Questions in this chapter

উদ্দীপক: $f(x)=x, x \in \mathbb{R}$

ক. $-1<2 x-3<5$ অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর।

খ. $\frac{1}{|f(x)-2|} \geq 2 . x \neq 2$ অসমতাটি সমাধান কর ও সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও ।

গ. $|f(x)-1|<\frac{1}{5}$ হলে দেখাও যে, $\left|\{f(x)\}^{2}-1\right|<\frac{11}{25}$

উদ্দীপকে : $z=x+i y$

ক. $-1+\sqrt{3} i$ এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

খ. $\sqrt[3]{p+i q}=z$ হলে, দেখাও যে, $\sqrt[3]{p-i q}=\bar{z}$

গ. $3|z-1|=2|z-2|$ যারা নির্দেশিত সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক : মনে কর, $g(x)=2 x-1, x \in R$ একটি রাশি এবং $A=\{a : \mathbf{a} \in$ পূর্ণসংখ্যা এবং $|g(a)|<4\}$ ও $B=\{t: t \in$ স্বাভাবিক সংখ্যা এবং $2<t<4\}$ দুইটি সেট ।

ক. $-3<g(x)<7$ কে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর।

খ. $|g (x)+2 i y \mid=t$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

গ. A সেটটির সুপ্রিমাম এবং ইনফিমাম বের কর।

$f(x)=x-1$ যেখানে $x \in \mathbf{R}$

ক. $-2<2-f(x)<8$ অসমতাকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর।

খ. $f(x)<\frac{1}{10}$ হলে, দেখাও যে, $|f(x) \cdot f(x+2)|<\frac{21}{100}$.

গ. $|3 f(x)-1|<2$ অসমতাকে সমাধান কর এবং সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও।

দৃশ্যকল্প-১ : $\mathrm{L}=\left\{\mathrm{x} \in \mathrm{R}: 2 \mathrm{x}^{2}+5 \mathrm{x}<0\right\}$

দৃশ্যকল্প-২ : $f(x)=x^{2}-x$

ক. সমাধান কর : $|2 x-7|>5$

খ. $L$ এর সমাধান সেটের অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর ।

গ. সংখ্যারেখার সাহায্যে $f(x) \leq 0$ এর সমাধান কর ।

$a=5 x-3$

ক. $A=\{x \in \mathbb{R}:-1<x+2 \leq 1\}$ সেটটিকে ব্যবধিতে প্রকাশ কর।

খ. $|\sqrt{a}-5|<2$ এর সমাধান সেট নির্ণয় কর।

গ. $x = 1$ হলে প্রমাণ কর যে, $\sqrt{\mathrm{a}}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

$P=|x-2|, f(x)=x$ এবং $g(x)=3 x+2$

ক. $g\left(\frac{-8}{3}\right) \leq \frac{g(2 x)-f(x)}{2} \leq f(0)$ কে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর ।

খ. $P<\frac{1}{5}$ হলে দেখাও যে,$\left|x^{2}-4\right|<\frac{21}{25}$

গ. সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও : $f(x) g(x) \leq 1$

$\text { (i) } \frac{x}{x^{2}+1}<\frac{1}{x+1}$ $\text { (ii) } f(x)=x-1$

ক. $4<f(x+1)<10$ অসমতাকে পরমমান চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ কর।

খ. (i) নং সমাধান কর এবং সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও।

গ. $|f(x)|<\frac{1}{f(11)}$ হলে দেখাও যে, $|f(x+2) \cdot f(x)|<\frac{21}{100}$

$f(x)=x+3, g(x)=2 x+3$ দুইটি ফাংশন।

ক. $\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{R}$ হলে প্রমাণ কর,$|| f(a-3)|-| f(b-3) \| \leq|f(a-b-3)|$

খ. $|\mathrm{f}(\mathrm{a})-8|<\frac{1}{2}$ হলে দেখাও যে $\left|8 \mathrm{a}^{3}+29\right|<1360$

গ. $|g(x)|<|f(x-4)|$ অসমতাটিকে সমাধান করে সমাধান সেট

সংখ্যারেখায় দেখাও।

$f(x)=\frac{1}{1-4 x}$ এবং $g(x)=x-1$

ক. $\mathrm{g}(-5) \leq \mathrm{g}(\mathrm{x}+1) \leq \mathrm{g}(0)$ কে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর।

খ. $\frac{1}{|f(x)|} \geq 3, x \neq \frac{1}{4}$ এর সমাধান কর এবং সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও।

গ. $\frac{\mathrm{g}(\mathrm{x})}{\mathrm{f}(\mathrm{x})}>0$ এর সমাধান কর ।

$T=\left\{x \in \mathbb{R}: 7+6 x-x^{2}<0\right\}$ এবং $S=\left\{x \in \mathbb{R}: 5 x^{2}-16 x+3<0\right\}$

ক. $|x|>x$ এর সমাধান সেট নির্ণয় কর।

খ. $T$ এর সুপ্রিমাম ও ইনফিমাম নির্ণয় কর ।

গ. $S$ এর সমাধান সেটের অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর ।

$A=\left\{\frac{1}{n+1}: n \in \mathbb{N}\right\}$ ও $B=\left\{\frac{n}{n+1}: n \in \mathbb{N}\right\}$ দুইটি সেট এবং $f(x) = x − 1$ একটি ফাংশন ।

ক. $a, b \in \mathbb{R}$ হলে প্রমাণ কর $|a+b| \leq|a|+|b|$

খ. $A \cup B$ এর সুপ্রিমাম ও ইনফিমাম নির্ণয় কর।

গ. $|f(x)|<\frac{1}{2}$ এবং $\left|x^{3}-1\right|<p$ হলে $p$ এর মান কত হবে?

$f(x)=\frac{x+1}{x-2}$ এবং $g(x)=x-\frac{1}{3}$

ক. $|| 2-6|-10+| 7-3||$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $x f(x)>0$ এর সমাধান কর এবং সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও৷

গ. $\frac{1}{|\operatorname{g}(\mathrm{x})|} \geq 3, \mathrm{x} \neq \frac{1}{3}$ অসমতাকে পরমমান চিহ্ন ব্যতিরেকে প্রকাশ কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।

$f(x) = x$ একটি ফাংশন, যেখানে $x \in \mathbb{R}$

ক. যদি $a < b$ হয়, তবে দেখাও যে, $\mathrm{a}+\mathrm{c}<\mathrm{b}+\mathrm{c}$ যেখানে $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \in \mathbb{R}$

খ. উদ্দীপকের আলোকে $\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{R}$ হলে প্রমাণ কর যে,

$|\mathrm{f}(\mathrm{a})+\mathrm{f}(\mathrm{b})| \leq|\mathrm{a}|+|\mathrm{b}|$

গ. $|f(2 x)-1|<\frac{1}{9}$ হলে উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে,

$\left|4 f\left(x^{2}\right)-1\right|<\frac{19}{81}$

$f(x)=3 x-4, g(x)=5 x+6$

ক. $|-5-7|-|-2+9|+|-3|$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. $\frac{1}{|\mathrm{f}(\mathrm{x})|} \geq 5$ অসমতাটির সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও ।

গ. $\frac{(x-1) f(x)}{g(x)}<0$ অসমতাটির সমাধান নির্ণয় কর।

$f(x)=|x+1|$ এবং $g(x)=|x-1|$

ক. দেখাও যে, $f(x)+g(x) \geq|2 x|$

খ. $f(x)+g(x) \leq 3$ হলে সমাধান সেট নির্ণয় কর।

গ. সংখ্যারেখার সাহায্যে $f(x) \leq g(x)$ এর সমাধান কর৷

$f(x)=x\left(\frac{x-4}{x-5}\right)$ একটি ফাংশন এবং $B=\left\{1+\frac{(-1)^{n}}{n}: n \in \mathbb{N}\right\}$ একটি সেট।

ক. প্রমাণ কর যে, $|a-c| \leq|a-b|+|b-c|$ যেখানে $a, b, c \in \mathbb{R}$

খ. $\mathrm{f}(\mathrm{x})<0$ সমাধান কর এবং সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও ।

গ. $B$ সেটটির সুপ্রিমাম ও ইনফিমাম নির্ণয় কর ৷

$f(x)=3 x-2,|x+y|<\frac{7}{3}$

ক. যদি $p, q, r \in \mathbb{R}, \mathrm{pq}=r q$ এবং $q \neq 0$ হয়, তবে দেখাও যে,

$\mathrm{p}=\mathrm{r}^{}$

খ. $\frac{1}{|f(x-2)+3|}>3$ এর সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও ।

গ. দেখাও যে, $|f(2 x)+f(2 y)|<10$

$P=x+y-3, Q=2 x-y-5$

ক. পরমমান চিহ্ন ব্যতিত প্রকাশ কর: $|x-2|<5$

খ. $y = − x$ হলে $\frac{1}{|\mathrm{Q}|}>2$ এর সমাধান নির্ণয় করে সংখ্যারেখায় উপস্থাপন কর।

যখন $x \neq \frac{5}{3}$

গ. $P > 0$ এবং $Q > 0$ অসমতা যুগলের সমাধান সেটের লেখচিত্র অঙ্কন কর।

$f(x)=2 x+3$ এবং $g(x)=\sqrt{x}$

ক. x এর মান কত হলে $f=g^{2}$ হবে?

খ. $|f(x)|<7$ সমাধান করে সমাধান সেট সংখ্যা রেখায় দেখাও ।

গ. প্রমাণ কর যে, $g(3)$ একটি অমূলদ সংখ্যা।