Questions in this chapter

চিত্রে একজন মাঝি A বিন্দু থেকে AB এর সাথে 30° কোণে 16 km$h^{-1}$ বেগে এবং আরেকজন মাঝি একই বিন্দু হতে একই বেগে AB এর সাথে 60° কোণে নদীতে নৌকা চালাচ্ছেন।

গ. প্রথম মাঝির লব্ধি বেগ নির্ণয় করো ।

চিত্রে একজন মাঝি A বিন্দু থেকে AB এর সাথে 30° কোণে 16 km$h^{-1}$ বেগে এবং আরেকজন মাঝি একই বিন্দু হতে একই বেগে AB এর সাথে 60° কোণে নদীতে নৌকা চালাচ্ছেন।

ঘ. কোন মাঝি নদি পার হতে কম দূরত্ব অতিক্রম করবে— গাণিতিকভাবে যাচাই করো ।

চিত্রে BC নদীর কিনারা ঘেঁষে চলা একটি রাস্তা হল AB । নদীতে স্রোতের বেগ 2 m$s^{-1}$ এবং একজন মাঝি $4 ms^{-1}$ বেগে নৌকা চালাচ্ছেন। রাস্তায় গাড়ির বেগ 15m$s^{-1}$। গাড়ি B স্টেশনে 40s যাত্রা বিরতি দেয়।

ঘ. গাড়ি যখন A অবস্থানে তখন C অবস্থান থেকে B অবস্থানের উদ্দেশ্যে যাত্রা করা নৌকার যাত্রীরা গাড়িতে উঠতে পারবে কিনা? বিশ্লেষণ করো।

চিত্রে BC নদীর কিনারা ঘেঁষে চলা একটি রাস্তা হল AB । নদীতে স্রোতের বেগ 2 m$s^{-1}$ এবং একজন মাঝি 4 m$s^{-1}$ বেগে নৌকা চালাচ্ছেন। রাস্তায় গাড়ির বেগ 15m$s^{-1}$। গাড়ি B স্টেশনে 40s যাত্রা বিরতি দেয়।

ঘ. গাড়ি যখন A অবস্থানে তখন C অবস্থান থেকে B অবস্থানের উদ্দেশ্যে যাত্রা করা নৌকার যাত্রীরা গাড়িতে উঠতে পারবে কিনা? বিশ্লেষণ করো।

একটি গাড়ির পেছনের গ্লাস ছাদের সাথে 30° কোণে হেলানো। গাড়িটি $\vec{v}=18 \hat{i}$ বেগে একটি রাস্তায় চলছিল। হঠাৎ বৃষ্টি ট $\overrightarrow{\mathrm{u}}=-12 \hat{\mathrm{j}}$ ৰেগে পড়া শুরু হলো।

গ. গাড়ির সামনের গ্লাসে বৃষ্টি কত বেগে পড়বে?

একটি গাড়ির পেছনের গ্লাস ছাদের সাথে 30° কোণে হেলানো। গাড়িটি $\vec{v}=18 \hat{i}$ বেগে একটি রাস্তায় চলছিল। হঠাৎ বৃষ্টি ট $\overrightarrow{\mathrm{u}}=-12 \hat{\mathrm{j}}$ ৰেগে পড়া শুরু হলো।

ঘ. উদ্দীপকের গাড়ির পিছনের গ্লাস বৃষ্টিতে ভিজবে কিনা- গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও।

$\vec{p}=5 \hat{i}+3 \hat{j}-m \hat{k}$ ও $\vec{Q}=\hat{i}+\hat{j}+4 \hat{k}$ এখানে $\overrightarrow{\mathrm{P}}$ এবং $\vec{Q}$ পরস্পর লম্ব। যদি $\overrightarrow{\mathrm{P}}$ এবং $\vec{Q}$ এর মান যথাক্রমে নৌকা এবং একটি নদীর স্রোতের দ্রুতি নির্দেশ করে তবে সর্বনিম্ন পথে নদী পার হতে নৌকাটির 2 মিনিট সময় লাগে ।

গ. m এর মান নির্ণয় করো ।

$\vec{p}=5 \hat{i}+3 \hat{j}-m \hat{k}$ ও $\vec{Q}=\hat{i}+\hat{j}+4 \hat{k}$ এখানে $\overrightarrow{\mathrm{P}}$ এবং $\vec{Q}$ পরস্পর লম্ব। যদি $\overrightarrow{\mathrm{P}}$ এবং $\vec{Q}$ এর মান যথাক্রমে নৌকা এবং একটি নদীর স্রোতের দ্রুতি নির্দেশ করে তবে সর্বনিম্ন পথে নদী পার হতে নৌকাটির 2 মিনিট সময় লাগে ।

ঘ. যদি নৌকার মাঝি ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে চায় তবে সে নদীর প্রস্থ অপেক্ষা বেশি দূরত্ব অতিক্রম করবে কিনা— < গাণিতিক মানের সাহায্যে ব্যাখ্যা করো ।

$\overrightarrow{\mathrm{P}}=5 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}-\mathrm{mk} ; \overrightarrow{\mathrm{Q}}=\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}}$ এখানে $\overrightarrow{\mathrm{p}}$ এবং $\vec{Q}$ পরস্পর লম্ব । যদি $\overrightarrow{\mathrm{p}}$ এবং $\vec{Q}$ এর মান যথাক্রমে নৌকা এবং একটি নদীর স্রোতের দ্রুতি নির্দেশ করে তবে সর্বনিম্ন পথে নদী পার হতে নৌকাটির 2 মিনিট সময় লাগে।

গ. 'm' এর মান হিসাব করো ।

$\overrightarrow{\mathrm{P}}=5 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}-\mathrm{mk} ; \overrightarrow{\mathrm{Q}}=\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}}$ এখানে $\overrightarrow{\mathrm{p}}$ এবং $\vec{Q}$ পরস্পর লম্ব । যদি $\overrightarrow{\mathrm{p}}$ এবং $\vec{Q}$ এর মান যথাক্রমে নৌকা এবং একটি নদীর স্রোতের দ্রুতি নির্দেশ করে তবে সর্বনিম্ন পথে নদী পার হতে নৌকাটির 2 মিনিট সময় লাগে।

ঘ. যদি নৌকার মাঝি ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে চায় তবে সে নদীর প্রস্থ অপেক্ষা বেশি দূরত্ব অতিক্রম করবে কি-না? গাণিতিক পদ্ধতির সাহায্যে ব্যাখ্যা করো।

গ. $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ ভেক্টরের সমান্তরাল একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো ।

$\overrightarrow{\mathrm{A}}=3 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{c}}=\hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}$ ভেক্টরত্রয় মিলে একটি ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্র গঠন করে।

গ. $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ বরাবর $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ এর লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় করো।

ঘ. $\Delta$OPQ সমকোণী ত্রিভুজ কিনা যাচাই করো।

$\overrightarrow{\mathrm{A}}=3 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{c}}=\hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}$ ভেক্টরত্রয় মিলে একটি ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্র গঠন করে।

ঘ.$\overrightarrow{\mathbf{A}}, \overrightarrow{\mathbf{B}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থিত হবে কি না— গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো

$\vec{A}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k} , \vec{B}=2 \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ দুটি ভেক্টর।

গ. উদ্দীপকে বর্ণিত ভেক্টরদ্বয় দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো ।

$\vec{A}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k} , \vec{B}=2 \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ দুটি ভেক্টর।

ঘ. ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব কিনা তা গাণিতিকভাবে যাচাই করো ।

শান্ত বাতাসে 6 $\mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে বৃষ্টি পড়ছে। এ সময়ে সাইকেলে চড়ে আবিদ 8 $\mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে বাড়ি ফিরছে। হঠাৎ আবিদের চলার বিপরীত দিকে 2 $\mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে বাতাস প্রবাহিত হতে লাগলো । উভয় ক্ষেত্রে বৃষ্টি থেকে বাঁচতে আবিদ ছাতা ব্যবহার করলো।

গ. স্থির বাতাসে বৃষ্টির লব্ধি বেগ নির্ণয় করো।

শান্ত বাতাসে 6 $\mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে বৃষ্টি পড়ছে। এ সময়ে সাইকেলে চড়ে আবিদ 8 $\mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে বাড়ি ফিরছে। হঠাৎ আবিদের চলার বিপরীত দিকে 2 $\mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে বাতাস প্রবাহিত হতে লাগলো । উভয় ক্ষেত্রে বৃষ্টি থেকে বাঁচতে আবিদ ছাতা ব্যবহার করলো।

ঘ. বাতাস প্রবাহিত হওয়ার আগে ও পরে একইভাবে ছাতা ধরলে আবিদ বৃষ্টি থেকে রক্ষা পাবে কি-না- গাণিতিকভাবে যাচাই করো ৷

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় তিনটি বিন্দু O (0, 0, 0), P (2, 4, 2) এবং Q (2, $-$ 4, $-$ 4)।

ঘ. P ও Q এর অবস্থান ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে কি-না যাচাই করো।

ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে P (1, 2, 1) ও Q (2, 1, 1)। বিন্দু দুটির জন্য সৃষ্ট অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\overrightarrow{OP}$ ও $\overrightarrow{OQ}$। অবস্থান ভেক্টরদ্বয়কে সন্নিহিত বাহু ধরে সামান্তরিক অংকন করলে R বিন্দুর স্থানাঙ্ক R (1, 1, 2) হয়।

গ. $\alpha$ কোণের মান নির্ণয় করো।