Questions in this chapter

$\hspace{1.6 cm}\begin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{A}}=4 \hat{\mathrm{i}}+\hat{2 \mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}} \\ \overrightarrow{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}} \\ \overrightarrow{\mathrm{C}}=4 \hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}} \end{array}$

ক. অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

খ. "আয়ত একক ভেক্টরের দিক নির্দিষ্ট হলেও একক ভেক্টরের দিক নির্দিষ্ট নয়” ব্যাখ্যা করো।

গ. $\rm{\overrightarrow{C}}$ বরাবর $\rm{\overrightarrow{B}}$ এর লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় করো।

ঘ. $\rm{|\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}|>|\overrightarrow{B}-\overrightarrow{C}|>|\overrightarrow{A}-\overrightarrow{C}| ;}$ সঠিক$/$সঠিক নয়$-$ যাচাই করো।

উভয় চিত্রে $\rm{v}=$ নৌকার বেগ $=6 \mathrm{~ms}^{-1}$

$\rm{R} =$ লব্ধি বেগ।

ক. নাল ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

খ. “কোনো ভেক্টরের বিপরীত ডেক্টর এবং বিপ্রতীপ ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ সর্বদা একই হয়”- ব্যাখ্যা করো।

গ. চিত্র 'ক' থেকে লব্ধি বেগ $\rm{R}$ নির্ণয় করো।

ঘ. কোন চিত্রানুসারে নদী পার হতে কম সময় লাগবে? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

চিত্রটি লক্ষ করো এবং নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও:

ক. অবস্থান ভেক্টর কী?

খ. লম্বাংশের সাহায্যে ভেক্টর রাশির যোজন ব্যাখ্যা করো।

গ. $\angle \mathrm{BAC}$ কোণ নির্ণয় করো।

ঘ. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}, ~\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ ভেক্টরত্রয় একই সমতলে থাকবে কি-না? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

ক. টর্ক কী?

খ. মেঘলা রাত অপেক্ষা মেঘহীন রাতে বেশি শিশির জমে কেন?

গ. ভেক্টর দুটির লব্ধি নির্ণয় করো।

ঘ. $(\overrightarrow{\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{B}})$ ভেক্টরটি $\rm{X}$ অক্ষের সাথে কত কোণ উৎপন্ন করে? প্রয়োজনীয় চিত্রসহ ব্যাখ্যা করো।

চিত্রে $\overrightarrow{\mathrm{F}_{1}} ~ও~\overrightarrow{\mathrm{F}_{2}}$ বলদ্বয় $\rm{O}$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল।

ক. একক ভেক্টর কাকে বলে?

খ. একই তলে ক্রিয়াশীল দুটি ভেক্টরকে ঘড়ির কাঁটার দিকে এবং বিপরীত দিকে ঘুড়ালে লব্ধি দিক একই হবে কি না ব্যাখ্যা করো।

গ. $\rm{\overrightarrow{F_{1}} \times \overrightarrow{F_{2}}}$ বের করো।

ঘ. $\rm{\overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}}}$ ও $\rm{\overrightarrow{F_{1}} - \overrightarrow{F_{2}}}$ পরস্পর লম্ব কি না যাচাই করো।

$\rm{\overrightarrow{A}}=2 \hat{\rm{i}}+\sqrt{2} \hat{\mathrm{j}}-\sqrt{3} \hat{\mathrm{k}} , \overrightarrow{\mathrm{B}}=\sqrt{3} \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}$ একটি ত্রিভুজের দুটি সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করে। $\overrightarrow{P}$ ও $\overrightarrow {Q}$ ভেক্টর অপর একটি ত্রিভুজের দুটি সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করে, যেখানে $\rm{\overrightarrow{P}=3\overrightarrow{A}}$ এবং $\rm{\overrightarrow {Q}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{B}}$।

ক. অবস্থান ভেক্টর কাকে বলে?

খ. সমান ভেক্টর, সমান্তরাল ভেক্টর কি-না? ব্যাখ্যা করো।

গ. $\rm{\overrightarrow{A}}$ ও $\rm{\overrightarrow{B}}$ এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় করো।

ঘ. উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে কোনটি অধিক জায়গা দখল করবে? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

শান্ত একটি কলেজের ছাত্র। তার বাড়ির পাশ দিয়ে $1 \rm{~km}$ প্রশস্ত একটি নদী প্রবাহিত। বাড়ির সোজাসুজি অপর পাড়ে তার কলেজ। একদিন সকালে সে ক্লাস শুরু হওয়ার $5$ মিনিট পূর্বে স্রোতের বেগের সাথে $120^\circ$ কোণে $12~ \rm{kmh}$ বেগে একটি নৌকায় কলেজের উদ্দেশ্যে রওনা হলো।

ক. স্প্রিং ধ্রুবক কী?

খ. বালির উপর দিয়ে হাঁটা কষ্টসাধ্য কেন?

গ. নদীতে স্রোতের বেগ নির্ণয় করো।

ঘ. শান্ত কি যথাসময়ে ক্লাসে উপস্থিত হতে পারবে? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

$4 \rm{~km}$ প্রস্থ একটি নদীর পাড়ের '$\rm{A}$' বিন্দু হতে $12 \rm{~km/hr}$ বেগে একটি নৌকা নদীর অপর পাড়ে যাওয়ার জন্য যাত্রা শুরু করলো। একজন লোক নৌকা চলার শুরু হতে অপর পাড়ের '$\rm{B}$' বিন্দুতে $20$ মিনিট অপেক্ষা করে চলে গেল। নদীতে স্রোতের বেগ $6 \rm{~kmh}^{-1}$

ক. তল ভেক্টর কাকে বলে?

খ. নাল ভেক্টরের সুনির্দিষ্ট দিক আছে কিনা— ব্যাখ্যা কর।

গ. নৌকার লব্ধি বেগের মান নির্ণয় কর।

ঘ. উদ্দীপকে অপেক্ষমান লোকটির সাথে নৌকার সাক্ষাৎ হবে কিনা? গাণিতিকভাবে যাচাই কর।

রবিনদের বাড়ির সামনে $1000 \rm{~m}$ প্রশস্ত একটি নদী প্রবাহিত। বাড়ির সোজাসুজি নদীর ঠিক অপর পাড়ে তার কলেজ। একদিন সকালে সে ক্লাস শুরু হওয়ার ঠিক $10$ মিনিট পূর্বে স্রোতের বেগের সাথে $120^\circ$ কোণে $10 \rm{kmh}^{-1}$ বেগের একটি নৌকায় কলেজের উদ্দেশ্যে রওনা দিলো এবং সোজা অপর পাড়ে গিয়ে কলেজে পৌঁছালো । [নদীর পাড় হতে কলেজের দূরত্ব নগন্য বিবেচনা করতে হবে]

ক. অবস্থান ভেক্টর কী?

খ. নৌকার গুণ টানার সময় অনেক লম্বা দড়ি ব্যবহারের সুবিধা ব্যাখ্যা করো।

গ. উদ্দীপক অনুসারে নদীতে স্রোতের বেগ কত?

ঘ. রবিন কি যথাসময়ে ক্লাসে উপস্থিত হতে পারবে? গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও।

চিত্রে দুটি বিন্দু $\text{P ও Q}$ এর স্থানাঙ্ক দেওয়া আছে। $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ যথাক্রমে বিন্দুদ্বয়ের অবস্থান ভেক্টর নির্দেশ করে।

ক. ভেক্টর বিভাজন কী?

খ. $\hat{\mathrm{k}} \times \hat{\mathrm{k}}$ একটি নাল ভেক্টর। $-$ব্যাখ্যা করো।

গ. $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ এর মান নির্ণয় করো।

ঘ. $\overrightarrow{\mathrm{OP}},~\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থান করে কি না গাণিতিকভাবে যাচাই করো।

নিচে তিনটি ভেক্টর দেওয়া আছে।

$\hspace{1.5 cm} \begin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{A}}=2 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}} \\ \overrightarrow{\mathrm{B}}=5 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+6 \hat{\mathrm{k}}\\ \overrightarrow{\mathrm{C}}=4 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}} \end{array}$

ক. অবস্থান ভেক্টর কী?

খ. $\rm{\hat{i}}$ ও $\rm{\hat{j}}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $90^\circ$ এর চেয়ে কম হওয়া সম্ভব নয়— ব্যাখ্যা করো।

গ. $\overrightarrow{\rm{A}}$ এবং $\overrightarrow{\rm{C}}$ এর মধ্যবর্তী কোণ কত?

ঘ. ভেক্টর $\overrightarrow{\rm{A}}$ এবং $\overrightarrow{\rm{B}}$ পরস্পর একই দিকে ক্রিয়াশীল কি না তা যাচাই করো।

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য করো যেখানে ত্রিমাত্রিক স্থানাংক ব্যবস্থায় $\rm{A} (3, 3, 1)$ এবং $\rm{B} (4, 5, 1)$ দুটি বিন্দু।

ক. সরণ ভেক্টর কী?

খ. দুটি ভেক্টরের গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না— ব্যাখ্যা করো।

গ. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ এর সমান্তরাল একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

ঘ. $\text{O, A ও B}$ বিন্দুসমূহের সংযোগ গঠিত ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ কি না— গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক তোমার মতামত দাও।

30° কোণে আনত একটি পাহাড়ের ঢাল বেয়ে 72 km/h সমবেগে একটি বাস উপরে উঠছে। এমন সময় হঠাৎ বৃষ্টি 6 m/s সমবেগে খাড়া নিচে পড়তে শুরু করল। বৃষ্টি যখন প্রায় শেষ তখন অনুভূমিকভাবে বায়ুপ্রবাহ শুরু হলো ।

ক. বিপ্রতীপ ভেক্টর কাকে বলে?

খ. দুটি ভেক্টর রাশির যোগফল ও বিয়োগ ফলের মান সমান ব‍্যাখ্যা কর।

গ. শুরুতে বাসচালক কত কোণে বৃষ্টি পড়তে দেখবে নির্ণয় কর।

ঘ. বায়ুপ্রবাহের দরুণ বাসচালক খাড়া নিচের দিকে একই বেগে বৃষ্টি পড়তে দেখলে বৃষ্টি পড়ার প্রকৃত মান ও দিক বিশ্লেষণ কর।

OB বরাবর করিমের বেগ $=8 m \ s^{-1}$

OA বরাবর রহিমের বেগ $=7.5 m \ s^{-1}$

ক. ডাইভারজেন্স কী?

খ. সকল সমরেখ ভেক্টর সমান ভেক্টর নয়-ব্যাখ্যা কর।

গ. করিম কত বেগে অপর পাড়ে পৌঁছাল? নির্ণয় কর।

ঘ. রহিম করিমের মধ্যে কে আগে অপর পাড়ে পৌছাবে গাণিতিক বিশ্লেষণসহ মতামত দাও।

ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $P (1,2, - 1), Q (- 2, 1, 1)$ এবং $R (3, 1, -2),$ যেখানে $\vec{P}, \vec{Q}$ এবং $\vec{R}$ প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে বিন্দু তিনটির অবস্থান ভেক্টর নির্দেশ করে।

ক. সীমাবদ্ধ ভেক্টর কী?

খ. স্ক্লেরোমিটারের লঘিষ্ঠ ধ্রুবক 0.01 mm বলতে কি বুঝ?

গ. $\vec{P}$ এর উপর $\vec{Q}$ ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপের মান নির্ণয় কর।

ঘ. P,Q এবং R বিন্দুত্রয়ের ক্রম সংযোজন দ্বারা উৎপন্ন ভেক্টরগুলো দ্বারা গঠিত ক্ষেত্র একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে কি-না তা গাণিতিক বিশ্লেষণের মধ্যেমে ব্যাখ্যা কর।

তিনটি ভেক্টর রাশি যথাক্রমে $\overrightarrow{A}=4 \widehat{i}+3 \widehat{j}+5 \hat{k}, \vec{B}=2 \hat{i}+\hat{j}+2 \widehat{k}$ এবং $\overrightarrow{C}=x^{2} y \hat{i}+y^{2} z \hat{j}+z^{2} x \widehat{k}$

ক. আয়ত একক ভেক্টর কাকে বলে?

খ. ডানহাতি স্ক্রু নিয়মের সাহায্যে বোতলের মুখ খোলা বা বন্ধ করা যায়- ব্যাখ্যা কর।

গ. উদ্দীপকের $\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ ভেক্টরদ্বয়ের লম্ব দিকে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

ঘ. উদ্দীপকের $\overrightarrow{C}$ ভেক্টরের কার্লের ডাইভারজেন্স শূন্য হবে কি? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

চিত্রটি লক্ষ কর :

ক. টর্ক কাকে বলে?

খ. পরিমাপের এককের আন্তর্জাতিক পদ্ধতির প্রয়োজন হয়েছিল কেন?

গ. উদ্দীপকের আলোকে 𝝷 এর মান নির্ণয় কর।

ঘ. ∆OAB ও ∆OBC এর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি সামান্তরিক OABC এর ক্ষেত্রফলের সমান কি না? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

অনিক $\vec{A}=2 \hat{i}+\hat{j}-\widehat{k},$ এবং $\vec{B}=\widehat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ দুটি ভেক্টর নিয়ে তাদের ৬টি ও ক্রস গুণন নির্ণয় করছিল। সে দেখল যে, ভেক্টরছয়ের মধ্যস্থ কোণের মান একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ পরিবর্তন করলে তাদের ডট ও ক্রস গুণনের মান সমান হয়।

ক. আপেক্ষিক বেগ কাকে বলে?

খ. বালির উপর দিয়ে হাঁটা কষ্টসাধ্য ব্যাখ্যা কর।

গ. $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ ভেক্টরদ্বয় কোনো সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু ধরে উত্ত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

ঘ. অনিকের পর্যবেক্ষণের গাণিতিক বিশ্লেষণসহ মতামত দাও।

চিত্র-১ অনুসারে O বিন্দুতে 2 kg ভরের কোনো স্থির বস্তুর উপর 4s ধরে তিনটি বল ক্রিয়া করে। পরবর্তীতে একই বস্তুর উপর কেবলমাত্র 5 N ও 6 N বল 4 s ধরে ক্রিয়া করে।

ক. কার্ল কী?

খ. রাস্তার বাঁকযুক্ত, অংশে ভিতরের প্রান্ত অপেক্ষা বাইরের প্রাপ্ত উঁচু রাখা হয় কেন? ব্যাখ্যা কর।

গ. প্রথম 4s সময়ে বস্তুটির উপর ক্রিয়াশীল লন্ধি বলের মান নির্ণয় কর।

ঘ. উভয় ক্ষেত্রে দখি বলের দিক একটু হবে কি? গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও।

চিত্রটি লক্ষ কর :

ক. টর্ক কাকে বলে?

খ. পরিমাপের এককের আন্তর্জাতিক পদ্ধতির প্রয়োজন হয়েছিল কেন?

গ. উদ্দীপকের আলোকে 𝝷 এর মান নির্ণয় কর।

ঘ. ∆OAB ও ∆OBC এর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি সামান্তরিক OABC এর ক্ষেত্রফলের সমান কি না? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।