Questions in this chapter

$P(x)=x-4$ ও $Q(y)=y-3$ দুইটি ফাংশন ।

ক. $a \in \mathbb{R}$ হলে দেখাও যে, $\sqrt{\mathrm{a}^{2}}=|\mathrm{a}|$

খ. $\frac{P(x)}{x+2}+\frac{x+6}{Q(x)}>0$ অসমতাটির সমাধান কর ।

গ. $\frac{\mathrm{Q}(\mathrm{x})-\mathrm{P}(\mathrm{x})}{|3 \mathrm{P}(\dot{\mathrm{x}})-\mathrm{Q}(\mathrm{x})|} \leq \frac{\mathrm{P}(7)}{\mathrm{Q}(5)}$ অসমতাটির সমাধান কর এবং সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও।

$x=a+5, a^{} \in \mathbb{R}$

ক. $\mathrm{p}, \mathrm{q} \in \mathbb{R}$ হলে, প্রমাণ কর যে, $|p q|=|p||q|$

খ. $|a|<\frac{1}{13}$ হলে দেখাও যে,$\left|x^{2}-25\right|<\frac{131}{169}$

গ. $\frac{a+5}{a^{2}+10 a+26}<\frac{1}{a+6}$ হলে উদ্দীপকের আলোকে x এর মান

নির্ণয় করে সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও ।

উদ্দীপক-১: $\frac{x+2}{x+1}>\frac{x-3}{x-4}$

উদ্দীপক-২: $x, y \in \mathbb{Q}$ এবং $x \sqrt{2}-y \sqrt{3}=0$

ক. $|x+2|<2$ এবং $x \in \mathbb{Z}$ এর সমাধান কর ।

খ. উদ্দীপক-১ এর অসমতাটি সমাধান কর ও সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও ।

গ. উদ্দীপক-২ ব্যবহার করে দেখাও যে, $x=y=0$

ক. $a, b, c \in \mathbb{R}$ এবং $a + b=a+c$ হলে প্রমাণ কর যে, $b = c$

খ. অন্তবৃত্ত অপেক্ষা বড় এবং বহির্বৃত্ত অপেক্ষা ছোট বৃত্তগুলোর ব্যাসার্ধকে পরমমান

সংবলিত অসমতার সাহায্যে প্রকাশ কর।

গ. মধ্যবর্তী বৃত্তগুলোর ক্ষেত্রফল A হলে প্রমাণ কর যে,

$\left|A^{2}-36 \pi^{2}\right|<28 \pi^{2}$

$f(x)=x(x+1)$ এবং $g(x)=x-2$ দুইটি ফাংশন ।

ক. $|g(x)|<5$ এর সমাধান সেট নির্ণয় কর।

খ. $f(x)>g(x)$ হলে অসমতাটির সমাধান সেট নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $f(x)<g(x)+2$ এর কোন বাস্তব সমাধান নাই।

রহমত সাহেব তার ব্যবসা সম্প্রসারণের জন্য একটি আয়তাকার জমি

ক্রয় করতে চান যার প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য $15$ মিটার বেশি হতে হবে।

তিনি তার মূলধন হিসাব করে দেখলেন যে তিনি বড়জোড় $1000$

বর্গমিটার জমি কিনতে পারবেন। জমির প্রস্থকে x মিটার ধরে তিনি

একটি অসমতার সম্পর্ক তৈরি করলেন।

ক. $x \in \mathbb{N}$ এবং $2 \leq x \leq 5$ হলে $\{f(x)=2 x-5\}$ এর সুপ্রিমাম ও ইনফিমাম নির্ণয় কর ।

খ. অসমতাটিকে একটি পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর।

গ. জমির প্রস্থের সম্ভাব্য সেট $S$ হলে $S$ সেটের ইনফিমাম ও সুপ্রিমাম নির্ণয় কর।

$\mathrm{AB} \leq \mathrm{AC} \leq \mathrm{BC}$

ক. $x=2$ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

খ. $|\mathrm{AB}-1|<\frac{1}{10}$ হলে দেখাও যে, $|\mathrm{BC}|<\frac{21}{100}$

গ. x-এর ওপর কি শর্ত আরোপ করলে $ABC$ ত্রিভুজটি অঙ্কন করা সম্ভব, সংখ্যা রেখার সাহায্যে দেখাও ।

$f(x) = x + 1$ এবং $g(x) = 2x - 1$

ক. $x^{2}+4 x-21>0$ এর সমাধান কর ।

খ. সংখ্যা রেখার সাহায্যে $|f(x)|+|f(x-2)| \leq 5$ অসমতার সমাধান কর।

গ. $\frac{3}{|g(x)|} \geq 4$ কে পরম মান চিহ্ন ব্যতীত প্রকাশ কর ।

দৃশ্যকল্প ১ : $-1<2 x-3<5$

দৃশ্যকল্প ২: $x+2 y \leq 10, x+y \leq 6, x \leq 4, x, y \geq 0$

ক. $|| 2-6|-| 1-9 \|$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১: এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান নির্ণয় করে সংখ্যারেখায় দেখাও।

গ. ছক কাগজের সাহায্যে দৃশ্যকল্প-২: এ বর্ণিত অসমতাগুলির সমাধান অঞ্চল নির্ণয় কর।

$f(x)=x-1$ এবং $g(x)=x+1$

ক. $|3+|-1-4|-3-|-8||$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $|f(x)|<\frac{1}{10}$ হলে দেখাও যে,$|f(x) g(x)|<\frac{21}{100}$

গ. $\frac{1}{|\lg (\mathrm{x})|}>3$ এর সমাধান কর এবং সমাধান সেট সংখ্যা রেখায় দেখাও।

$\mathbb{R}$ ও $\mathbb{Q}$ হলো যথাক্রমে বাস্তব ও মূলদ সংখ্যার সেট এবং $\mathrm{a} \in \mathbb{R}, \mathrm{b} \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$

ক. প্রমাণ কর যে, $|\mathrm{ab}|=|\mathrm{a}| .|\mathrm{b}|$

খ. স্বীকার্যের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, $a-b \in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}$

গ. প্রমাণ কর যে, $|\mathrm{a}-\mathrm{b}| \geq|\mathrm{a}|-|\mathrm{b}|$

$f(x)=5 x+1$ এবং $g(x)=7 x-3$

ক. $\|f(-1)|-| f(1)\|$ নির্ণয় কর।

খ. $-3 \leq 1-g(x) \leq 18$ হলে, $x \in \mathbb{R}$ এর সীমা নির্ণয় কর ।

গ. $y>f(x)$ এবং $y<g(x)$ অসমতা যুগলের সমাধান সেটের লেখচিত্র অঙ্কন কর ।

$A=\left\{n \in \mathbb{N}: \frac{3 n+2}{2 n+1}\right\} ; B=\left\{n \in \mathbb{N}: 1-\frac{1}{n}\right\}$

ক. সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেটের সুপ্রিমাম ও ইনফিমাম নির্ণয় কর ।

খ. $A$ ও $B$ সেটদ্বয়কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর ।

গ. দেখাও যে, $A$ ও $B$ সেটদ্বয় সীমিত

দৃশ্যকল্প-১: $a, b, c \in \mathbb{R}$

দৃশ্যকল্প-২: $f(x)=\sqrt{x}$

ক. $|-2-8|+|2+8|$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে প্রমাণ করো যে,

$\text { (i) } a c=b c$ এবং $c \neq 0$ হলে $a=b$ হবে

$\text { (ii) }|\mathrm{a}-\mathrm{c}| \leq|\mathrm{a}-\mathrm{b}|+|\mathrm{b}-\mathrm{c}|$

গ. দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে দেখাও যে, $f(2)$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

দৃশ্যকল্প-১: $a, b, c, \in \mathbb{R}$ এবং $\mathrm{a} \leq \mathrm{b}$

দৃশ্যকল্প-২: $\frac{x-4}{x-2}-\frac{x-6}{x-3}>0$

ক. $-2<x<6$ কে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর ।

খ. দেখাও যে, $c > 0$ হলে $\mathrm{ac} \leq \mathrm{bc}$ এবং $c < 0$ হলে $a c \geq b c$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর অসমতাটির সমাধান কর ।

বাস্তব সংখ্যার উপসেট $S=\left\{x: 3 x^{2}-7 x+2<0\right\}$

এবং $T=\left\{\frac{1}{5 p}: p \in \mathbb{Z} ; p \neq 0\right\}$

ক. $\left\{-2, \frac{-3}{2}, \frac{-4}{3}, \frac{-5}{4}, \ldots, \ldots\right\}$ এর নিম্নসীমা ও ঊর্ধ্বসীমা নির্ণয় কর।

খ. সংখ্যারেখার সাহায্যে $S$ সেটটি প্রকাশ কর ।

গ. $\text { Sup } T$ ও $\operatorname{lnf} T$ নির্ণয় কর।

$m=|x-1|$ একটি পরমমান সংবলিত রাশি।

ক. $|| 2-6|-| 1-9 \|$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. $x=-4$ হলে দেখাও যে, $\sqrt{\mathrm{m}}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

গ. $m < 3$ হলে প্রমাণ কর যে, $\left|x^{3}-1\right|<63$

$f(x)=x-1$

ক. $\left\{-2, \frac{-3}{2}, \frac{-4}{3}, \frac{-5}{4}, \ldots \ldots \ldots\right\}$ এর ঊর্ধ্বসীমা এবং নিম্নসীমা নির্ণয় কর ।

খ. $\frac{1}{|3 f(x)-2|}>2$ অসমতাটির সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও ৷

গ. $5|f(x-2)|<1$ হলে দেখাও যে, $25|f(x-2) \times f(x+2)|<21$

$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ এবং $f(x)=4 x^{2}+5 x-6$

ক. উদাহরণের মাধ্যমে বাস্তব সংখ্যার সীমিত সেটের ব্যাখ্যা দাও।

খ. প্রমাণ কর যে, $|\alpha-\beta| \geq|| \alpha|-| \beta||$

গ. $f(x) \geq 0$ এর সমাধান কর এবং সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও ৷

$\text { (i) }-6.5 \leq x \leq-3.5$ $\text { (ii) }|4-3 x| \geq 5$

ক. মূলদ ও অমূলদ সংখ্যার পার্থক্য লেখ।

খ. (i) কে পরম মান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর ।

গ. (ii) এর সমাধান কর এবং সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও।