Questions in this chapter

$10$ ঘনমিটার পানিকে $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ আকারের চৌবাচ্চায় রাখা হয়েছে যার ওজন $(w) 98$ কিলো-নিউটন। চৌবাচ্চা থেকে একটি ঢালু পথে $\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}=9 \mathrm{t}-1$ বেগে প্রবাহিত পানির শক্তি $(w \times s)$ ব্যবহার করে

বিদ্যুৎ উৎপাদন করা যায় যেখানে $s$ হলো $t$ সময়ে (সেকেন্ডে) পানির কণার অতিক্রান্ত দূরত্ব (মিটারে)।

ক. $\int \frac{d x}{1-\sin x}$ নির্ণয় কর।

খ. চৌবাচ্চাটির গভীরতা নির্ণয় কর।

গ. এক মিনিটে সমস্ত পানি বিদ্যুৎ উৎপাদনে ব্যবহৃত হলে কি পরিমান পানির শক্তি খরচ হবে?

$f(x)=\sin x+\cos x$

ক. $f(A)=f(B)$ হলে দেখাও যে, $A+B=\frac{\pi}{2}$

খ. $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \theta}{1-f(-\theta)}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $y=\left\{f\left(\frac{1}{2} \sin ^{-1} \sqrt{49-x^{2}}\right)\right\}^{2}-1$ সমীকরণটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যোগজীকরণের মাধ্যমে নির্ণয় কর।

$\alpha=3 \beta, \mathrm{BC}=2 \mathrm{AC}$

ক. $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}$ নির্ণয় কর ।

খ. $\alpha, \beta, \gamma$ নির্ণয় কর ।

গ. $\gamma=60^{\circ}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$

$f(x)=x^{2}+1$ একটি ফাংশন ।

ক. $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}} d x$ মান বের কর ।

খ. $[f(x)-1]^{\frac{n}{2}}$ এর মূল নিয়মে অন্তরজ বের কর ।

গ. $\int \frac{x}{(x-5) f(x)} d x$ নির্ণয় কর।

ক. $\frac{d}{d q}\left(\frac{p}{q^{2}}+\frac{1}{p q}+\frac{q}{p^{2}}\right)$ মান নির্ণয় কর ।

খ. $\int \frac{f(5 x)+f(3 x)}{f(x)+g(x)} d x$ নির্ণয় কর।

গ. ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$f(x)=\sin p x \cos q x(p>q)$ এবং $h(x)=x$

ক. $\frac{d}{d x}\{f(x)\}$ নির্ণয় কর।

খ. $\int f(x) d x=g(x)+$ ধ্রুবক হলে, $g(x)$ নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $\int_{0}^{4} h(x) \sqrt{4-h(x)} d x=\frac{128}{15}$

$f(x)=\tan ^{-1} x$ একটি বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ।

ক. $x^{f(x)}$ এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

খ. $\ln y=f(x)$ হলে, দেখাও যে, $\left(1+x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d^{2}}+(2 x-1) \frac{d y}{d x}=0$

গ. $\int x f(x) d x$ নির্ণয় কর ।

$f(x)=\sqrt{a^{2}+x^{2}}$ এবং $y=g(x)=\ln (x+f(x))$

ক. $\int \log _{a} x d x$ নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $\left(a^{2}+x^{2}\right) y_{2}+x y_{1}=0$

গ. প্রমাণ কর যে, $\int \frac{1}{f(x)} d x=g(x)+$ ধ্রুবক ।

ক. $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sqrt{x+9}-3}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকের বৃত্ত ও সরলরেখার সমষ্টি দ্বারা গঠিত বক্ররেখার যে সকল বিন্দুতে স্পর্শক x-অক্ষের

উপর লম্ব তাদের স্থানাংক নির্ণয় কর।

গ. ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$f(x)=\frac{2}{3} x^{3}+2 x^{2}-2 x$ একটি ফাংশন ।

ক. $\int \frac{d x}{\sqrt{5-4 x^{2}}}$ নির্ণয় কর।

খ. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin \alpha) d \alpha$ এর মান বের কর ।

গ. উদ্দীপকের ফাংশনটির $[0, 5]$ ব্যবধিতে সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান বের কর ।

ক. $p$ এর সাপেক্ষে $\ln \left(e^{p}+e^{-p}\right)$ এর অন্তরজ নির্ণয় কর ।

খ. প্রদত্ত বৃত্তের যে সমস্ত বিন্দু x-অক্ষের সমান্তরাল তাদের স্থানাংক নির্ণয় কর ৷

গ. $a = b = 0$ হলে প্রদত্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

ক. $a = e$ বিন্দুতে $\frac{d}{d a}\left(7^{\mathrm{a}}\right)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. যোগজীকরণের সাহায্যে চিত্রের বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ. $P = 3$ হলে ছায়াঘেরা অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

একটি ফাংশন $f(x)$ কে নিম্নোক্ত ভাবে সংজ্ঞায়িত করা হলো

$f(x)=\frac{4 x}{(3 x+1)(x+1)^{2}}$

ক. $\frac{4 x}{(3 x+1)}$ এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

খ. $f(x)$ এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $\int_{0}^{1} f(x) d x=1-\ln 2$

$x^{2}+y^{2}-16=0$ একটি বৃত্তের সমীকরণ

ক. $y=\frac{1}{2}\left(e^{x}+e^{-x}\right)$ হলে দেখাও যে, $y_{1}{ }^{2}=y^{2}-1$

খ. বৃত্তটির উপর এমন বিন্দুগুলি নির্ণয় কর যেখানে স্পর্শকসমূহ x অক্ষের উপর লম্ব ।

গ. যোগজীকরণের সাহায্যে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

ক. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ $4$ একক এবং একটি চাপ কেন্দ্রে

$50°$কোণ উৎপন্ন করলে বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

খ. যে সকল বিন্দুতে প্রদত্ত বক্ররেখা x অক্ষের উপর লম্ব,

সেই বিন্দুগুলোতে বক্ররেখার স্পর্শক নির্ণয় কর।

গ. ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$M(x)=\cot x$

ক. $\frac{1}{M(A)}+\frac{1}{M(B)}+\frac{1}{M(C)}=0$ হলে দেখাও যে,

$\left\{\sum M(A)\right\}^{2}=\sum\{M(A)\}^{2}$

খ. $y=M\left(a \tan ^{-1} \frac{1}{x}\right)$ হলে প্রমাণ কর যে,

$\left(1+x^{2}\right) y_{2}+2(x-a y) y_{1}=0$

গ. $\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{1} x M\left\{\cot ^{-1}\left(\cot ^{-1} x\right)\right\} d x$ নির্ণয় কর ।

ক. ঢাকা ও বগুড়া পৃথিবীর কেন্দ্রে $1.5°$ কোণ উৎপন্ন করে । পৃথিবীর ব্যাসার্ধ $6440$ কি.মি. ।

ঢাকা ও বগুড়া এর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।

খ. $f(x, y)=g(x, y)$ হলে $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর ।

গ. $f(x, y)=9$ হলে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$P(x)=\sin 2 x B R(x)=\cos 2 x$

ক. $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{1-P(x)}{R(x)}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $\int e^{x} P(x) d x=\frac{1}{5} e^{x} R(x)(\tan 2 x-2)+c$

গ. $0 \leq x \leq \frac{9 \pi}{8}$ ব্যবধিতে লেখচিত্রের সাহায্যে $P(x)-R(x)=0$ সমীকরণটির সমাধান নির্ণয় কর।

$g(a)=a^{x}$ একটি সূচকীয় ফাংশন ।

ক. $\ln \{\mathrm{g}(\mathrm{x})\}$ এর যোগজীকরণ নির্ণয় কর।

খ. $y=x^{g(x)}$ হলে,$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$ নির্ণয় কর ।

গ. $\tan x=g(e)$ সমীকরণটি $(0, 2)$ ব্যবধিতে লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান কর।

$f(x)=e^{x}$ এবং $g(x)=\sin x$

ক. প্রমাণ কর যে,

$\sin 750^{\circ}=\sin 540^{\circ} \cos 210^{\circ}+\cos 540^{\circ} \sin 210^{\circ}$

খ. $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\int f(x) \cdot g(x) d x$ নির্ণয় কর।