Questions in this chapter

একজন শিক্ষার্থী গণিত বই খুলে $234567$ সংখ্যাটি দেখতে পেল।

ক. ${ }^{4 n} P_{3}:{ }^{2 n} P_{2}=2: 1$ হলে $n$ এর মান নির্ণয় করে $n$ সম্পর্কে মতামত তুলে ধর ।

খ. উদ্দীপকের সংখ্যাটির ছয়টি অঙ্ক ব্যবহার করে $4000$ থেকে $6000$ এর মধ্যে কতটি সংখ্যা তৈরি করা যাবে?

গ. উদ্দীপকের সংখ্যাটির প্রত্যেকটি অঙ্ককে যদি সে.মি. এককে দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট ছয়টি সরলরেখা বিবেচনা করা হয় তবে উক্ত সরলরেখাগুলি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের সংখ্যা নির্ণয় কর।

কোনো হোটেলে পরপর সাজানো $9$টি কক্ষ রয়েছে। প্রতিটি | কক্ষের দরজায় $\text { PASSWORD }$ দেয়ার জন্য $4$টি করে $RING$ | রয়েছে। প্রতিটি $RING$ এ $0, 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9$ অঙ্কগুলো রয়েছে। যে কোনো দরজায় $PASSWORD$ রাখলেও চলবে, না রাখলেও চলবে।

ক. উদ্দীপকের অঙ্কগুলির একটিকেও পুনরাবৃত্তি না করে $6000$ থেকে $8000$ এর মধ্যবর্তী কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়?

খ. উদ্দীপকের অঙ্কগুলিকে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে ছয় অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি অর্থপূর্ণ জোড় সংখ্যা গঠন করা যায়?

গ. উদ্দীপকের $\text { RINGPASSWORD }$ শব্দটির বর্ণগুলি থেকে প্রতিবার 4টি বর্ণ নিয়ে কতগুলি ভিন্ন ভিন্ন শব্দ গঠন করা যায়?

বাংলাদেশের একমাত্র রাষ্ট্রীয় মোবাইল ফোন সেবাদানকারী প্রতিষ্ঠান $\text { Teletalk Bangladesh Limited }$ এর অপারেটর কোড $015$ এবং বাংলাদেশের মোবাইল ফোন নম্বরগুলি $11$ অঙ্কবিশিষ্ট ।

ক. বিন্যাস ও সমাবেশের মধ্যে কোন প্রক্রিয়ায় মোবাইল ফোন নম্বর তৈরি করা হয়?

খ. $\text { Teletalk Bangladesh Limited }$ সর্বোচ্চ কতজন গ্রাহককে সেবা দিতে পারবে, যাতে প্রতিটি ফোন নম্বরের চতুর্থ অঙ্ক $5$ হয় ।

গ. যদি শেষ $4$টি একই অঙ্কবিশিষ্ট ফোন নম্বরগুলিকে বিশেষ ফোন নম্বর বিবেচনায় বিক্রয় না করে তবে, $\text { Teletalk Bangladesh Limited }$ বর্তমান ব্যবস্থায় সর্বোচ্চ কতজন গ্রাহককে সংযোগ দিতে পারবে?

একটি কোম্পানিতে $14$টি ভিন্ন ভিন্ন দপ্তরের জন্য $14$জন কর্মকর্তা নিয়োগ করা হলো, যাদের মধ্যে $8$ জন পুরুষ এবং $6$ জন মহিলা । দুটি বিশেষ দপ্তরে মহিলা কর্মকর্তা পদায়ন বাধ্যতামূলক

ক. $\text { PENCIL }$ শব্দটির সবগুলি বর্ণ একত্রে নিয়ে কত রকমে পুনরায় সাজানো যেতে পারে?

খ. নতুন নিয়োগপ্রাপ্ত কর্মকর্তাবৃন্দকে কতভাবে বিভিন্ন দপ্তরে পদায়ন করা যাবে?

গ. নতুন নিয়োগপ্রাপ্ত কর্মকর্তাদের মধ্যে সর্বোচ্চ $5$ জন পুরুষ ও সর্বনিম্ন $3$ জন মহিলার সমন্বয়ে কত রকমে $8$ জনের একটি কমিটি গঠন করা যাবে?

এক ব্যক্তি তার জন্মদিনের অনুষ্ঠানে $12$ জন বন্ধু এবং $6$ জন পারিবারিক আত্মীয়কে আমন্ত্রণ জানানোর সিদ্ধান্ত নিলেন। পারিবারিক আত্মীয়দের মাঝে $3$ জন পুরুষ, $2$ জন মহিলা এবং $1$ জন শিশু ছিল। অনুষ্ঠানে আমন্ত্রিত প্রত্যেক ব্যক্তি প্রত্যেক ব্যক্তির সাথে একবার করে করমর্দন করলেন।

ক. $9$ বাহু বিশিষ্ট একটি সমতলিক ক্ষেত্রের কতগুলো কর্ণ আছে?

খ. অনুষ্ঠানে মোট কতটি করমর্দন সম্পন্ন হবে এবং কতটি করমর্দন শুধুমাত্র বন্ধু ও পারিবারিক সদস্যের মাঝে সম্পন্ন হবে ?

গ. পারিবারিক আত্মীয়দের জন্য কত উপায়ে $5$টি আসন নির্ধারণ করা যাবে?

কলেজের বার্ষিক ক্রীড়া প্রতিযোগিতা পরিচালনার জন্য পুরস্কার ক্রয় কমিটিতে $5$ জন, অতিথি আপ্যায়নে $4$ জন এবং শৃঙ্খলা রক্ষার দায়িত্বে $3$ জন লোক নিয়োজিত ।

ক. $7 \times{ }^{n} P_{3}={ }^{n+1} P_{4}$ হলে $n$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. উক্ত বার্ষিক ক্রীড়া সুষ্ঠুভাবে পরিচালনার্থে প্রত্যেক কমিটি থেকে অন্তত:পক্ষে $1$ জন অন্তর্ভুক্ত রেখে $6$ জন সদস্যের কমিটি কতভাবে বাছাই করা যায়?

গ. কমপক্ষে আপ্যায়ন কমিটির $2$ জন এবং শৃঙ্খলা কমিটির $1$ জনকে অন্তর্ভুক্ত রেখে $7$ জনের দল কতভাবে গঠন করা যাবে?

আমাদের দেশের $\text { 'POPULATION' }$ বর্তমানে প্ৰায় $159308600$ জন যা দেশের জন্য খুবই উদ্বেগজনক।

ক. $A=\left[\begin{array}{rrr}0 & -5 & -9 \\5 & 0 & 8 \\9 & -8 & 0\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্সটির বিপ্রতিসমতা যাচাই কর ।

খ. উদ্দীপকের শব্দটির স্বরবর্ণগুলো পাশাপাশি না রেখে কতটি ভিন্ন শব্দ গঠন করা যায়?

গ. উদ্দীপকের সংখ্যাটির অঙ্কগুলো পুনরাবৃত্তি না করে সাত অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো জোড় সংখ্যা গঠন করা যায়?

দৃশ্যকল্প-১ঃ কোনো পরীক্ষায় $A$ সেটে $6$টি প্রশ্ন ও $B$ সেটে $4$টি প্রশ্ন রয়েছে।

দৃশ্যকল্প-২ঃ একজন মহিলা 'শপিং মলে গিয়ে $20$টি রাজশাহী সিল্ক, $15$টি চুমকি কাতান, $10$টি প্রাইড ও $5$টি চন্দ্রবিন্দু ব্র্যান্ডের শাড়ি পছন্দ করলেন।

ক. একজন পরীক্ষার্থী কতভাবে ওটি প্রশ্নের উত্তর করতে পারবে যেখানে $B$ সেট হতে ঠিক $2$টি প্রশ্ন উত্তর করা লাগবে ?

খ. যদি $B$ সেটের প্রতিটি প্রশ্নের বিকল্প প্রশ্ন থাকে, তবে পুরো প্রশ্নপত্র থেকে কতভাবে এক বা একাধিক প্রশ্নের উত্তর দেয়া যায়?

গ. মহিলাটি কতভাবে এক বা একাধিক শাড়ি বাছাই করতে পারেন?

শিক্ষক বোর্ডে অলিম্পিক লোগো আঁকলেন এবং $5$টি পরস্পর অসমান্তরাল সরলরেখা আঁকলেন ।

ক. $m \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ ও $4 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}$ ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে $m$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. অলিম্পিক লোগোর বৃত্ত সমূহের ছেদ বিন্দুগামী কয়টি সরলরেখা ও ত্রিভুজ পাওয়া যাবে?

গ. মিজান বাসায় গিয়ে অলিম্পিক লোগোর বৃত্ত আঁকতে গিয়ে পাঁচটি পরস্পরচ্ছেদী বৃত্ত আঁকলে, বৃত্ত ও অসমান্তরাল সরলরেখা দ্বারা সর্বোচ্চ কতটি ছেদবিন্দু পাওয়া যাবে?

রফিকের $\text { SMARTPHONE }$ এর পাসওয়ার্ড হলো $\text { 1073495। }$

ক. $\hat{i}$ এবং $\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}$ এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকের ইংরেজি শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায় যেন স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকে এবং $'T'$ বর্ণটি শেষ অবস্থানে থাকে?

গ. পাসওয়ার্ডটির অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে $7$ অংক বিশিষ্ট কতগুলো অর্থপূর্ণ জোড় সংখ্যা গঠন করা যায়?

$\mathrm{L}_{1}$ রেখার x ছেদক অংশ $4 ; \mathrm L_{1}$ ও $\mathrm{L}_{2}$ এর ছেদবিন্দু $(-5,8) ; \mathrm{L}_{1}$ এর সাথে $\mathrm{L}_{2}$ এর নতির স্পর্শক $\text { (TANGENT) } \frac{1}{2}$ $\mathrm{L}_{2}$ রেখার সমীকরণ $\text { (EQUATION) } a x+b y+c=0$ আকৃতির ।

ক. উদ্দীপকের ২য় ইংরেজি শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যাবে যেন কোনো দুইটি ব্যঞ্জনবর্ণ পাশাপাশি না থাকে?

খ. $a,b$ ও $c$ এর মান নির্ণয় কর ৷

গ. প্রতিবারে $5$টি করে বর্ণ নিয়ে উদ্দীপকের ১ম ইংরেজি শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১: $\mathrm{A}(3,-1,2), \mathrm{B}(1,-1,-3)$ ও $C(\mu,-3,1)$ বিন্দু তিনটি শূন্যে অবস্থিত।

দৃশ্যকল্প-২: $\left[\begin{array}{ccc}-1 & -2 & -1 \\6 & \mu & 6 \\-2 \mu & 5 & 2\end{array}\right]=P$

ক. $\text { BASHUNDHARA }$ শব্দটির বর্ণগুলি নিয়ে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে স্বরবর্ণ ও ব্যঞ্জনবর্ণ আপেক্ষিক অবস্থান পরিবর্তন করে না?

খ. $A, B$ ও $C$ এর অবস্থান ভেক্টর সমূহ কোনো ত্রিভুজের শীর্ষ প্রকাশ করলে ত্রিভুজের কোণগুলোর মান নির্ণয় কর যেখানে, $\mu=4 .$

গ. $A, B$ ও $C$ এর অবস্থান ভেক্টর সমূহ একই সমতলে অবস্থান করলে $\mathrm{P}^{-1}$ নির্ণয় কর।

$O(0, 0)$ কেন্দ্রবিশিষ্ট $A$ বৃত্তটি ডানদিকে একবার ঘুরলে $B$ বৃত্তের উপর সমাপতিত হয়। $A$ বৃত্তের উপরস্থ $m$ সংখ্যক বিন্দুতে $m$ সংখ্যক পিঁপড়া ও $B$ বৃত্তের উপরস্থ $n$ সংখ্যক বিন্দুতে $n$ সংখ্যক পিঁপড়া বসে আছে।

প্রত্যেক পিঁপড়া তার নিজ বৃত্তের ও অন্য বৃত্তের পিঁপড়া গুলোকে $\text { MESSAGE }$ পাঠাবে ও নিজের কাছে আসা $\text { MESSAGE }$ এর $\text { REPLY }$ ও দিবে।

ক. উদ্দীপকের ১ম ইংরেজি শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা কত?

খ. বৃত্তদ্বয়ের সরল সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. আদান-প্রদান করা মোট $\text { MESSAGE }$ এর সংখ্যা কত?

কোনো এক শান্তিরক্ষা মিশনে $\text { BANGLADESH }$ ও $\text { INDIA }$ এর যথাক্রমে $20$ জন ও $15$ জন সৈন্য কাজ করে ।

ক. $2\left(x^{2}+y^{2}\right)-6 x+8 y+4=0$ বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

খ. কোনো দুইজন $\text { INDIA }$ এর সৈন্যকে পাশাপাশি না বসিয়ে এক সারিতে সব সৈন্যকে কত প্রকারে সাজানো যায়?

গ. উদ্দীপকের সবগুলো ইংরেজি বর্ণ নিয়ে কতভাবে সাজানো যায় যেন $\text { BANGLA }$ শব্দটি অপরিবর্তিত এবং স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকে?

চিত্রে $AB$ একটি এক পাল্লা বিশিষ্ট দরজা যা নিয়মিত খোলাতে মেঝেতে $BDC$ বৃত্তাকার দাগ পড়েছে ও $A$ মূলবিন্দু বিবেচনা করি ।

ক. দরজা বরাবর রেখার সমীকরণ বের কর ।

খ. উদ্দীপকের চিত্রে উল্লেখিত ইংরেজি শব্দদ্বয় থেকে দেখাও যে, একটি শব্দের বর্ণ দ্বারা গঠিত শব্দ সংখ্যা অপর শব্দের বর্ণ দ্বারা গঠিত শব্দ সংখ্যার দ্বিগুণ ।

গ. $AB = 5$একক হলে $BC$ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।

একটি ক্রিকেট মাঠের সমীকরণ, $4 x^{2}+4 y^{2}-32 x-16 y -145=0$ গ্যালারীর দর্শক ধারণ ক্ষমতা $56780$ জন। এদের মধ্যে দুইজন পরিচিত দর্শক এমনভাবে বসলো যে তাদের সংযোগ সরলরেখা $8 x+6 y+21=0$ মাঠকে ছেদ করে ।

ক. প্রদত্ত সরলরেখাটির অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিতাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

খ. দর্শক সংখ্যায় ব্যবহৃত অঙ্কগুলি প্রত্যেক সংখ্যায় একবার মাত্র ব্যবহার করে পাঁচ অঙ্কবিশিষ্ট এবং $4$ দ্বারা বিভাজ্য কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যাবে ?

গ. মাঠটির এমন দুটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রদত্ত স্পর্শকের উপর লম্ব ।

$\text { 'Sandwich' }$ একটি খাবারের নাম। উদ্দীপকের ইংরেজি শব্দটি থেকে—

ক. একবারে সব বর্ণ নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

খ. ব্যঞ্জনবর্ণগুলিকে একত্রে রেখে কত প্রকারে সাজানো যায়?

গ. স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে না রেখে কত প্রকারে সাজানো যায়?

এক ব্যক্তি তার $7$ জন বন্ধু ও $6$ জন আত্মীয়ের মধ্য থেকে $10$ জনকে বাছাই করে তিনি সহ দুইটি যানবাহনে ভ্রমণ করবেন। যার একটিতে $7$ জনের বেশি এবং অন্যটিতে $4$ জনের বেশি ধরে না।

ক. ${ }^{n} C_{12}={ }^{n}{ }^{n} C_{8}$ হলে ${ }^{n} C_{5}$ এর মান কত?

খ. ঐ ব্যক্তি কত উপায়ে বন্ধু ও আত্মীয়দের মধ্যে মোট $10$ জনকে নিমন্ত্রণ করতে পারবেন?

গ. যদি $2$ জন ধারণক্ষমতা বিশিষ্ট অপর একটি যানবাহন আনা হয় তাহলে কত প্রকারে মোট $11$ জন ভ্রমণ করতে পারবে যাতে কোনো যানবাহন খালি না থাকে ?

$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ অঙ্কগুলি প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে কতগুলো সংখ্যা গঠন করা হলো ।

ক. $5000$ ও $6000$ এর মধ্যবর্তী কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যাবে?

খ. $1000$ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর এবং $5$ দ্বারা বিভাজ্য কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যাবে?

গ. $5$ অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি জোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে?

$\text { HUNDRED }$ শব্দটি গণনার ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়।

ক. $\text { Triangle }$ শব্দটির অক্ষরগুলো কত প্রকারে সাজানো যায়?

খ. উদ্দীপকের শব্দটি কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো একত্রে না থাকে?

গ. কমপক্ষে $1$টি স্বরবর্ণকে বিদ্যমান রেখে উদ্দীপকের শব্দটি হতে প্রতিবারে $4$টি বর্ণ নিয়ে সমাবেশ সংখ্যা লিখ।