Questions in this chapter

$A=\{x \in \mathbb{R}: x \leq 0\}$ এবং $f: A \rightarrow \mathbb{R} \geq 0, f(x)=x^{2}$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত ফাংশন এবং $g(x)=|x+2|$

ক. $h(x)=\sqrt{5-x^{2}}$ এর ডোমেন নির্ণয় কর।

খ. অস্তিত্ব যাচাইপূর্বক $f^{-1}(x)$ নির্ণয় কর।

গ. $g(x)$ ফাংশনের স্কেচ হতে এর রূপান্তরিত ফাংশন $g\left(\frac{1}{2} x\right)$ এর স্কেচ অঙ্কন কর।

$4 f(x)+2 x f\left(\frac{1}{x}\right)=10 x+17, g(x)=x^{2}$

ক. যদি, $y=f(x)=\frac{5 x+3}{4 x-5}$ হয়, তাহলে দেখাও যে, $\mathrm{x}=f(\mathrm{y}) \text { }$

খ. $f(x)$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $g(x)$ ফাংশনের স্কেচ হতে এর রূপান্তরিত ফাংশন $g(2x)$ এর স্কেচ অঙ্কন কর।

$12$ জন শিক্ষার্থী $\text { "BARISAL" }$ থেকে $\text { "BANDARBAN" }$ শিক্ষা সফরে যাওয়ার জন্য দুইটি যানবাহনে ভ্রমণ করবে যার একটিতে $9$ জনের বেশি এবং অপরটিতে $5$ জনের বেশি ধরে না ।

ক. $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}+3 x-4$ এবং $g: \mathbb{R}, g(x)=4 x-5$ হলে $(\text { gof) }(-3)$ নির্ণয় কর ।

খ. দেখাও যে, উদ্দীপকের ২য় ইংরেজি শব্দটির বর্ণগুলির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা ১ম ইংরেজি শব্দটির বর্ণগুলির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার $6$ গুণ ।

গ. উদ্দীপকের শিক্ষার্থীরা যানবাহনে কত প্রকারে ভ্রমণ করতে পারবে?

$g(x)=e^{-x}+e^{x}$ এবং $f(x)=\frac{5 x-3}{2 x+1}$

ক. $\sin 3 x$ এর পর্যায় নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\text g(2 y)+g(2 x)=g(x-y) g(x+y)$

গ. যদি $A=\mathbb{R}-\left\{-\frac{1}{2}\right\}, B=\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\}$ এবং $f: A \rightarrow B$ তে সংজ্ঞায়িত হয়,

তবে দেখাও যে, $f(x)$ একটি এক-এক ফাংশন এবং $f^{-1}$ নির্ণয় কর।

$g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ফাংশনটি $g(x)=2 x+5, h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

ফাংশনটি $h(x)=\frac{1}{x-2}, x \neq 2$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত এবং $f(x)=g(x) x h(x)$

ক. $f(x)=\frac{1}{5 x-1}$ ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

খ. $h(g(x))$ এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

গ. $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ হলে $f^{-1}(x)$ নির্ণয়যোগ্য কিনা যাচাই কর ।

$\mathrm{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ফাংশনটি $f(x)=2 x+1$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত এবং $f o g(x)=x^{2}$

ক. $h(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+4 x, x \geq 2 \\x-2, x<2\end{array}\right.$ হলে, $h(−5)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $f(x)$ ফাংশনটি বিপরীতকরণযোগ্য কিনা তা যাচাই কর ।

গ. $g(x)$ এর ডোমেন নির্ণয় কর।

$A=\mathbb{R}-\{2\}, \mathrm{f}: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{A}$ ফাংশনটি $f(x)=\frac{4 x-7}{2 x-4}$ এবং $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ফাংশনটি $g(x)=x^{2}+4 x+4$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।

ক. $h(x)=\frac{1}{\sqrt{x-5}}$ এর ডোমেন নির্ণয় কর ।

খ. $f(x)$ ফাংশনটির বিপরীতকরণযোগ্যতা যাচাই কর ।

গ. $g(x)$ এর স্কেচ অঙ্কন করে বৈশিষ্ট্য পর্যবেক্ষণ কর।

$f(x)=x^{2}+2 x-3$ এবং $g(x)=3 x-5$

ক. $\text { fog }(-2)$ নির্ণয় কর ।

খ. $A=\mathbb{R}-\{3\}, h: A \rightarrow A$ এবং $h(x)=\frac{g(x)}{x-3}$ ফাংশনটির বিপরীতকরণযোগ্যতা যাচাই কর।

গ. $f(x)$ ফাংশন হতে এর রূপান্তরিত ফাংশন $f(x-2)$ এর স্কেচ অঙ্কন কর।

$A=\mathbb{R}-\{2\}, f(x)=2 x-1, g(x)=x-2$

ক. $\text { fog }(3)$ নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{h}: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{A}$ ফাংশনটি $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে,

$h^{-1}(x)$ এর নির্ণয়যোগ্যতা যাচাই করে $h^{-1}(x)$ নির্ণয় কর ।

গ. $\phi(x)=(x-4) g(x)$ হতে $\phi(x)+2$ রূপান্তরিত ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর।

$\mathrm{A}=\mathbb{R}-\left\{\frac{2}{3}\right\}, f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{A}$ এবং $f(x)=\frac{2 x+5}{3 x-2}$

ক. $g(x)=x^{2}-4 x+5$ এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

খ. $f(x)$ এর বিপরীতকরণযোগ্যতা যাচাই কর।

গ. দেখাও যে, $f^{-1}(x)=f(x)$

$f(x)=x^{2}-4 x+3$

ক. $\phi(x)=\frac{1}{x}$ হলে দেখাও যে, $\phi(m)-\phi(n)=\phi\left(\frac{m n}{n-m}\right)$

খ. $h(x)=\sqrt{f(x)}$ এর ডোমেন নির্ণয় কর ।

গ. $f(x)$ এর স্কেচ অঙ্কন করে বৈশিষ্ট্য পর্যবেক্ষণ কর ।

$f(x)=x^{2}-2 x+3$ এবং $g(x)=\frac{x+2}{x-1}$

ক. দেখাও যে, $\phi(x)=|x|+3$ ফাংশনটি এক-এক নয় ।

খ. $\operatorname{fog}^{-1}(3)$ নির্ণয় কর।

গ. $f(x)$ ফাংশন থেকে এর রূপান্তরিত ফাংশন $f(x – 1 )$ এর স্কেচ অঙ্কন কর।

$f(x)=|x|$ এবং $g(x)=e^{x}$

ক. $g(\sqrt{x})$ এর ডোমেন নির্ণয় কর।

খ. $\phi(x)=g(2 x)+g(-2 x)$ হলে দেখাও যে, $\phi(x+y) \phi(x-y)=\phi(2 x)+\phi(2 y)$

গ. $f(x)$ হতে এর রূপান্তরিত ফাংশন $f(x + 2)$ এর স্কেচ অঙ্কন কর।

$f(x)=e^{x}$

ক. $g(x)=\sqrt{x-3}$ এর ডোমেন নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\cos \left(f^{-1}(\mathrm{x})\right)$ হলে দেখাও যে,

$h(x) h(y)-\frac{1}{2}\left[h\left(\frac{x}{y}\right)+h(x y)\right]=0$

গ. $f(x)$ এর স্কেচ থেকে $f(-x)$ এর স্কেচ অঙ্কন কর।

$f(x)=-|x+2|$ এবং $\phi(x)=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+x+x^{2}}\right)$

ক. $g(x)=x^{2}+1$ এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\phi(0)+2 \phi(1)+\phi(2)=\frac{\pi}{2}$

গ. $f(x)$ এর স্কেচ অঙ্কন করে বৈশিষ্ট্য পর্যবেক্ষণ কর ।

$g(x)=e^{x}$

ক. $\text { gog (0) }$ নির্ণয় কর।

খ. $f(x)=\frac{1}{2}(g(x)+g(-x)), \phi(x)=\frac{1}{2}(g(x)-g(-x))$ হলে প্রমাণ কর যে,

$f(x+y)=f(x) f(y)+\phi(x) \phi(y)$

গ. $g^{-1}(x)$ এর স্কেচ অঙ্কন করে বৈশিষ্ট্য পর্যবেক্ষণ কর।

দৃশ্যকল্প-১ :

$\vec{m}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}, \vec{n}=\hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}, \vec{r}=2 \hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k}$

দৃশ্যকল্প-২ : $\mathrm{m}(\mathrm{y})=\ln (\sin \mathrm{y})$ এবং $n(y)=\ln (\cos y)$

ক. $a$ এর মান কত হলে $2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ ও $6 \hat{i}-12 \hat{j}+a \hat{k}$ ভেক্টরদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে?

খ. দেখাও যে, $\vec{m}, \vec{n}$ ও $\overrightarrow{\mathbf{r}}$ ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে ৷

গ. দেখাও যে, $e^{2 n(b)}-e^{2 m(b)}=e^{n(2 b)}$

$g(x)=e^{-x}+e^{x}$ এবং $f(x)=\frac{2 x-5}{x-2}$

ক. $\text { "GREE" }$ শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কতভাবে সাজানো যায়?

খ. প্রমাণ কর যে, $g(x)+g(y)=g\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right) g\left(\frac{x}{2}-\frac{y}{2}\right)$

গ. $A=R-\{2\}$ এবং $f: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}$ হলে দেখাও যে, $f(x)$ এক-এক ফাংশন এবং $f^{-1}$ নির্ণয় কর ।

$A=\left(\begin{array}{ccc}1+p^{2}-q^{2} & 2 p q & 2 q \\2 p q & 1-p^{2}+q^{2} & -2 p \\-2 q & 2 p & 1-p^{2}-q^{2}\end{array}\right)$

$g(x)=\sqrt{x}$ এবং $h(x)=x^{2}-25$

ক. $\text { SHRESHTHA }$ এর অক্ষরগলি কত প্রকারে সাজানো যায়, যেখানে দ্বিতীয় ও সপ্তম

স্থানে $S$ থাকে ।

খ. প্রমাণ কর $|A|=\left(1+p^{2}+q^{2}\right)^{3}$

গ. $\text { goh }$ এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

$f(x)=\ln (\sin x)$ এবং $\phi(x)=\ln (\cos x)$ দুইটি $\text { FUNCTION }$

ক. $g: R \rightarrow R$ কে $g(x)=x^{2}+1$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলে $\mathrm{g}^{-1}(5)$ নির্ণয় কর ।

খ. প্রদত্ত ইংরেজি শব্দটির বর্ণগুলি হতে প্রতিবারে $3$টি বর্ণ নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যায়?

গ. দেখাও যে, $\mathrm{e}^{2 \phi(2 \mathrm{a})}-\mathrm{e}^{2 f(2 \mathrm{a})}=\mathrm{e}^{f\left(\frac{\pi}{2}\right)}-2 \mathrm{e}^{2 f(2 \mathrm{a})}$