Questions in this chapter

শান্ত বাতাসে 6 $\mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে বৃষ্টি পড়ছে। এ সময়ে সাইকেলে চড়ে আবিদ 8 $\mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে বাড়ি ফিরছে। হঠাৎ আবিদের চলার বিপরীত দিকে 2 $\mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে বাতাস প্রবাহিত হতে লাগলো । উভয় ক্ষেত্রে বৃষ্টি থেকে বাঁচতে আবিদ ছাতা ব্যবহার করলো।

ক. মুক্তিবেগ কী?

খ. বল ও সরণ শূন্য না হলেও কাজ শূন্য হতে পারে কি? ব্যাখ্যা করো।

গ. স্থির বাতাসে বৃষ্টির লব্ধি বেগ নির্ণয় করো।

ঘ. বাতাস প্রবাহিত হওয়ার আগে ও পরে একইভাবে ছাতা ধরলে আবিদ বৃষ্টি থেকে রক্ষা পাবে কি-না- গাণিতিকভাবে যাচাই করো৷

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় তিনটি বিন্দু O (0, 0, 0), P (2, 4, 2) এবং Q (2, $-$ 4, $-$ 4)।

ক. সমান ভেক্টর কী?

খ. ভেক্টর অপারেটর স্কেলার রাশিকে ভেক্টর রাশিতে রূপান্তর করে$-$ ব্যাখ্যা করো।

গ. $\overrightarrow{PQ}$ এর মান নির্ণয় করো ।

ঘ. P ও Q এর অবস্থান ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে কি-না যাচাই করো।

ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে P (1, 2, 1) ও Q (2, 1, 1)। বিন্দু দুটির জন্য সৃষ্ট অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\overrightarrow{OP}$ ও $\overrightarrow{OQ}$। অবস্থান ভেক্টরদ্বয়কে সন্নিহিত বাহু ধরে সামান্তরিক অংকন করলে R বিন্দুর স্থানাঙ্ক R (1, 1, 2) হয়।

ক. ভেক্টর অপারেটর কী?

খ. বৈদ্যুতিক পাখা ঘুরলে গায়ে বাতাস লাগে কেন? ভেক্টরের সাহায্যে ব্যাখ্যা করো।

গ. $\alpha$ কোণের মান নির্ণয় করো।

ঘ. উদ্দীপকের $\Delta$POR সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে কি-না$-$ গাণিতিক ব্যাখ্যা করো।

\theta\theta\theta

অরুণ মাঝি $8 \mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে নৌকা চালিয়ে নদীর প্রস্থ বরাবর পার হয়। বরুণ মাঝি একই বেগে নদীর প্রস্থ বরাবর নৌকা চালায় । নদীর প্রস্থ 2 km ।

ক. ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্রটি লিখো।

খ. ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখার সুবিধা কী?

গ. উদ্দীপকে অরুণ মাঝিকে কোন দিকে নৌকা চালাতে হয়েছিল?

ঘ. উদ্দীপকের কোন মাঝি কম সময়ে নদী পার হবে? গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা করো।

তিনটি ভেক্টর রাশি যথাক্রমে $\vec{A}=2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$, $\vec{B}=6 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{c}}=\left(6 x y+z^{3}\right) \hat{i}-\left(3 x^{2}-z\right) \hat{j}+\left(3 x z^{2}\right. -y) \hat{k} \text {. }$

ক. রাস্তার ব্যাংকিং কী ?

খ. তিনটি ভেক্টরের লব্ধি কখন শূন্য হয়?

গ. $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ ভেক্টরদ্বয়ের লম্বদিকে একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

ঘ. উদ্দীপকে $\vec{C}$ ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীল কি না যাচাই করো।

চিত্রের P ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\vec{P}$ ও $\vec{Q}.$

ক. সদৃশ ভেক্টর কাকে বলে?

খ. দুটি অসমান ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হতে পারে না— ব্যাখ্যা করো।

গ. $\triangle \mathrm{OPQ}$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

ঘ. $\overrightarrow{\mathrm{P}} + \overrightarrow{\mathrm{Q}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{P}} - \overrightarrow{\mathrm{Q}}$ ভেক্টরদ্বয় +Y অক্ষের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে কি-না? গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও।

2.2 km প্রস্থের একটি নদীতে স্রোতের বেগ 3$\mathrm{kmh}^{-1}$। সাঁতার প্রতিযোগিতায় নদী পাড়ি দেওয়ার লক্ষ্যে প্রথম সাঁতারু 5 $\mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে চিত্র-১ অনুসারে এবং দ্বিতীয় সাঁতারু একই, বেগে চিত্র-২ অনুসারে সাঁতার আরম্ভ করলো।

ক. একক ভেক্টর কাকে বলে?

খ. নৌকার গুণ টানার ক্ষেত্রে লম্বা রশি দিয়ে গুণ টানা হয় কেন? ব্যাখ্যা করো।

গ. প্রথম সাঁতারুর লব্ধি বেগ নির্ণয় করো।

ঘ. উক্ত সাঁতার প্রতিযোগিতার ফলাফল গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

চিত্রে স্রোতের নদীতে একজন লোক এক পাড় হতে অপর পাড়ে যাওয়ার জন্য 4 $kmh^{-1}$ বেগে AC বরাবর নৌকা চালানো শুরু করে সে অপর পাড়ে D বিন্দুতে পৌঁছে। BD = 0.5 km, নদীর প্রস্থ = AB.

ক. স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ কাকে বলে?

খ. দুইয়ের অধিক ভেক্টর রাশির যোগের নিয়ম ব্যাখ্যা করো।

গ. নদীর প্রস্থ AB নির্ণয় করো।

ঘ. AC বরাবর নৌকা চালানো শুরু করলে অপর পাড়ে পৌঁছতে যে সময় লাগে একই বেগে AB বরাবর নৌকা চালানো শুরু করলে অপর পাড়ে পৌঁছতে তার চেয়ে, কম নাকি বেশি সময় লাগবে? গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক উত্তরের স্বপক্ষে মতামত দাও।

ক. ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স কাকে বলে?

খ. অবস্থান ভেক্টর একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর— ব্যাখ্যা করো।

গ. বল দুটির লব্ধি X-অক্ষের সাথে যে কোণে ক্রিয়াশীল তা নির্ণয় করো।

ঘ. বল দুটির লব্ধির অনুভূমিক উপাংশ ও উলম্ব উপাংশের মধ্যে কোনটি বেশি? তোমার মতামত গাণিতিক যুক্তিসহ দাও।

একদিন একটি অঞ্চলের তাপমাত্রা ও বাতাসের বেগ পাওয়া গেল যথাক্রমে, $Q=2 x y^{2} z^{3}-4 x y ~ও~ \vec{V}=\left(y^{2} \cos x+z^{3}\right) \hat{i}+(2 y(\sin x-4) \hat{j}+\left(3 x z^{2}+2\right) \hat{k}$

ক. ডট গুণন কী?

খ. ঘূর্ণনরত পৃথিবী সূর্য হতে দূরে সরে গেলে এর বেগ কমে যায় কেন? ব্যাখ্যা করো।

গ. (1, −1, 2) বিন্দুতে ঐ অঞ্চলের তাপমাত্রার গ্রেডিয়েন্ট নির্ণয় করো।

ঘ. ঐদিন ঐ অঞ্চলের বাতাসে কোনো ঘূর্ণন ছিলো কিনা তা গানিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে মত দাও।

500 m প্রস্থের একটি নদীতে 6 $\mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে স্রোত প্রবাহিত হচ্ছে। এই নদীটি মাহীর ও নিধি প্রতিযোগিতার উদ্দেশ্যে সাঁতার কেটে পার হওয়ার সিদ্ধান্ত নিলো। মাহীর 10 $\mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে স্রোতের সাথে $\alpha$ কোণে এবং নিধি 9 $\mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে স্রোতের সাথে লম্বভাবে সাঁতার কাটতে শুরু করলো।

ক. সরণ ভেক্টর কী?

খ. নৌকার গুণ টানার সময় দড়ি যত লম্বা হয় নৌকা তত দ্রুত চলে কেন? ব্যাখ্যা করো।

গ. $\alpha$-কোণের মান কত হলে মাহীর সোজাসুজি নদীর অপর পাড়ে পৌঁছাবে?

ঘ. উদ্দীপক অনুসারে কে জিতবে? গাণিতিক বিশ্লেষণসহ মতামত দাও ৷

$p(x, y, z)=2 x y^{4}-x^{2} z$ একটি স্কেলার রাশি এবং $\vec{A}=(2 x+y) \hat{i} +\left(3 y+z^{2}\right) \hat{j}+(-5 z+x) \hat{k}$ একটি ভেক্টর রাশি এবং $\vec{B}=(6 x y+ \left.z^{3}\right) \hat{i}+\left(3 x^{2}-z\right) \hat{j}+\left(3 x z^{2}-y\right) \hat{k}$ অপর একটি ভেক্টর রাশি।

ক. ভারকেন্দ্র কী?

খ. মহাকর্ষীয় বিভব 12 J/kg বলতে কী বুঝ?

গ. (2,− 1, −2) বিন্দুতে p এর গ্রেডিয়েন্ট নির্ণয় করো।

ঘ. উদ্দীপকে বর্ণিত $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ ও $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যে কোনটি সলিনয়ডাল এবং কোনটি অঘূর্ণনশীল তা গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে যাচাই করো।

কোনো একদিন 10 $\mathrm{ms}^{-1}$ বেগে খাড়াভাবে বৃষ্টি পড়ছিল। এ সময় একজন ব্যক্তি 20 ms-1 বেগে গাড়ি চালিয়ে যাচ্ছিলেন।

ক. টর্ক কাকে বলে?

খ. অভিকর্ষ বল একটি সংরক্ষণশীল বল।$-$ ব্যাখ্যা করো।

গ. গাড়ি চালক বৃষ্টির বেগ কত পরিলক্ষিত করবেন?

ঘ. যদি গাড়ির গতির বিপরীত দিকে 25 $\mathrm{ms}^{-1}$ বেগে বায়ুপ্রবাহ চলে তবে ঐ ব্যক্তি দুই ক্ষেত্রে বৃষ্টি বেঁকে পড়ার পরিমাপ একই পরিলক্ষিত করবেন কি? গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে মতামত উপস্থাপন করো।

চিত্রটি লক্ষ করো এবং নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও :

ক. একক ভেক্টর কাকে বলে?

খ. দুটি অসমান ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হতে পারে না কেন? ব্যাখ্যা করো।

গ. উদ্দীপকের $\overrightarrow{O A}$ ভেক্টরটি Y অক্ষের সাথে কত কোণ উৎপন্ন করবে?

ঘ. উদ্দীপকের $\overrightarrow{O A}$ এবং $\overrightarrow{O B}$ ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব কিনা— গাণিতিকভাবে যাচাই করো।

চিত্রে তিনটি সমতলীয় ভেক্টর O বিন্দুতে ক্রিয়াশীল রয়েছে।

ক. স্বাধীন ভেক্টর কী?

খ. নাল ভেক্টরের দিক ব্যাখ্যা করো।

গ. $\overrightarrow{F_{1}}$ ও $\overrightarrow{F_{2}}$ ভেক্টর দুটি একটি সামান্তরিকের দু'টি বাহু নির্দেশ করলে সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

ঘ. $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}}$ ও $\overrightarrow{F_{3}}$ ভেক্টর তিনটির মিলিত ফল কোন দিকে ক্রিয়া করবে? গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক মন্তব্য করো।

দেওয়া আছে একটি ভেক্টর ক্ষেত্র$-$

$\vec{A}=\left(6 x y+z^{3}\right) \hat{i}+\left(3 x^{2}-z\right) \hat{j}+\left(3 x z^{2}-y\right) \hat{k}$

ক. কার্ল কী?

খ. বৈদ্যুতিক পাখার বাতাস কীভাবে নিচে নামে? ব্যাখ্যা করো।

গ. (2, 1, – 1) বিন্দুতে $\vec{A}$ এর গ্রেডিয়েন্ট নির্ণয় করো।

ঘ. গাণিতিক বিশ্লেষণের সাহায্যে দেখাও যে, $\vec{A}$ ভেক্টরটি সলিনয়ডাল নাকি সংরক্ষণশীল হবে?

কোনো একদিন সেলিম ও মুরাদ কোনো স্থানে দণ্ডায়মান ছিল। তখন বাতাসের বেগ 5 $\mathrm{ms}^{-1}$ যা দক্ষিণ থেকে উত্তরে প্রবাহিত হচ্ছিল। এমন সময় 3 $\mathrm{ms}^{-1}$ বেগে বৃষ্টি পড়তে শুরু করলো । বৃষ্টি শুরু হবার পর সেলিম দক্ষিণ থেকে উত্তরে এবং মুরাদ উত্তর থেকে দক্ষিণে 7 $\mathrm{ms}^{-1}$ বেগে চলতে শুরু করলো।

ক. জড়তার ভ্রামক কাকে বলে?

খ. ব্যালে ড্যান্সের ক্ষেত্রে কৌণিক ভরবেগের প্রভাব ব্যাখ্যা করো।

গ. দণ্ডায়মান অবস্থায় বৃষ্টি তাদের গায়ে কত বেগে আঘাত করবে?

ঘ. চলমান অবস্থায় বৃষ্টি থেকে রক্ষা পেতে দুই বন্ধুকে একই কোণে ছাতা ধরতে হবে কি-না- গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা করো।

$10 \mathrm{~km}$ প্রস্থবিশিষ্ট একটি নদীতে স্রোতের বেগ $5 \mathrm{~kmh}^{-1}$। প্রথম মাঝি $10 \mathrm{~kmh}^{-1}$ বেগে স্রোতের সাথে $\alpha$ কোণে এবং ২য় মাঝি $10 \mathrm{~kmh}^{-1}$ বেগে স্রোতের সাথে লম্বভাবে নদী পার হতে যাত্রা করল।

ক. বলের ঘাত কী?

খ. ঘর্ষণ বল কি অসংরক্ষণশীল বল? ব্যাখ্য করো।

গ. $\alpha$ কোণের মান কত হলে ১ম মাঝি সোজাসুজি নদীর অপর পাড়ে পৌঁছাবে ?

ঘ. কোন মাঝি নদীর অপর পাড়ে আগে পৌঁছাতে পারবে? গাণিতিক বিশ্লেষণসহ মতামত দাও।

$\rm{\overrightarrow{A}=2 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}, \overrightarrow{B}=3 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}}$ এবং $\rm{\overrightarrow{C}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}}$

ক. শিশিরাঙ্ক কী?

খ. সরল ছন্দিত গতিসম্পন্ন কোনো কণার বেগ শূন্য হলে উহার ত্বরণ কি শূন্য হবে? ব্যাখ্যা করো।

গ. $\overrightarrow{\rm{B}}\text{ ও } \overrightarrow{\rm{A}}$ ভেক্টর দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

ঘ. উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি সমতলীয় কি-না? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

ক. নাল ভেক্টর কাকে বলে?

খ. পাখি ওড়ার ক্ষেত্রে ভেক্টর যোজন নীতি ব্যাখ্যা করো।

গ. উদ্দীপকের আলোকে $\rm{\angle A O B}$ নির্ণয় করো।

ঘ. $\rm{\triangle A O B}$ সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করবে কী-না — গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও।