Questions in this chapter

$f(x)=\sin x$ একটি পর্যায় ভিত্তিক ফাংশন ।

ক. $f(a x)+b$ এর পর্যায় নির্ণয় কর।

খ. যদি $f(x)+\frac{1}{f(x)}=2$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $\{\mathrm{f}(\mathrm{x})\}^{\mathrm{n}}+\frac{1}{\{\mathrm{f}(\mathrm{x})\}^{n}}=2$

গ. $0 \leq x \leq 2 \pi$ ব্যবধিতে $f(2 x)-f(x)=0$ সমীকরণের সমাধান কর।

পেন্ডুলাম বিশিষ্ট একটি দেয়াল ঘড়ির নিচে ঝুলানো পেন্ডুলামটির সর্বনিম্ন বিন্দুটি $y=2 \sin x$ সম্পর্ক মেনে দুলতে থাকে এবং প্রতিদিন সকাল $7$টা $15$ মিনিটে এতে এলার্ম বেজে ওঠে।

ক. $40°$ কোণকে রেডিয়ানে প্রকাশ কর ।

খ. এলার্ম বাজার মুহুর্তে ঘড়ির ঘণ্টার কাটা ও মিনিটের কাটার মধ্যবর্তী কোণ ষাটমূলক পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।

গ. $0 \leq x \leq \pi$ ব্যবধিতে ঘড়ির পেন্ডুলামের গতির সম্পর্কটি লেখচিত্রে অঙ্কন কর ।

$f(\theta)=\tan \theta+\sec \theta$ এবং $g(\alpha)=\cos \alpha+\sec \alpha$ দুইটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ।

ক. $50^{\circ} 37^{\prime} 30^{\prime \prime}$ কে রেডিয়ানে প্রকাশ কর ।

খ. $f(\theta)=x$ হলে $\sin \theta$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $g(\alpha)=\frac{5}{2}$ হলে দেখাও যে, $\cos ^{n} \alpha=2^{-n}$

$\tan \theta=\frac{a}{b}$ হলে, $\frac{a \sin \theta+b \cos \theta}{a \sin \theta-b \cos \theta}$ এর মান নির্ণয় কর।

ক. যখন $0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$

খ. যখন $180^{\circ}<\theta<270^{\circ}$

গ. যখন $a = b$ এবং $\theta=\frac{\pi}{3}$

$\begin{array}{l}\text{(i) } 9 \sin ^{2} \theta+3 \sin \theta=20 \text{; (ii) } \sec \theta=\frac{a^{2}+b^{2}}{2 a b} \text{,}\\\text{(iii) } \cos ^{2} \theta=\frac{(a+b)^{2}}{4 a b}\end{array}$

ক. (i) কি সম্ভব?

খ. যদি $a \neq b$ হয়, তবে (ii) কি সম্ভব? যদি হ্যাঁ-সূচক হয়, তাহলে কি শর্তে?

গ. (iii) কি সম্ভব? যদি সম্ভব হয়, তবে কখন?

ক. বৃত্তকলা বলতে কী বোঝায়?

খ. চিত্র ১ থেকে $OAEB$ এর পরিসীমা নির্ণয় কর।

গ. প্রতি বর্গমিটারে $400$ টাকা খরচ করে চিত্র ২ এর ছায়াঘেরা অংশে

টাইলস করতে কত টাকা লাগবে তা নির্ণয় কর ।

$\begin{array}{l}\text{(i) } \sin \theta+\operatorname{cosec} \theta=\frac{5}{2} \text{;}\\\text{(ii) } y=\sin 2 x \text{.}\end{array}$

ক. $\sec \theta=\frac{5}{2}$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\cot ^{2} \theta+\operatorname{cosec}^{2} \theta=\frac{29}{21}$

খ. (i) এর আলোকে প্রমাণ কর যে, $\operatorname{cosec}^{n} \theta+\sin ^{n} \theta=2^{n}+2^{-n}$

গ. $-\pi \leq x \leq \pi$ ব্যবধিতে (ii) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।

পাশের $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি অর্ধবৃত্ত আঁকা হলো । এ চিত্র থেকে-

ক. $OD$ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

খ. ছায়াঘেরা অংশের পরিসীমা বের কর ।

গ. ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

পাশের চিত্রটি $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে একটি চাপ $PQ$ এবং স্পর্শক $PT$.

ক. প্রমাণ কর যে, এক রেডিয়ান একটি ধ্রুব কোণ ।

খ. চিত্র থেকে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

গ. যখন $\theta=40^{\circ}$ এবং $r = 10 cm$ তখন চিত্রের ছায়াঘেরা অংশের পরিসীমা নির্ণয় কর।

পাশের চিত্র থেকে 'ক' ও 'খ' এর উত্তর দাও :

ক. প্রমাণ কর যে, $5 \cos ^{2} \theta=3.2$

খ. প্রমাণ কর যে, $(\sin \theta+\sec \theta)^{2}+(\cos \theta+\operatorname{cosec} \theta)^{2}=(1+\sec \theta \operatorname{cosec} \theta)^{2}$

গ. $\tan \theta+\sin \theta=m$ এবং $\tan \theta-\sin \theta=n$ হলে প্রমাণ কর যে $m^{2}-n^{2}=4 \sqrt{m n}$

পাশের চিত্রে $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট অর্ধবৃত্তে $AB$ এবং $BC$ দুইটি চাপ।

ক. $\theta=2$ রেডিয়ান ধরে $OAB$ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

খ. যদি $AB$ বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য $BC$ চাপের দৈর্ঘ্যের এক তৃতীয়াংশ হয়, তবে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\theta=40^{\circ}$ এর জন্য ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

পাশের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে একটি অন্তর্লিখিত ত্রিভুজ দেখানো হয়েছে।

ক. ত্রিভুজক্ষেত্র বাদে বৃত্তের ফাঁকা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

খ. $\theta=30^{\circ}$ এবং $a = 1cm.$ হলে, $a$ দ্বারা খণ্ডিত চাপের দৈর্ঘ্য ও খণ্ডিত অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ. ত্রিভুজের বাহুগুলি $b+c=a \sqrt{3}$ দ্বারা সম্পর্কিত হলে, $\tan \theta$ এর মান নির্ণয় কর।

চিত্রে $A$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের $ABC$ একটি বৃত্তকলা এবং $AC$ এর উপর $BD$ লম্ব। দৃশ্যকল্পের আলোকে-

ক. $ABC$ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

খ. ছায়াঘেরা অংশ, $R$ এর পরিসীমা নির্ণয় কর। (তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত) )

গ. ছায়াঘেরা অংশ, $R$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত)

দৃশ্যকল্প:

চিত্রে $A$, কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের $BC$ একটি বৃত্তচাপ; $DB$ এবং $DC$ সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান এবং $BC$ এর মধ্যবিন্দু $E$ দৃশ্যকল্পের আলোকে —

ক. $BAC$ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

খ. $BFCDB$ এর পরিসীমা নির্ণয় কর।

গ. সম্পূর্ণ চিত্রটির ক্ষেত্রফল (তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত) নির্ণয় কর।

চিত্রে $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $OAB$ একটি বৃত্তকলা এবং $OA, AC$ উপর লম্ব ।

ক. $AB$ চাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

খ. $OAB$ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত) নির্ণয় কর।

গ. ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত)

চিত্রে $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ $5$ সে.মি.

ক. প্রমাণ কর যে, $\sin ^{6} \theta+\cos ^{6} \theta=1-3 \cos ^{2} \theta+3 \cos ^{4} \theta$

খ. ছায়াঘেরা অংশটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ৷

গ. $-\pi \leq x \leq \pi$ ব্যবধিতে $\sin ^{2} x$ এর লেখচিত্র অঙ্কন কর ।

চিত্রে $A$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $ABC$ একটি বৃত্তকলা; $AC$ রেখার উপর $D$ একটি বিন্দু নেয়া হয়েছে যেন $AD = BD$

ক. $ABC$ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

খ. ছায়াঘেরা অংশের পরিসীমা নির্ণয় কর।

গ. ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

চিত্রে $B$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $BCDE$ একটি বৃত্তকলা ।

ক. $ABE$ কোণকে রেডিয়ানে প্রকাশ কর।

খ. দৃশ্যকল্পের সম্পূর্ণ চিত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

গ. দৃশ্যকল্পের সম্পূর্ণ চিত্রটির পরিসীমা নির্ণয় কর।

চিত্রটি $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত।

ক. যদি $\sin \mathrm{A}+\sin \mathrm{B}+\sin \mathrm{C}=0$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $(\Sigma \operatorname{cosec} A)^{2}=\Sigma \operatorname{cosec}^{2} A$

খ. একটি গাড়ি প্রতি সেকেন্ডে দৃশ্যকল্পের $AB$ দূরত্ব অতিক্রম করলে গাড়িটির গতিবেগ নির্ণয় কর।

গ. যদি দৃশ্যকল্পের $OAB$ বৃত্তকলার তিনগুণ অংশ রং করা হয়, তবে বৃত্তাংশের রংবিহীন অঞ্চলটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

দৃশ্যকল্প:

চিত্রে $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $OAB$ একটি বৃত্তকলা ।

ক. $50^{\circ} 27^{\prime} 30^{\prime \prime}$ কে রেডিয়ান এককে প্রকাশ কর ।

খ. ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ. ছায়াঘেরা অংশের পরিসীমা নির্ণয় কর।