Questions in this chapter

$-\mathbf{i}$ এর বর্গমূল কত?

$-2 \mathbf{i}$ এর বর্গমূল—

$-8-6 i$ এর বর্গমূল নিচের কোনটি?

যদি এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হয় তবে-$\left(1+\omega^{4}-\omega^{2}\right)^{3} -\left(1-\omega^{4}+\omega^{2}\right)^{3}$ এর মান কত?

এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির-

i. যোগফল $0$

ii. গুণফল $1$

iii. একটি অপরটির বর্গের সমান

নিচের কোনটি সঠিক?

$\boldsymbol{\omega}$ একটি জটিল ঘনমূল হলে-

$\text { i. } 1+\omega^{5}+\omega^{16}=0$

$\text { ii. } \frac{1}{\omega^{18}}=1$

$\text { iii. } \quad 1 \cdot \omega \cdot \omega^{2}=1$

নিচের কোনটি সঠিক?

এককের কাল্পনিক ঘনমূলের একটি $x$ এবং এর অনুবন্ধী $\overline{\mathbf{x}}$ হলে,

$\begin{array}{l}\text{i. } x+\bar{x}=-1\\\text{ii. } \mathrm{x}^{2}+\bar{x}=-1\\\text{iii. } 1+x+\bar{x}=0\end{array}$

নিচের কোনটি সঠিক?

এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল $\boldsymbol{\omega}$ হলে-

i. $1+\omega^{3}+\omega^{8}+\omega^{3}=2$

ii. জটিল মূল দুটির গুণফল $= 1$

iii. $\omega=\frac{1}{\omega^{2}}$ বা, $\omega^{2}=\frac{1}{\omega}$

নিচের কোনটি সঠিক?

উদ্দীপক-১: $x=\left(a+b \omega+c \omega^{2}\right), y=\left(a+b \omega^{2}+c \omega\right)$

উদ্দীপক-২: $7+\mathrm{i} 8=(\mathrm{p}+\mathrm{iq})^{3}$

ক. এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল $\omega$ হলে, দেখাও যে,

$\left(1+\omega+\frac{3}{\omega}\right)^{6}=64 .$

খ. উদ্দীপক-১ এর সাহায্যে, যদি $x^{3}+y^{3}=0$ হয়, তবে দেখাও যে $b=\frac{1}{2}(c+a)$

গ. উদ্দীপক-২ এর সাহায্যে প্রমাণ কর যে, $p^{2}-q^{2}=\frac{7}{4 p}+\frac{2}{q}$

$\left(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\right)^{n}+\left(\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\right)^{n}$ এর মান -

i. $2$ যখন $n, 3$ দ্বারা বিভাজ্য

ii. $-1$ যখন $n$ অপর যেকোনো পূর্ণ সংখ্যা

iii. $0$ যখন $n$ যেকোনো পূর্ণ সংখ্যা

নিচের কোনটি সঠিক?

দৃশ্যকল্প-১: $z_{1}=-1+\sqrt{3} i$ এবং $z_{2}=1-\sqrt{3} i$

দৃশ্যকল্প-২: $\mathrm{g}(\mathrm{x})=l+\mathrm{mx}+\mathrm{nx}^{2}$

ক. i এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\arg \left(z_{1} z_{2}\right)=\arg \left(z_{1}\right)+\arg \left(z_{2}\right)$

গ. দৃশ্যকল্প-২-এ, $l+\mathrm{m}+\mathrm{n}=0$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\{g(\omega)\}^{3}+\left\{g\left(\omega^{2}\right)\right\}^{3}=27 \ l \mathrm{mn}$

$z=x+i y$ এবং $p^{2}+p+1=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$

ক. $\sqrt[4]{-2401}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $|z+4|+|z-4|=10$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথের নাম উল্লেখসহ সমীকরণটি নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $\alpha^{\mathrm{s}}+\beta^{\mathrm{s}}=-1$, যখন s এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য নয় এরূপ পূর্ণসংখ্যা।

$\mathrm{P}=\frac{1+5 \mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}, \mathrm{Q}=3-2 \mathrm{i}, 2 \mathrm{x}=-1+\sqrt{-3}, 2 \mathrm{y}=-1-\sqrt{-3}$

ক. $-3+4 \sqrt{-1}$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

খ. $\bar{Q}-2 P$ এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $3 x^{4}+x^{3} y+x y^{2}+y^{4}=-3$

দৃশ্যকল্প: $Z=r \cos \theta+i r \sin \theta.$

ক. $(1-i)^{-2}-(1+i)^{-2}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্পে $\theta=45^{\circ}$ ও r = 1 হলে $z^{8}+z^{6}+z^{4}+z^{2}+1$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প হতে প্রমাণ কর যে, $\operatorname{Arg}\left(\mathrm{z}^{2}\right)=2 \operatorname{Arg}(\mathrm{z})$.

$Z_1=1-ix$ এবং $\mathrm{Z}_{2}=\mathrm{a}+\mathrm{ib}$ যেখানে $a, b \in \mathrm{R}$

ক. $x=\sqrt{3}$ হলে $\mathrm{Z}_{1}$ কে পোলার আকারে প্রকাশ কর।

খ. প্রমাণ কর যে, x এর একটি বাস্তবমান $\frac{Z_{1}}{\bar{Z}_{1}}=\bar{Z}_{2}$ সমীকরণকে সিদ্ধ করে যেখানে $a^{2}+b^{2}=1$

গ. $\sqrt[3]{Z_{2}}=p+i q$ হলে প্রমাণ কর যে $-2\left(p^{2}+q^{2}\right)=\frac{a}{p}-\frac{b}{q}$

$z=x+i y$ জটিল সংখ্যাটির অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা $\bar{Z}$।

ক. $\sqrt[4]{-49}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. x = 2 এবং y = 2 হলে, এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

গ. $|z+4|-|z-4|=10$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

i. x + y + z = R

ii. p = x + iy

ক. $(-1-\sqrt{3} i)$ সংখ্যাটির আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

খ. জটিল সংখ্যাটির অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা q হলে $|p+3 i|=|q+4|$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।

গ. যদি R = 0 এবং $\omega$ এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হয় তবে, প্রমাণ কর যে,

$\left(x+y \omega+z \omega^{2}\right)^{3}+\left(x+y \omega^{2}+z \omega\right)^{3}=27 \ x y z$

$z_{1}=-1-1 \sqrt{3}, z_{2}=\sqrt{3}-i$

ক. $z_{1}$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $\operatorname{Arg}\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)=\operatorname{Arg} z_{1}-\operatorname{Arg} z_{2}$.

গ. প্রমাণ কর যে $\left(\frac{1}{2} \bar{z}_{1}\right)^{n}+\left(\frac{1}{2} z_{1}\right)^{n}=2$;

যখন n এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য অথবা, – 1, যখন n এর মান অন্য কোনো পূর্ণসংখ্যা।

দৃশ্যকল্প-১: $a x^{2}+b x+c=0$ এবং $b x^{2}+c x+a=0$

দৃশ্যকল্প-২: $8 x^{3}-36 x^{2}+22 x+21=0$

ক. $z_{1}=3+3 i, z_{2}=4+5 i$ হলে দেখাও যে, $\overline{z_{1}+z_{2}}=\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}$

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর দ্বিঘাত সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে দেখাও যে, $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3 a b c$.

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণের মূলত্রয় সমান্তর প্রগমনভুক্ত হলে মূলগুলো নির্ণয় কর।

$\mathrm{q}(\mathrm{x})\ =\ l\mathrm{x}^2+\mathrm{mx}+\mathrm{n},\mathrm{r}(\mathrm{x})=\mathrm{n}\mathrm{x}^2+\mathrm{mx}+\mathrm{l}$

এবং $\bar{z}=x+i y$

ক. দেখাও যে, p = q না হলে $2 x^{2}-2(p+q) x+\left(p^{2}+q^{2}\right)=0$ সমীকরণের মূলগুলো বাস্তব হতে পারে না।

খ. $|z+3|+|\bar{z}-3|=10$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চার পথের সমীকরণের শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

গ. r (x) = 0 সমীকরণের একটি মূল q (x) = 0 সমীকরণের একটি মূলের দ্বিগুণ হলে,

দেখাও যে, $l=2 \mathrm{n}$ অথবা $2 \mathrm{~m}^{2}=(l+2 \mathrm{n})^{2}$