Questions in this chapter

$1150$ সালে ভারতীয় গণিতবিদ ভাস্কর তার লীলাবতী গ্রন্থে বিভিন্ন সংখ্যক বস্তুকে সাজানোর নিয়ম বর্ণনা করেন।

ক. সম্পূরক সমাবেশ কাকে বলে?

খ. $n$ সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে $r$ সংখ্যক বস্তু কত প্রকারে সাজানো যায় নির্ণয় কর।

গ. $\text { DEGREE }$ শব্দের অক্ষরগুলি হতে প্রতিবারে $4$ টি অক্ষর নিয়ে কতটি শব্দ

তৈরি করা যাবে?

জনাব করিম একজন অধ্যাপক । তিনি $6$টি পতাকা কিনলেন যার মধ্যে $1$টি সাদা, $2$টি সবুজ ও $3$টি লাল।

ক. $n$ সংখ্যক জিনিস হতে $r$ সংখ্যক জিনিস নিয়ে সমাবেশ সংখ্যা নির্ণয় কর

$\left(\mathrm{n}, \mathrm{r} \in \mathbb{Z}_{+}, \mathrm{n} \geq \mathrm{r}\right)$

খ. উদ্দীপক অনুযায়ী $5$টি পতাকা নিয়ে কতগুলো ভিন্ন ভিন্ন সংকেত তৈরি করা যাবে?

গ. $\text { PROFESSOR }$ শব্দটি হতে প্রতিবারে $4$টি বর্ণ কতভাবে বাছাই করা যাবে ?

$\text { MATHEMATICS }$ এর তুখোড় ছাত্ররাই কেবল $\text { ENGINEERING }$ এ পড়তে পারে ।

ক. প্রমাণ কর : ${ }^{n} C_{r}+{ }^{n} C_{r-1}={ }^{n+1} C_{r}$

খ. উদ্দীপকের প্রথম ইংরেজী শব্দের সবকয়টি বর্ণ নিয়ে বিন্যাস দ্বিতীয় ইংরেজী শব্দটির

সবকয়টি বর্ণ নিয়ে বিন্যাসের কতগুণ তা নির্ণয় কর ৷

গ. উদ্দীপকের দ্বিতীয় ইংরেজী শব্দ থেকে প্রতিবারে ছয়টি বর্ণ

নিয়ে কতটি পাসওয়ার্ড গঠন করা যায়?

$\text { COLLEGE }$ এর বার্ষিক ক্রীড়া প্রতিযোগীতা পরিচালনার জন্য পুরস্কার ক্রয় কমিটিতে $5$ জন, অতিথি আপ্যায়নে $4$ জন এবং শৃঙ্খলা রক্ষার দায়িত্বে $3$ জন লোক নিয়োজিত ।

ক. $7 \times{ }^{n} P_{3}={ }^{n+1} P_{4}$ হলে $n$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. উদ্দীপকের বার্ষিক ক্রীড়া প্রতিযোগিতা পরিচালনার জন্য প্রত্যেক কমিটি থেকে

অন্ততঃপক্ষে $1$ জন অন্তর্ভুক্ত রেখে $6$ জন সদস্য বিশিষ্ট কতগুলো কমিটি তৈরি করা যাবে?

গ. উদ্দীপকে বর্ণিত $\text { COLLEGE }$ শব্দটির অক্ষরগুলো থেকে প্রতিবার $4$টি অক্ষর নির্ণয়ে কতগুলো শব্দ গঠন করা যাবে?

$\text { DIFFERENTIAL CALCULUS }$ নিয়ে মৌলিক আলোচনার পর ফাংশন নিয়ে আলোচনা করতে গিয়ে শিক্ষক f(x) ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করে দেখান $f(x)=\frac{x}{2 x-1}$ এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করে দেখান।

ক. $1, 2, 3, 4$ অঙ্কগুলো দ্বারা দুইটি ভিন্ন অঙ্কের যতগুলো জোড় সংখ্যা

গঠন করা যায়-নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, উদ্দীপক ফাংশনটির $f^{-1}$ বিদ্যমান ।

গ. উদ্দীপকের ২য় ইংরেজি শব্দ হতে $4$টি করে বর্ণ নিয়ে যত প্রকারে সাজানো যায় নির্ণয় কর।

(i) $\text { PROCESSOR }$ একটি ইংরেজি শব্দ ।

(ii) একটি প্রতিষ্ঠানে $7$ জন পুরুষ এবং $6$ জন মহিলা আছেন ।

ক. $4 \times{ }^{n} P_{3}=5 \times{ }^{n-1} P_{3}$ হলে $n$ এর মান কত?

খ. (i) এর শব্দটির বর্ণগুলো হতে প্রতিবারে 4টি করে বর্ণ নিয়ে কত উপায়ে সাজানো যাবে তাহা

নির্ণয় কর ।

গ. (ii) এর আলোকে, কতভাবে পুরুষ ও মহিলা নিয়ে $5$ জনের একটি কমিটি গঠন করা যাবে

যাতে কমিটিতে কমপক্ষে $3$ জন পুরুষ থাকেন?

$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ অঙ্কগুলো দ্বারা সংখ্যার খেলা খেলছিল সাকি ও তার বন্ধুরা।

ক. ${ }^{\mathrm{n}} \mathrm{P}_{\mathrm{r}}=240$ এবং ${ }^{n} C_{r}=120$ হলে, $r$ এর মান কত?

খ. প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবলমাত্র একবার ব্যবহার করে

দশ অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো অর্থপূর্ণ জোড় সংখ্যা গঠন করা যায়?

গ. অঙ্কগুলোর প্রত্যেককে একবারের বেশি না নিয়ে $1000$ অপেক্ষা ছোট

এবং $5$ দ্বারা বিভাজ্য কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায়?

$\text { PROFESSOR }$ শব্দটিতে নয়টি বর্ণ আছে ।

ক. সম্পূরক সমাবেশ ব্যাখ্যা কর ।

খ. উদ্দীপকে উল্লেখিত শব্দটির স্বরবর্ণগুলো একত্রে না রেখে কতভাবে সাজানো যায় বের কর ।

গ. উদ্দীপকের শব্দটি হতে প্রতিবার $4$ টি করে অক্ষর নিয়ে কতভাবে সাজানো যায় তা নির্ণয় কর।

$\text { AMERICA }$ ও $\text { INDIA }$ এর যথাক্রমে $6$ জন ও $8$ জন প্রতিনিধি একটি বৈঠকে অংশগ্রহণ করেছে ।

ক. $\text { INDIA }$ শব্দটি থেকে প্রতিবারে $3$টি বর্ণ নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যেতে পারে?

খ. কোনো দুইজন $\text { AMERICAN }$ কে পাশাপাশি না বসিয়ে প্রতিনিধিদেরকে সারিতে ও

গোলটেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

গ. $10$ জনের একটি কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে যাতে $\text { AMERICA }$ এর প্রতিনিধিদের

সংখ্যাগরিষ্ঠতা থাকে?

$7$ জন ব্যাটসম্যান, $6$ জন বোলার ও $2$ জন উইকেট রক্ষকের একটি ক্রিকেট দল $\text { 'MUJIBNAGAR' }$ আসে।

ক. যদি $f(x)=2 x-5$ এবং $g(x)=x^{2}+6$ হয়, তবে $(\text {gof) }(2)$ নির্ণয় কর ৷

খ. উপরে বর্ণিত শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায়?

গ. কমপক্ষে $5$ জন বোলার ও $1$ জন উইকেটরক্ষক নিয়ে কত প্রকারে $11$ জনের একটি ক্রিকেট

দল গঠন করা যেতে পারে?

দৃশ্যকল্প-১ : $\overrightarrow{\mathrm{Q}}=\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$ এবং $\vec{R}=2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$ দুইটি ভেক্টর ।

দৃশ্যকল্প-২ : $\text { 'NEWZEALAND' }$ একটি ইংরেজি শব্দ ।

ক. $\text { THESIS }$ শব্দটি থেকে প্রতিবার 4টি অক্ষর নিয়ে সমাবেশ সংখ্যা নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে $(\overrightarrow{\mathrm{Q}}+\overrightarrow{\mathrm{R}})$ বরাবর $\vec{R}$ এর উপাংশ নির্ণয় কর ৷

গ. দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত ইংরেজি শব্দটির অক্ষরগুলির সবগুলি একত্রে নিয়ে কত প্রকারে

সাজানো যায় তা বের কর এবং স্বরবর্ণগুলিকে পৃথক রেখে অক্ষরগুলিকে কত প্রকারে

সাজানো যায়, তাও বের কর ।

$4 \times{ }^{n} C_{1}={ }^{n} C_{2}$ হলে । এর মান নির্ণয় কর।

'HIPPOPOTAMUS' শব্দটির বর্ণগুলো থেকে 1টি স্বরবর্ণ ও 2টি ব্যঞ্জনবর্ণ নিয়ে কতগুলো শব্দ গঠন করা সম্ভব যেন স্বরবর্ণটি সবসময় মাঝখানে থাকে।

$1,2,3,4,5,6,7,8$ চিহ্নিত আটটি কাউন্টার থেকে কমপক্ষে 1 টি বিজোড় ও 1 টি জোড় কাউন্টার নিয়ে একবারে 4 টি কাউন্টার নিলে সমাবেশ সংখ্যা কত হবে?

সাতটি বর্ণ $A, B, C, D, E, F$ ও $G$ কে এমনভাবে সাজাতে হবে যেন A এবং B বর্ণদ্বয় কখনই পাশাপাশি না থাকে। কত প্রকারে এই শর্ত মেনে বর্ণগুলোকে সাজানো যেতে পারে?

$EXAMINATION$ শব্দটির ব্যঞ্জনবর্ণগুলিকে একত্রে না রেখে কত রকমে সাজানো যায়?

$6$ ডান গণিত ও $4$ জন পদার্থ বিজ্ঞানের ছাত্র থেকে $6$ জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে। কমিটিটি কত প্রকারে গঠন করা যেতে পারে যেন গণিতের ছাত্রদের সংখ্যাগরিষ্টতা থাকে?

6 জন ও ৪ জন খেলোয়াড়ের দুটি দল থেকে 11 জন খোলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে যাতে 6 জনের দল থেকে অন্তত 4 জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকে। ক্রিকেট টিমটি মোট কত প্রকারে গঠন করা যেতে পারে?

দু'টি ভাগের প্রত্যেক ভাগে 5 টি করে মোট 10টি প্রশ্ন হতে একজন পরীক্ষার্থীকে 6 টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। কোন ভাগ থেকে 4 টির বেশী প্রশ্নের উত্তর করা নিষিদ্ধ। ঐ পরীক্ষার্থী কত উপায়ে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারবে?

দু'টি ভাগের প্রত্যেক ভাগে 5টি করে মোট 10টি প্রশ্ন হতে একজন পরীক্ষার্থীকে ৩টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। কোন ভাগ থেকে 4টির বেশী প্রশ্নের উত্তর করা নিষিদ্ধ। ঐ পরীক্ষার্থী কত উপায়ে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারবে?