Questions in this chapter

$f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}$ এবং $g(x)=|x+5|$

যেখানে fog : $f \circ g: A \rightarrow A, A=\{x \in \mathbb{R}: \mathrm{x} \geq 0\}$

ক. $g(x)$ এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর ।

খ. $\text { fog }$ ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা— যাচাই কর ।

গ. যদি, $\mathrm{P}(\mathrm{x})=\sqrt{f(x)-27}$ হয়, তাহলে $p^{-1}[3, \sqrt{18}]$ এর মান নির্ণয় কর।

$f(x)=\cos \frac{x}{3}, g(x)=\frac{1}{\sqrt{3-x^{2}}}$

ক. $9:30$ মিনিটে ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাটার মধ্যবর্তী কোণ রেডিয়ান এককে নির্ণয় কর।

খ. $0 \leq x \leq 3 \pi$ ব্যবধিতে $f(x)$ ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কন কর।

গ. $g(x)$ ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

$\mathrm{F}=\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}): \mathrm{x} \in \mathbb{R}, \mathrm{y} \in \mathbb{R}$ এবং $\left.\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\right\}$

$f(x)=\sqrt{x}, g(x)=x^{2}-1$

ক. $f^{-1}$ নির্ণয় কর।

খ. $(\text { fog })(x)$ ও $\text { (gof) (x) }$ নির্ণয় করে এদের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর ৷

গ. $F$ অন্বয়টির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর ।

উদ্দীপক−1: ভারতীয় চিকিৎসক $\text { SUSHRUTA }$ সর্বপ্রথম $\text { COMBINATORICS }$ এর ধারণা দেন ।

উদ্দীপক $-2: f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ যেখানে, $f(x)=\frac{2 x+3}{3 x-7}$

এবং $\mathrm{A}=\mathbb{R} \backslash\left\{\frac{7}{3}\right\}, \mathrm{B}=\mathbb{R} \backslash\left\{\frac{3}{7}\right\}$

ক. $f(x)=\tan x$ এবং $g(x)=1+x^{2}$ হলে, $\text { go } f(\theta)$ নির্ণয় কর ।

খ. দেখাও যে, উদ্দীপক-1 এ উল্লেখিত ২য় ইংরেজি শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা ১ম ইংরেজি শব্দের

বিন্যাস সংখ্যার $77220$ গুণ ।

গ. যোগ্যতা যাচাইপূর্বক $f^{-1}(\mathrm{x})$ নির্ণয় কর ।

$f(x)=\sqrt{x^{2}-3 x+2}, g(x)=\frac{x+1}{x+2}, x \neq-2$

ক. $f(x)$ এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

খ. $\left|\frac{f(x)\}^{2}}{x-2}\right|$ এর লেখচিত্র অঙ্কন কর এবং ইহা হতে x ও y অক্ষদ্বারা

আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

গ. $f\left(\mathrm{~g}\left(\mathrm{~g}^{-1}(2)\right)\right)$ নির্ণয় কর।

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ফাংশনটি $f(x)=5 x+3$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত।

ক. $g(x)=x^{2}+5$ হলে $\mathrm{g}^{-1}([21,30])$ নির্ণয় কর।

খ. বিপরীত যোগ্যতা প্রমাণ সাপেক্ষে $f^{-1}(\mathbf{x})$ নির্ণয় কর।

গ. $f(x)$ লেখচিত্রের সাহায্যে $f(x + 3) + 4$ অঙ্কন কর।

$f(x)=1-x^{2}$ এবং $g(x)=2|x|$

ক. একটি ফাংশন বিপরীতযোগ্য হওয়ার শর্ত লিখ ।

খ. $g(x)$ ফাংশনটি $x = 0$ বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন কিনা আলোচনা কর ।

গ. $fog$ ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কন করে ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ এবং $\mathbf{g}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ দুইটি ফাংশন, যেখানে, $f(x)=2 x-3$ এবং $(fog)(x)=x^{2}+1$

ক. $\left(\begin{array}{cc}x^{2} & 2 \\x & 2\end{array}\right)$ একটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে, x এর মান নির্ণয় কর।

খ. $g(x)$ নির্ণয় করে এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $f(x)$ বাইজেকটিভ কিন্তু $(fog)^{-1}(x)$ বাইজেকটিভ নয়।

যদি $f(x)=-\sqrt{x-1}$ এর বিপরীত ফাংশন $f^{-1}(x)$ হয় তবে দেখাও যে,$\mathrm{f}\left(\mathrm{f}^{-1}(\mathrm{x})\right)=\mathrm{f}^{-1}(\mathrm{f}(\mathrm{x}))$

$f(x)=\frac{x-2}{x-3}$ এবং $g(x)=\sin x$

ক. $g(3x)$ এর পর্যায় নির্ণয় কর।

খ. যদি, $\mathrm{A}=\mathrm{R}-\{3\} ; \mathrm{B}=\mathbb{R}-\{1\}$ এবং $f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ হয়, তবে দেখাও যে, $f(x)$ এক-এক

ও সার্বিক ফাংশন এবং $f^{-1}$ নির্ণয় কর।

গ. লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান কর :

$g(x)=g\left(\frac{\pi}{2}+x\right) ; 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$

যদি $f(x)=-\sqrt{x}-1$ এর বিপরীত ফাংশন $f^{-1}(x)$ হয় তবে দেখাও যে, $f\left(f^{-1}(x)\right)=f^{-1}(f(x))$

$f(x)=\frac{1+x}{1-x}$ হলে, $f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=$ = কত?

নিচের ফাংশন $f$ এবং $g$ এর সংযোজিত ফাংশন $(gof) (x)$ বের কর এবং এই সংযোজিত ফাংশনের ডোমেন বের কর।

$f(x)=\sqrt{x+2}, g(x)=\ln \left(1-x^{2}\right)$

$f(x)=\cos ^{-1}\left(\frac{2 x}{x+1}\right)$ ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

$\phi(x)=\cot ^{-1}\left(1+x+x^{2}\right)$ হলে দেখাও যে $\phi(2)+2 \phi(1)=\phi(0)$

$f(x)=\sqrt{x-1},(x \geq 1), g(x)=x^{2}+2$ হলে $\left(\text { gof }^{-1}\right)(x)$ এবং $(\mathrm{gof})^{-1}(\mathrm{x})$ নির্ণয় কর

যদি, $f(x)=\frac{1}{1+x}$ হয় $\mathrm{f}(\mathrm{f}(\mathrm{f}(\mathrm{x})))$ এর মান বের কর ।

যদি $f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=x+2$ হয়, তাহলে ডোমেন এবং রেঞ্জসহ $f^{-1}(x)$ বের কর।

$y=x^{2}-4 x+7$ ফাংশনের স্কেচ অংকন কর। একই সাথে ফাংশনের ডোমেন, রেঞ্জ, সিমেট্রিক লাইন, সর্বোচ্চ/সর্বনিম্ন মান এবং x - অক্ষ ও y –অক্ষ হতে কর্তিত অংশ বের কর ।

মনে কর, R বাস্তব সংখ্যার সেট; $A, B \subset \mathrm{R}, \mathrm{f}: \mathrm{A} \rightarrow$ যেখানে $f(x)=\frac{3 x+2}{7 x-3}$ ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে ফাংশনটি এক-এক ও সার্বিক।$\mathrm{f}^{-1}$ ও নির্ণয় কর।