Questions in this chapter

$x+y-4 \geq 0$ এবং $2 x-y+2 \leq 0$

ক. যদি, x যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হয়, তবে x এর পরম মানকে সংজ্ঞায়িত কর ।

খ. $x=\frac{2}{3}$ এবং y স্বাভাবিক সংখ্যা হলে, প্রথম অসমতা থেকে y এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।

গ. অসমতা দুইটির লেখচিত্র অঙ্কন করে এদের সমাধান এলাকা চিহ্নিত কর।

$\frac{1}{|2 x-3|}>5$

ক. সংখ্যারেখায় $\sqrt{2}$ এর অবস্থান চিহ্নিত কর ।

খ. উদ্দীপকে প্রদত্ত অসমতাটি কখন অসংজ্ঞায়িত? অসমতাটি

সমাধান কর এবং সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও ।

গ. অসমতা চিহ্ন পরিবর্তন করে অসমতাটি সমাধান কর এবং

সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও।

$\begin{array}{l}\text{(i) } 2 x+5 y \leq 0 \text{;}\\\text{(ii) } \left|x^{2}+5 x-3\right|>3 \text{.}\end{array}$

ক. উদাহরণসহ অসীম ও সসীম ব্যবধির ব্যাখ্যা কর।

খ. (i) এর লেখচিত্র অঙ্কন করে সমাধান এলাকা চিহ্নিত কর।

গ. (ii) এর অসমতার সমাধান সেট নির্ণয় কর।

$|x-1|<\frac{1}{10}$

ক. প্রমাণ কর যে, $A=\{x \in \mathbb{R}:-5 \leq x<2\}$ এর লঘিষ্ঠ ঊর্ধ্বসীমা সেটের বৃহত্তম মান নয় ।

খ. উদ্দীপকের অসমতার সমাধান কর এবং সমাধান সেট

সংখ্যারেখায় দেখাও।

গ. উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, $\left|x^{2}-1\right|<\frac{21}{100}$

$|2 x-3|<7$

ক. বাস্তব সংখ্যার পরম মান কিভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়?

খ. অসমতাটি সমাধান করে প্রাপ্ত সমাধান সেট সংখ্যারেখায়

দেখাও ।

গ. উদ্দীপকে উল্লেখিত অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন করে সমাধান কর এবং

সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও ।

$2 x+3 y-12 \geq 0$ এবং $x+y-5 \geq 0$

ক. কিভাবে যোগাশ্রয়ী অসমতার সমাধান এলাকা চিহ্নিত করবে?

খ. প্রথম অসমতার লেখচিত্র অঙ্কন করে সমাধান এলাকা চিহ্নিত কর।

গ. একই অক্ষদ্বয়ে অসমতাদ্বয়ের লেখচিত্র অঙ্কন করে অসমতা দুইটির

যুগপৎ সমাধান এলাকা চিহ্নিত কর।

(i) একটি বাস্তব সংখ্যার তিন গুণ থেকে $2$ বিয়োগ করলে

বিয়োগফলের পরম মান অপেক্ষা $7$ বৃহত্তর

$\text { (ii) } \frac{1}{|2 x-3|}<5 \text {. }$

ক. (i) কে গাণিতিকভাবে অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ কর ।

খ. সংখ্যাটির ব্যবধি নির্ণয় কর।

গ. (ii) কখন অসংজ্ঞায়িত? সমাধান কর এবং সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও ।

সেট $S=\{x \in \mathbf{Q}: x>0$ এবং $\left.x^{2}<5\right\}$

সেট $S_{1}=\left\{x \in \mathbb{R}: 3 x^{2}-4 x+1<0\right\}$

ক. দেখাও যে, $S$ একটি অশূন্য ঊর্ধ্বে সীমিত সেট।

খ. $\operatorname{Sup} S_{1}$ নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $S$ এর ক্ষেত্রে সম্পূর্ণতা ধর্ম খাটে না।

(i) একটি ওষুধ কোম্পানীর একটি মেশিন একটি বোতলে $50$ মি.লি. ওষুধ পূর্ণ করে এবং অন্য একটি মেশিন বোতলের ওজন নেয়। যদি বোতলের ওজন $50$ মি.লি. ওষুধের সাথে $0.6$ মিলি লিটারের বেশি পার্থক্য হয় তবে বোতলটি পরিত্যক্ত হয়।

$\text { (ii) } \frac{7 x}{3 x+1}<(4-x), x \neq-\frac{1}{3}$

ক. (i) এর বর্ণনাটি পরম মান অসমতায় প্রকাশ কর ।

খ. বোতলের ওষুধের ওজনের সবচেয়ে বেশি গ্রহণযোগ্য ওজন এবং সবচেয়ে

কম গ্রহণযোগ্য ওজন নির্ণয় কর। প্রাপ্ত পরিসরটিকে সংখ্যারেখায় দেখাও ।

গ. (ii) এর সমাধান কর ।

$\left|2 x^{2}+x-6\right|=6-3 x$

ক. 'বিনিময় বিধি ও 'বিতরণ বিধি' ব্যাখ্যা কর।

খ. বীজগণিতীয় পদ্ধতিতে প্রকৃত সমাধান নির্ণয় কর।

গ. একই অক্ষদ্বয়ের মধ্যে $y=\left|2 x^{2}+x-6\right|$ এবং $y=6-3 x$ এর চিত্রাঙ্কন কর।

একজন ফল বিক্রেতা অনধিক $4500$ টাকা বিনিয়োগ করে $10$ টাকা ও $15$ টাকা দরে যথাক্রমে কিছু সংখ্যক কমলা ও আম ক্রয় করেন।

ক. উল্লেখিত তথ্যের আলোকে দুই চলক সম্বলিত যোগাশ্রয়ী অসমতা নির্ণয় কর।

খ. যদি ফলবিক্রেতা $300$ কমলা ক্রয় করেন, তাহলে সর্বাধিক কতগুলি আম ক্রয় করতে পারবেন?

গ. তোমার নির্ণীত অসমতার লেখচিত্র অঙ্কন করে সমাধান এলাকা চিহ্নিত কর।

${\alpha}, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$ এবং $\alpha>\beta$

ক. বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে বিপরীত উপাদানের অস্তিত্বশীল বিধির ব্যাখ্যা দাও।

খ. প্রমাণ কর যে, $\alpha+\gamma>\beta+\gamma$

গ. প্রমাণ কর যে, $|\alpha-\beta| \geq|| \alpha|-| \beta||$

$x-6>2-x$ এবং $15-3 x>5+7 x$.

ক. বাস্তব সংখ্যার সেটে কি একাধিক ঊর্ধ্বসীমা থাকতে পারে?

তোমার উত্তরের স্বপক্ষে উদাহরণের সাহায্যে ব্যাখ্যা দাও।

খ. সংখ্যারেখার সাহায্যে দেখাও যে, x এর কোনো সমাধান সেট নেই

যার জন্য অসমতাদ্বয় একই সঙ্গে সিদ্ধ হয় ।

গ. দ্বিতীয়টির অসমতা চিহ্ন পরিবর্তন করে দেখাও যে,

অসমতাদ্বয় যুগপৎভাবে সিদ্ধ হয় ।

$\begin{array}{l}\text{(i) } S=\left\{x \in \mathbb{R}: x^{2}-5 x+6<0\right\}\\\text{(ii) } \frac{x+2}{x-1}<\frac{x-3}{x-6}\end{array}$

ক. উদাহরণের মাধ্যমে বাস্তব সংখ্যার সীমিত সেটের ব্যাখ্যা দাও ৷

খ. (i) থেকে $\operatorname{Inf}(S)$ এবং $\operatorname{Sup}(S)$ নির্ণয় কর ।

গ. (ii) এর সমাধান সেট নির্ণয় কর।

$\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \in \mathbb{R}$

ক. $|| 5-6|-| 15-18||$ নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপক অবলম্বনে দেখাও যে, $ab = 0$ হলে, $a = 0$ অথবা $b = 0$.

গ. প্রমাণ কর যে, $|\mathrm{a}+\mathrm{b}| \leq|\mathrm{a}|+|\mathrm{b}|$

$k=|x-1|$

ক. পরম মান চিহ্ন ব্যবহার করে, $-1<2 x-3<5$ কে প্রকাশ কর ।

খ. $x = 4$ হলে দেখাও যে, $\sqrt{\mathrm{k}}$ একটি অমূলদ সংখ্যা ।

গ. $k <2$ হলে, দেখাও যে, $\left|x^{3}-2\right|<25$

$\phi(x)=|x-3|$ এবং $\psi(x)=3 x-5$

ক. পরম মান চিহ্ন ব্যবহার না করে $|x-3|<2$ কে প্রকাশ কর।

খ. $|\phi(x)|<\frac{1}{7}$ হলে দেখাও যে, $\left|x^{2}-9\right|<\frac{43}{49}$

গ. $\frac{1}{|\psi(x)|}>2,\left(x \neq \frac{5}{3}\right)$ কে সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও ।

$\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \in \mathbb{R}$

ক. $S=\left\{x \in \mathbb{R}: 5 x^{2}-16 x+3<0\right\}$ হলে, $\text { sup S }$ এবং $\text { Inf S }$ নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $(-a)(-b)=a b$

গ. উদ্দীপক অবলম্বনে প্রমাণ কর যে, $\text { (i) } a c=b c$হলে দেখাও যে,

$a = b$ যখন $\mathrm{c} \neq 0 \text { (ii) }|a b|=|a| \cdot|b|$

$f(x)=x^{2}-4 x+3$ এবং $g(x)=x-1$

ক. পরম মান চিহ্ন ছাড়া প্রকাশ কর : $2 \leq \frac{1}{|x-1|}$ যখন, $x \neq 1$

খ. $f(x) > 0$ অসমতাটি সমাধান কর এবং সংখ্যা রেখায় দেখাও।

গ. যদি, $|g(x)|<\frac{1}{11}$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $\left|x^{2}-1\right|<\frac{23}{121}$

$\psi(x)=3 x^{2}-14 x+8$

ক. $|2-8{x}| \leq 6$ অসমতাটি সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।

খ. $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \in \mathrm{R}$ এবং $a + b = a + c$ হলে, প্রমাণ কর যে, $b = c$

গ. $\psi(x)<0$ অসমতাটিকে পরম মান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর ।