Questions in this chapter

$f(\theta)=\tan \frac{\theta}{2}$

ক. $\int f(\theta) d \theta$ নির্ণয় কর।

খ. $f(\theta)=\sqrt{\frac{1-e}{1+e}} \tan \frac{\varphi}{2}$ হলে প্রমাণ কর যে,

$\cos \varphi=\frac{\cos \theta-\mathrm{e}}{1-\mathrm{e} \cos \theta}$

গ. লিমিট হিসাবে $f(\theta)$ এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

$f(\theta)=\sin \theta$ এবং $g(\theta)=\cos \theta$

ক. $\frac{f(\theta)}{g(\theta)}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ এর জন্য ডোমেন নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $\theta=\frac{\pi}{3}$ বিন্দুতে $f(\theta)\{1+g(\theta)\}$ ফাংশনটির আপেক্ষিক বৃহত্তম মান রয়েছে ।

গ. $\int f^{2}\left(2 g^{2}-1\right) d \theta$ মান এর নির্ণয় কর ।

$f(x)=1+x^{2}$ ও $g(x)=3-x^{2}$

ক. $\frac{f(x)}{g(x)}$ এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

খ. $\frac{x}{f(x)}$ এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

গ. $f(x)$ ও $g(x)$ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$f(x)=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1+x^{\frac{1}{3}}}$ ও $g(z)=\cos ^{3} z \sqrt{\sin z}$

ক. $\int \frac{d y}{\left(1+y^{2}\right) \tan ^{-1} y}$ এর মান কত?

খ. $f(x)$ এর যোগজ কত হবে তা নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} g(z) d z$ এর মান $\frac{8}{21}$

$f(x)=\frac{x}{\left(x^{2}-1\right)(x+2)^{2}}$ এবং $g(x)=\cos ^{4} x$

ক. $\int \sec x \operatorname{cosec} x d x$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $f(x)$ এর যোগজ নির্ণয় কর।

গ. $\int_{0}^{\pi / 2} g(x) d x$ এর মান নির্ণয় কর ।

$x^{2}+y^{2}=25$ একটি বৃত্ত এবং $f(x)=x-3$ একটি ফাংশন ।

ক. $\int_{3}^{6} f(x) d x$ নির্ণয় কর।

খ. $\int_{0}^{5} y d x$ নির্ণয় কর।

গ. বৃত্তটি এবং $f(x) = 0$ রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$f(\theta)=\sin \theta$

ক. $\int \frac{1}{1+\tan z} d z$ এর মান কত?

খ. x-এর সাপেক্ষে $\sqrt{1+f(x)}$ এর যোগজ নির্ণয় কর।

গ. $\int f\left(\frac{\pi}{2}-2 \theta\right) f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) d \theta$ এর মান বের কর।

$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ ।

ক. $\int_{-5}^{5}|x-5| d x$ নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকের অধিবৃত্ত এবং স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

গ. দেখাও যে, উদ্দীপকের অধিবৃত্তের যে কোনো স্পর্শক দ্বারা অক্ষ দুইটি থেকে কর্তিত অংশের যোগফল একটি ধ্রুবক।

$f(x)=x, g(x)=x^{2}+1$

ক. $\int \frac{1}{e^{f(x)}+e^{(f-x)}} d x$ নির্ণয় কর।

খ. $\int_{0}^{4} f(y) \sqrt{4-f(y)} d y$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\int \frac{f(x) d x}{(x-1) g(x)}$ নির্ণয় কর।

(i) $f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x}$

(ii) একটি প্যারাবোলার সমীকরণ, $y^{2}=4 x$

(iii) একটি সরলরেখার সমীকরণ, $y=x$

ক. $\int \frac{d x}{\sqrt{25-x^{2}}}$ নির্ণয় কর।

খ. $\int_{0}^{\pi} f(x) d x$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকে উল্লিখিত পরাবৃত্ত ও সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

নিচের চিত্রে $f(x)=\sin x$ এবং $g(x)=\cos x$ সমীকরণদ্বয়ের স্থূল লেখচিত্র $(0, \pi)$ ব্যবধিতে অঙ্কন করা হলো ।

ক. $f(x)$ এবং $g(x)$ কোন কোন ফাংশন নির্দেশ করে?

খ. $A$ অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ. $B$ অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$f(x)=\sin 2 x ; g(x)=\sin x$ যেখানে $0 \leq x \leq 2 \pi$

ক. $\int f(x) g(x) d x$ নির্ণয় কর।

খ. দাগাঙ্কিত এলাকা $\mathrm{OBA}$ অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ. চিত্র হতে $\text { OAC }$ অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১: $y=e^{5 x}\left[5 \ln x+\frac{1}{x}\right]$

দৃশ্যকল্প-২: $y=(3-x) e^{-2 x}$ একটি বক্ররেখা।

ক. $\int \frac{x^{3}+1}{x+1} d x$ নির্ণয় কর ।

খ, দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত y-কে সমাকলন কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত বক্ররেখাটি অক্ষদ্বয় দ্বারা যে ক্ষেত্রে আবদ্ধ হয় তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$f(x)=\frac{1}{x^{2}-a^{2}} ; h(x)=\frac{1}{x\left(x^{2}+1\right)}$

এবং একটি বৃত্তের সমীকরণ $x^{2}+y^{2}=16$

ক. দেখাও যে, $\int f(x) d x=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+c$

খ. $\int_{2}^{3} h(x) d x$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. ক্যালকুলাস পদ্ধতিতে বৃত্তটির ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

$f(x)=x \sin ^{-1} x^{2}$ এবং একটি উপবৃত্তের সমীকরণ $4 x^{2}+9 y^{2}=36$

ক. $\int g(x) \cdot d x=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right)+c$ হলে, $g(x)$ নির্ণয় কর।

খ. $\int f(x) d x$ নির্ণয় কর।

গ. ক্যালকুলাস পদ্ধতিতে উদ্দীপকের উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right) ; g(x)=x^{2}-4 x+6$

ক. $\int f(x) d x$ নির্ণয় কর।

খ. পাঁচ কোটি ব্যবহার করে ট্রাপিজিয়ামের সূত্রের সাহায্যে $\int_{2}^{6} g(x) d x$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. চিত্রে রেখা অংকিত অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

চিত্রে $y=10+8 x+x^{2}-x^{3}$ বক্ররেখাটির একটি অংশ দেখানো হলো, যার সর্বোচ্চ বিন্দুটি $A$

ক. ক্যালকুলাসের সাহায্যে $A$ বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

খ. $OA$ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর, যেখানে $O$ মূলবিন্দু ।

$OA$ রেখাটি x-অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা ডিগ্রিতে প্রকাশ কর।

গ. যোগজীকরণের প্রক্রিয়ায় রেখা অংকিত ক্ষেত্র $R$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

পাশের চিত্রে $y=x^{2}-5 x+4$ বক্ররেখাটির লেখ দেখানো হলো ।

বক্ররেখাটি x-অক্ষকে $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করে।

ক. $A$ ও $B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $D(5, 4)$ বিন্দুটি বক্ররেখার উপর অবস্থিত। $AD$ এর সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. ক্যালকুলাসের সাহায্যে $\mathrm{AB}, \mathrm{AD}$ ও বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্র $R$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$\text { (i) } f(x)=\frac{e^{x}(1+x)}{\cos ^{2}\left(x e^{x}\right)} \text {; }$

(ii) একটি বৃত্ত $x^{2}+y^{2}=25$ এবং একটি রেখা $f(x)=x-3$

ক. দেখাও যে, $\int \frac{4 x \tan ^{-1} x^{2} d x}{1+x^{4}}=\left(\tan ^{-1} x^{2}\right)^{2}+c$

খ. $\int f(x) d x$ নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকের (ii) বৃত্ত এবং $f(x) = 0$ রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প :

ক. $\frac{d y}{d x}$ নির্ণয় কর যখন, $y=\cot ^{-1} \frac{1-x^{2}}{2 x}$

খ. দৃশ্যকল্পের উপবৃত্তটির উপরস্থ $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right)$ বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর ।

গ. ক্যালকুলাস পদ্ধতিতে দৃশ্যকল্পের উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।