Questions in this chapter

চিত্রে $4 \mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে প্রবাহিত স্রোতের নদীতে সোহেল $8 \mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে $AB$ বরাবর নৌকা চালানো শুরু করে। $10$ মিনিটে নদীর প্রস্থ $AD$ বরাবর $D$ বিন্দুতে পৌঁছে। কিন্তু রোহান $AD$ বরাবর $10 \mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে নৌকা চালানো শুরু করে $AC$ বরাবর $C$ বিন্দুতে পৌছে।

ক. অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা লেখো।

খ. ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্র বিনিময় সূত্র মেনে চলে।- ব্যাখ্যা করো।

গ. সোহেলের ক্ষেত্রে নৌকার বেগ ও স্রোতের বেগের লব্ধি বেগের মান নির্ণয় করো।

ঘ. নদীর প্রস্থ $AD$ ও রোহানের দৈর্ঘ্য বরাবর অতিক্রান্ত দূরত্ব $DC$ সমান হবে কি-না? গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও।

ক. কার্ল এর সংজ্ঞা দাও।

খ. $\overrightarrow{\mathrm{r}}=5 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}$ একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর- ব্যাখ্যা করো।

গ. $A$ হতে সোজা অপর পাড়ের $B$ বিন্দুতে পৌঁছতে হলে নৌকাটিকে কোন দিকে চালনা করতে হবে?

ঘ. নদী পার হওয়ার জন্য নৌকাটি যদি $A$ বিন্দু হতে সোজাসুজি রওয়ানা করতো তাহলে নদী পার হতে পূর্বের চেয়ে সময় কম না বেশি লাগতো? গাণিতিক বিশ্লেষণ করে মতামত দাও।

$\overrightarrow{\mathbf{r}}=a x \hat{i}+y \hat{j}+2 \hat{k}$

$\overrightarrow{\mathrm{P}}=2 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}}$

$\overrightarrow{\mathrm{Q}}=4 \hat{\mathrm{i}}+4 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}$

ক. অবস্থান ভেক্টর কাকে বলে?

খ. $\hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{k}}$ একটি একক ভেক্টর- ব্যাখ্যা কর।

গ. $a$ এর মান কত হলে $\overrightarrow{\mathbf{r}}$ ভেক্টরের ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল হবে নির্ণয় করো।

ঘ. $\vec{P} \times \vec{Q}$ ভেক্টর ক্ষেত্রটি ঘূর্ণনশীল না অঘূর্ণনশীল- গাণিতিক বিশ্লেষণ করে মতামত দাও।

$\overrightarrow{\mathrm{C}}$ভেক্টরটি $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ ভেক্টরের উপর লম্ব।

$\vec{A}=-\hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}$ এবং $\vec{B}=2 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}$

ক. সীমাবদ্ধ ভেক্টর কাকে বলে?

খ. বল ও সরণ ভেক্টর রাশি হলেও কাজ স্কেলার রাশি কেন? ব্যাখ্যা করো।

গ. ভেক্টর $\overrightarrow{\mathrm{C}}$ বরাবর একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

ঘ. উদ্দীপক অনুযায়ী গাণিতিকভাবে যাচাই কর যে, $\vec{P}+\vec{Q}=\vec{R}$।

$\text { 1. km }$ প্রস্থ একটি নদীর তীর বরাবর $4 \mathrm{~ms}^{-1}$ বেগে একটি বাস গতিশীল। নদীর অপর তীর হতে এক ব্যক্তি সোজাসুজি বাসটিকে দেখতে পেয়ে বাসটি ধরার জন্য স্রোতের সাথে $70^{\circ}$ কোণে $6 \mathrm{~ms}^{-1}$ বেগে নৌকাযোগে রওনা দিলো। নদীতে স্রোতের বেগ $2 \mathrm{~ms}^{-1}$।

ক. অবস্থান ভেক্টর কাকে বলে?

খ. $|\overrightarrow{\mathrm{A}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}|=\overrightarrow{\mathrm{A}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{~B}}$ হতে পারে কি? ব্যাখ্যা করো।

গ. নৌকার লব্ধি বেগ কত ছিল?

ঘ. লোকটির পক্ষে বাসটি ধরা সম্ভব হবে কিনা- গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

$AB$ বরাবর সুজনের নৌকার $=6 \mathrm{~ms}^{-1}$

$AC$ বরাবর কুবেরের নৌকার $=5.5 \mathrm{~ms}^{-1}$

$CB$ বরাবর স্রোতের $=1.2 \mathrm{~ms}^{-1}$

নদীর প্রস্থ, $AB = 400m$

ক. অবস্থান ভেক্টর কাকে বলে?

খ. ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয় কেন? ব্যাখ্যা করো।

গ. কুবেরের নৌকা প্রকৃতপক্ষে কত মানের বেগে অপর পাড়ে পৌছাল? নির্ণয় করো।

ঘ. সুজন ও কুবেরের মধ্যে কে আগে অপর পাড়ে পৌছাবে? গাণিতিক বিশ্লেষণসহ মতামত দাও।

তিনটি বিন্দু P, Q ও R এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $\mathrm{P}(2,-1,$ $\text { 3), } Q(3,-1,2)$ এবং $\mathrm{R}(1,-3,5)$

ক. কালিক পর্যাবৃত্ততা এর সংজ্ঞা দাও।

খ. অবস্থান ভেক্টর একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর- ব্যাখ্যা করো।

গ. $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{PR}}$ এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় করো।

ঘ. “বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত অবস্থান ভেক্টরগুলো একই তলে আছে কিনা”- তা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

ভেক্টর $\vec{P}=\left(9 x y^{2}+5 z\right) \hat{i}+$$\left(4 y^{2}+2 x z\right) \hat{j}+$$\left(3 x^{3}+2 y\right) \hat{k}$

ক. অবস্থান ভেক্টর কাকে বলে?

খ. দুইটি ভেক্টরের মান শূন্য না হলেও ডট গুণন শূন্য হতে পারে- ব্যাখ্যা করো।

গ. $(-1, 1, 1)$ অবস্থানে $\overrightarrow{\mathrm{P}}$ এর ডাইভারজেন্স নির্ণয় কর।

ঘ. ভেক্টর $\overrightarrow{\mathrm{P}}$ কী অঘূর্ণনশীল? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

নিচের উদ্দীপকটি পড় ও সংশ্লিষ্ট প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও:

ক. আয়ত একক ভেক্টর কী?

খ. একটি ভেক্টর রাশিকে কীরূপে স্কেলার রাশিতে রূপান্তর করবে? ব্যাখ্যা করো।

গ. $F_1$ এর ভেক্টর রূপ নির্ণয় করো।

ঘ. উদ্দীপকে $\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}$ এবং $\vec{F}_{1}-\vec{F}_{2}$ পরস্পর লম্ব কি-না? যাচাই করো।

একজন সাঁতারু $AB$ এর সাথে $10^{\circ}$ কোণে $16 \mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে সাঁতার কাটা শুরু করলো। নদীতে স্রোতের বেগ $8 \mathrm{kmh}^{-1}$। অপর সাঁতারু একই নদীতে একই বেগে স্রোতের সাথে $60^{\circ}$ কোণে সাঁতার কাটা শুরু করলো।

ক. আয়ত একক ভেক্টর কাকে বলে?

খ. লন্ রোলার ঠেলার চেয়ে টানা সহজ। -ব্যাখ্যা করো।

গ. প্রথম সাঁতারু $B$ বিন্দুতে পৌঁছানোর উদ্দেশ্যে $AC$ বরাবর রওয়ানা দিয়ে $D$ বিন্দুতে পৌঁছালো, $BD$ দূরত্ব নির্ণয় করো।

ঘ. সাতারুদ্বয়ের মধ্যে কোন সাতাঁরু আগে অপর পাড়ে পৌছাবে? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

1 km প্রস্থের একটি নদী পার হওয়ার জন্য দুইজন সাঁতারু, সাঁতার প্রতিযোগিতায় অংশগ্রহণ করে। প্রথম সাঁতারু 6 km$h^{-1}$ বেগে স্রোতের প্রতিকূলের সাথে 60° কোণে এবং দ্বিতীয় সাঁতারু 6 km$h^{-1}$ বেগে আড়াআড়িভাবে সাঁতার কাটা শুরু করে। নদীতে স্রোতের বেগ 3 km$h^{-1}$

ক. কৌণিক ভরবেগ কী?

খ. কী কী শর্তে কাজের মান শূন্য হতে পারে? ব্যাখ্যা করো ।

গ. প্রথম সাঁতারুর লব্ধি বেগ নির্ণয় করো ।

ঘ. উক্ত প্রতিযোগিতায় কোন সাঁতারু আগে নদী পার হতে পারবে? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো ।

নাহিন এবং জাহিন একটি ভারী স্থির ট্রাক-এ দুটি রশি বেঁধে টেনে নিয়ে যাচ্ছিল। রশি দুটির মধ্যে $\alpha$ কোণ সৃষ্টি হয়। ট্রাকটি নাহিনের দিকে সরে যাচ্ছিল । নাহিন জাহিনকে আরো বেশি বল প্রয়োগ করতে বললো ।

ক. কার্লের সংজ্ঞা দাও ।

খ. ত্রিভুজের তিনটি বাহু যদি একইক্রমে তিনটি ভেক্টরকে নির্দেশ করে তা হলে ভেক্টরত্রয়ের লব্ধি শূন্য হয় কেন? ব্যাখ্যা করো।

গ. দেখাও যে, জাহিন নাহিনের সমমানের বল প্রয়োগ করলে এদের লব্ধি বল মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে ।

ঘ. নাহিন এবং জাহিন ট্রাকটিকে কীভাবে টানলে সর্বাপেক্ষা কম বল প্রয়োগে ট্রাকটিকে সর্বোচ্চ লব্ধি বলে টেনে নিতে পারবে? গাণিতিক বিশ্লেষণের সাহায্যে ব্যাখ্যা করো

চিত্রে একজন মাঝি A বিন্দু থেকে AB এর সাথে 30° কোণে 16 km$h^{-1}$ বেগে এবং আরেকজন মাঝি একই বিন্দু হতে একই বেগে AB এর সাথে 60° কোণে নদীতে নৌকা চালাচ্ছেন।

ক. স্কেলার ক্ষেত্র কাকে বলে?

খ. . একটি বিপ্রতীপ ভেক্টরকে সমরেখ ভেক্টর বলা যাবে কি? ব্যাখ্যা করো।

গ. প্রথম মাঝির লব্ধি বেগ নির্ণয় করো ।

ঘ. কোন মাঝি পার হতে কম দূরত্ব অতিক্রম করবে— গাণিতিকভাবে যাচাই করো ।

চিত্রে BC নদীর কিনারা ঘেঁষে চলা একটি রাস্তা হল AB । নদীতে স্রোতের বেগ 2 m$s^{-1}$ এবং একজন মাঝি 4 m$s^{-1}$ বেগে নৌকা চালাচ্ছেন। রাস্তায় গাড়ির বেগ 15m$s^{-1}$। গাড়ি B স্টেশনে 40s যাত্রা বিরতি দেয়।

ক. ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্রটি লেখ।

খ. ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা করার যৌক্তিকতা ব্যাখ্যা করো।

গ. মাঝি সর্বনিম্ন কত সময়ে নদী পাড়ি দিতে পারবে?

ঘ. গাড়ি যখন A অবস্থানে তখন C অবস্থান থেকে B অবস্থানের উদ্দেশ্যে যাত্রা করা নৌকার যাত্রীরা গাড়িতে উঠতে পারবে কিনা? বিশ্লেষণ করো।

একটি গাড়ির পেছনের গ্লাস ছাদের সাথে 30° কোণে হেলানো। গাড়িটি $\vec{v}=18 \hat{i}$ বেগে একটি রাস্তায় চলছিল। হঠাৎ বৃষ্টি $\overrightarrow{\mathrm{u}}=-12 \hat{\mathrm{j}}$ ৰেগে পড়া শুরু হলো।

ক. শিশিরাংক কাকে বলে?,

খ. দরজার হাতল প্রান্তে দেয়া হয় কেন? ব্যাখ্যা করো ?

গ. গাড়ির সামনের গ্লাসে বৃষ্টি কত বেগে পড়বে?

ঘ. উদ্দীপকের গাড়ির পিছনের গ্লাস বৃষ্টিতে ভিজবে কিনা- গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও।

$\vec{p}=5 \hat{i}+3 \hat{j}-m \hat{k}$ ও $\vec{Q}=\hat{i}+\hat{j}+4 \hat{k}$ এখানে $\overrightarrow{\mathrm{P}}$ এবং $\vec{Q}$ পরস্পর লম্ব। যদি $\overrightarrow{\mathrm{P}}$ এবং $\vec{Q}$ এর মান যথাক্রমে নৌকা এবং একটি নদীর স্রোতের দ্রুতি নির্দেশ করে তবে সর্বনিম্ন পথে নদী পার হতে নৌকাটির 2 মিনিট সময় লাগে ।

ক. সমতলীয় ভেক্টর কাকে বলে?

খ. স্রোতের সাথে আড়াআড়ি ভাবে নদী পাড়ি দিতে নৌকা কীভাবে চালাতে হবে— ব্যাখ্যা করো ।

গ. m এর মান নির্ণয় করো ।

ঘ. যদি নৌকার মাঝি ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে চায় তবে সে নদীর প্রস্থ অপেক্ষা বেশি দূরত্ব অতিক্রম করবে কিনা— < গাণিতিক মানের সাহায্যে ব্যাখ্যা করো ।

$\overrightarrow{\mathrm{P}}=5 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}-\mathrm{mk} ; \overrightarrow{\mathrm{Q}}=\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}}$ এখানে $\overrightarrow{\mathrm{p}}$ এবং $\vec{Q}$ পরস্পর লম্ব । যদি $\overrightarrow{\mathrm{p}}$ এবং $\vec{Q}$ এর মান যথাক্রমে নৌকা এবং একটি নদীর স্রোতের দ্রুতি নির্দেশ করে তবে সর্বনিম্ন পথে নদী পার হতে নৌকাটির 2 মিনিট সময় লাগে।

ক. সমতলীয় ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

খ. কোনো প্রবাহীর আয়তনের পরিবর্তন নির্ণয়ে ডাইভারজেন্স এর ভূমিকা আছে কি-না? ব্যাখ্যা করো ।

গ. 'm' এর মান হিসাব করো ।

ঘ. যদি নৌকার মাঝি ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে চায় তবে সে নদীর প্রস্থ অপেক্ষা বেশি দূরত্ব অতিক্রম করবে কি-না? গাণিতিক পদ্ধতির সাহায্যে ব্যাখ্যা করো।

ক. স্কেলার অপেক্ষকের গ্রেডিয়েন্টের সংজ্ঞা লেখ ।

খ. কাজ ও টর্ক এর একক অভিন্ন— ব্যাখ্যা করো ।

গ. $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ ভেক্টরের সমান্তরাল একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো ।

ঘ. $\Delta$OPQ সমকোণী ত্রিভুজ কিনা যাচাই করো।

$\overrightarrow{\mathrm{A}}=3 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{c}}=\hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}$ ভেক্টরত্রয় মিলে একটি ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্র গঠন করে।

ক. বিপ্রতীপ ভেক্টর কী?

খ. ঠেলার ক্ষেত্রে লনরোলারকে ভারী মনে হয় কেন? ব্যাখ্যা করো।

গ. $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ বরাবর $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ এর লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় করো।

ঘ.$\overrightarrow{\mathbf{A}}, \overrightarrow{\mathbf{B}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থিত হবে কি না— গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো

$\vec{A}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k} , \vec{B}=2 \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ দুটি ভেক্টর।

ক. অবস্থান ভেক্টর কী?

খ. একই জাতীয় দুটি ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফল সমান হতে পারে কি? ব্যাখ্যা করো।

গ. উদ্দীপকে বর্ণিত ভেক্টরদ্বয় দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো ।

ঘ. ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব কিনা তা গাণিতিকভাবে যাচাই করো ।