm{Q}^{2}}{\mathrm{Q}}$

$5$ মিটার লম্বা আনুভূমিক একটি ভরহীন দন্ডের দুই প্রান্তে দুইটি খুটি রয়েছে। এক প্রান্ত থেকে ভিতরের দিকে $4$ মিটার দূরে $500$ কেজি ওজনের একটি ভারী বস্তু ঝুলানো রয়েছে।

ক. বস্তুটিকে কোন অবস্থানে ঝুলালে খুঁটিদ্বয়ের উপর সমান চাপ পড়বে?

খ. খুঁটির ঠেস বিন্দু দুইটির প্রতিক্রিয়া নির্ণয় কর।

গ. একটি খুঁটি যদি $200$ কেজি চাপ সহ্য করতে পারে তবে খুঁটি না ভেঙ্গে অপর খুঁটি থেকে সর্বোচ্চ

কত দূরে উক্ত বস্তুটি ঝুলানো যাবে?

ক. $P$ ও $Q$ বলের লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় কর।

খ. $P$ ও $Q$ অবস্থান বিনিময় করলে লব্ধির ক্রিয়া বিন্দুর সরণ নির্ণয় কর ।

গ. $P$ বলটির ক্রিয়ারেখা সমান্তরাল রেখে তার ক্রিয়াবিন্দু $d$ দূরে

সরালে দেখাও যে, তাদের লব্ধি $\frac{2 \mathrm{~d}}{7}$ দূরে সরে যাবে ।

ক. $7$ ও $5$ নিউটন মানের দুইটি বল $O$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল এবং তাদের লব্ধি $9$ নিউটন । একটি ছেদক তাদের

ক্রিয়ারেখাগুলিকে যথাক্রমে $A, B$ ও $C$ বিন্দুতে ছেদ করে। দেখাও যে, $\frac{7}{\mathrm{OA}}+\frac{5}{\mathrm{OB}}=\frac{9}{\mathrm{OC}}$

খ. চিত্র-১ এ উভয় বলকে $5N$ পরিমাণ বৃদ্ধি করলে লব্ধি কত দূরে সরে যাবে তা নির্ণয় কর।

গ. চিত্র-২ হতে প্রমাণ করো যে, $\mathrm{P}: \mathrm{Q}=2: \sqrt{3}$

$w$ ওজনের বস্তু দুইটি সুতার সাহায্যে ঝুলিয়ে সাম্যাবস্থায় রাখা হল ।

ক. $\mathrm{T}_{1}=5 \mathrm{~N}, \mathrm{~T}_{2}=8 \mathrm{~N}$ এবং $\mathrm{W}=\mathrm{TN}$ হলে $\alpha$ নির্ণয় কর।

খ. $\alpha$ এর মান কত হলে $\mathrm{T}_{2}$ টানের মান সর্বনিম্ন হবে।

গ. $\alpha=30^{\circ}$ হলে $\mathrm{T}_{2}$ ও $\mathrm{T}_{1}$ নির্ণয় কর, যখন $\mathrm{W}=10 \mathrm{~N} .$

$\alpha$ কোণে আনত দুইটি বল $\mathrm P$ ও $\mathrm Q$ এবং এদের লম্বি $\mathrm R$

ক, লব্ধি $\mathrm R, \mathrm P$ বলের উপর লম্ব হলে, লব্ধির মান ও বলদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, লব্ধি বল সর্বদাই বৃহত্তর বলের দিকে বেশি করে হেলানো থাকে ।

গ. $\mathrm Q$ এর মান দ্বিগুন করলে $\mathrm R$ ও দ্বিগুণ এবং $\mathrm Q$ কে বিপরীতমুখী করলেও $\mathrm R$ দ্বিগুণ হলে প্রমাণ কর যে,

$P: Q: R=\sqrt{2}: \sqrt{3}: \sqrt{2}$

কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত $\mathrm P$ ও $\mathrm Q$ দুইটি বল এবং এদের লব্ধি $\mathrm R.$

ক. $\mathrm P$ মানের দুইটি বলের লব্ধির মান $\mathrm P$ হলে বলদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?

খ. এদের লব্ধি বলের উভয় দিকে $30°$ ও $60°$ কোণে আনত হলে বলদ্বয়ের অনুপাত কত হবে?

গ. বলদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়ারত থাকলে লব্ধি $\sqrt{13} \mathrm{~N}$ এবং $120°$ কোণে ক্রিয়ারত থাকলে লব্ধি

$\sqrt{7} \mathrm{~N}$ হলে বলদ্বয়ের মান কত?