Questions in this chapter

$\vec{P}=6 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$ এবং $\vec{Q}=2 \hat{i}+m \hat{j}+8 \hat{k}$ দুটি ভেক্টর।

ক. নাল ভেক্টর কী?

খ. একটি একক ভেক্টর কীভাবে পাওয়া যায়- ব্যাখ্যা করো।

গ. m-এর মান কত হলে উদ্দীপকে বর্ণিত ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে?

ঘ. উদ্দীপকে বর্ণিত ভেক্টরদ্বয় কি কোনোভাবে সমান্তরাল হওয়া সম্ভব? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

একই জাতীয় দুটি ভেক্টর $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ কোনো কণার উপর একই সময়ে ক্রিয়া করে।

ক. ভেক্টর কী?

খ. ভেক্টরের বিভাজন বলতে কী বুঝ?

গ. ভেক্টর দুটির লব্ধির মান সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন হওয়ার শর্ত কী নির্ণয় করো।

ঘ. ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের পার্থক্য যে কোনো একটি ভেক্টরের মানের দ্বিগুণ- এর সত্যতা বিশ্লেষণ করো।

$\vec{A}=A_{x} \hat{i}+A_{y} \hat{j}+A_{z} \hat{k}$ এবং $\vec{B}=B_{x} \hat{i}+B_{y} \hat{j}+B_{z} \hat{k}$ দুটি ভেক্টর $\alpha$ কোণে ক্রিয়াশীল। এদের লব্ধি $\overrightarrow{\mathrm{R}}$

ক. প্রসঙ্গ কাঠামো কী?

খ. ডট গুণন বলতে কী বুঝ?

গ. দেখাও যে, $\vec{A} \cdot \vec{B}=A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z}$

ঘ. দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের সূত্র কাজে লাগিয়ে দেখাও $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর লব্ধি $\vec{R}$ এর মান হবে $R=\sqrt{A^{2}+B^{2}+2 A B \cos \alpha}$

y হলো x এর একটি অপেক্ষক এবং $y=5 x^{2}+6 x$

ক. অপেক্ষক কী?

খ. $\frac{d y}{d x}$ এর অর্থ বুঝিয়ে দাও।

গ. x = 5 এর জন্য x এর সাপেক্ষে y এর অন্তরক নির্ণয় কর।

ঘ. উদ্দীপকের আলোকে গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে দেখাও যে, অন্তরীকরণ ও যোগজীকরণ বিপরীত প্রক্রিয়া।

${\varphi}$ একটি স্কেলার অপেক্ষক যেখানে $\varphi=3 x^{2} y z+4 x y z+$ $2 y z^{3}$ এবং $\vec{V}$ একটি ভেক্টর অপেক্ষক যেখানে $\vec{V}=4 x y^{3} z \hat{i}-$ $3 x^{3} y z \hat{j}+5 x y z^{2} \hat{k}$

ক. অপারেটর কী?

খ. গ্রেডিয়েন্ট বলতে কী বুঝ ?

গ. $\vec{V}$ এর কার্ল নির্ণয় কর।

ঘ. উদ্দীপকের আলোকে বিশ্লেষণ করে দেখাও কীভাবে একটি স্কেলার ক্ষেত্রকে ভেক্টর ক্ষেত্রে উত্তরণ করা যায় এবং একটি ভেক্টর ক্ষেত্রকে স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তর করা যায়।

তীব্র গরমে অতিষ্ট হয়ে একটি পিঁপড়া কোনো xy সমতলে ছোটাছুটি শুরু করল এবং পরপর চারটি বিন্দুতে গর্ত তৈরি করল। গর্তগুলো x ও y উপাংশ যথাক্রমে (30, 40), ($b_x$, – 70), ( –20, $c_y$ ) এবং ( –80, –70 ) মানগুলো সে. মি-এ প্রকাশিত। পিঁপড়াটির চারটি গর্তের জন্য চূড়ান্ত সরণের x ও y উপাংশ ( –140, –20 ) সে.মি. পাওয়া গেল ।

ক. একক ভেক্টর কাকে বলে?

খ. ভেক্টর যোগের বহুভুজ সূত্রটি বর্ণনা করো।

গ. $b_x$ ও $c_y$ এর মান নির্ণয় করো।

ঘ. চূড়ান্ত সরণের মান ও দিক লেখচিত্রে প্রকাশ করে, পিঁপড়াটির গতিপথ কোন প্রকৃতির ছিল সে সম্পর্কে তোমার ধারণা ব্যক্ত করো ।

$\vec{A}$ ভেক্টরের উপাংশ – 25 m এবং y উপাংশ 40m; ভেক্টরটি x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে θ কোণ উৎপন্ন করে।

ক. আয়ত একক ভেক্টর কাকে বলে?

খ. $\vec{A}+\vec{B}=\vec{A}-\vec{B}$ সম্পর্কটি সম্ভব কী-না, তা ব্যাখ্যা করো।

গ. $\vec{A}$ এর মান ও θ নির্ণয় করো।

ঘ. ভেক্টরটি যে তলে অবস্থিত সে তলে ভেক্টরটির উপাংশসমূহ যথাযথচিত্রে প্রকাশ কর ।

তিনটি ভেক্টর রাশি যথাক্রমে, $\vec{a}=(4.2 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{i}}-(1.5 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{j}}$ ,$\overrightarrow{\mathrm{b}}=(-1.6 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{i}}+(2.9 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{j}}$ ও $\vec{c}=(-3.7 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{j}}$

ক. আয়ত একক ভেক্টর কাকে বলে?

খ. ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্রটি বর্ণনা করো।

গ. ভেক্টর রাশিগুলোর লব্ধি $\overrightarrow{\mathrm{r}}=?$

ঘ. $\vec{R}$ এর মান ও দিক নির্ণয় কর এবং লেখচিত্রে $\vec{R}$ কে দেখাও।

$\vec{A}, \vec{B}$ ও $\vec{C}$ তিনটি ভেক্টর রাশি এমনভাবে সম্পর্কযুক্ত যে, $\vec{B}$ $=\vec{A}+\vec{C} ; \vec{A}$ এর মান 22 একক এর যা x- অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে –47.0° কোণ উৎপন্ন করে। $\vec{C}$ এর মান 17 একক যা x-অক্ষেরসাথে θ কোণ উৎপন্ন করে। $\vec{B}$x -অক্ষের ধনাত্মক দিকে কাজ করে।

ক. আয়ত একক ভেক্টর কাকে বলে?

খ. দুটি ভেক্টর রাশি যোগের ত্রিভুজ সূত্র ও সামান্তরিক সূত্রের মধ্যে সাদৃশ্য দেখাও।

গ. θ কোণের মান নির্ণয় করো।

ঘ. $\vec{B}$ এর মান ও দিক নির্ণয় করো এবং ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্রের মাধ্যমে উদ্দীপকের সম্পর্কটি লেখচিত্রে প্রকাশ করো।

নদীতে স্রোত না থাকলে ওয়াসিফ 4 km/h দ্রুতিতে সাঁতার কাটতে পারে। স্রোত থাকা অবস্থায় ১ম প্রচেষ্টায় কোন একদিন সে, এপার হতে ওপার সোজাসুজি নদী পার হতে গিয়ে 5 km/h দ্রুতিতে কোনোকুনি পার হল। ২য় প্রচেষ্টায় সে নৌকায় স্রোতের সাথে 120° কোণে যাত্রা করে সোজাসুজি নৌকা পার হল।

ক. আয়ত একক ভেক্টর কাকে বলে?

খ. ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্রটি কী কী কাজে ব্যবহার করা যেতে পারে?

গ. স্রোতের বেগ কত ছিল?

ঘ. ২য় প্রচেষ্টায় চিত্রটি প্রতিটি ভেক্টরের যথাযথ মান ও তাদের মধ্যবতী কোণ চিহ্নিত করে সামান্তরিক সূত্রের সাহায্যে দেখাও।

২০১৪ সালের ২০ জুলাই রাত বারটায় ঝড়ো আবহাওয়ায় ঢাকা আন্তর্জাতিক বিমান বন্দর হতে বাংলাদেশ বিমানের একটি উড়োজাহাজ $\vec{v_{B}}=500 \mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে পূর্বদিকের সাথে 30° কোণে যাত্রা শুরু করল। একই সময়ে মালয়েশিয়ান এয়ারলাইনসের একটি উড়োজাহাজ একই বেগে ঠিক উল্টা দিকে যাত্রা শুরু করল। বাতাস $\vec{\mathrm{v}}_{\mathrm{a}}=50 \mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে পূর্ব হতে পশ্চিম দিকে বইছিল। রাত দুইটায় কন্ট্রোল টাওয়ার হতে একজন বিজ্ঞানী উড়োজাহাজ দুটির দূরত্ব পরিমাপ করল।

ক. অবস্থান ভেক্টর কাকে বলে?

খ. কোন ভেক্টর রাশির কার্ল শূন্য হলে এর প্রকৃতি কেমন হতে পারে?

গ. উড়োজাহাজ দুটি প্রকৃতপক্ষে কত বেগে কোন দিকে চলছিল?

ঘ. কন্ট্রোল টাওয়ারের বিজ্ঞানীর প্রাপ্ত মান কেমন ছিল তা যৌক্তিকভাবে বর্ণনা করো।

উপরের চিত্রে xy সমতলের মূলবিন্দু 'O' তে পাঁচটি ভিন্ন মানের বল বিভিন্ন দিকে চিত্রানুযায়ী কাজ করছে।

ক. নাল ভেক্টর কাকে বলে?

খ. দুটি ভেক্টর রাশির যোগের ত্রিভুজ সূত্র ও সামান্তরিক সূত্রের মধ্যে সাদৃশ্য কেমন তা ব্যাখ্যা কর।

গ. লব্ধি বলের x ও y উপাংশ নির্ণয় কর।

ঘ. লব্ধি বলের মান ও দিক নির্ণয় করে লেখচিত্রে যৌক্তিকভাবে প্রকাশ কর।

ভর, বেগ, ত্বরণ, সরণ, সময় ইত্যাদি ভৌত রাশিসমূহকে দু'ভাগে ভাগ করা যায়। যাদের কেবলমাত্র মান আছে তা হল স্কেলার এবং যাদের মান ও দিক উভয়ই আছে তা হল ভেক্টর। যে কোনো ভেক্টর রাশিকে $\hat{i}, \hat{j}$ ও $\hat{k}$ উপাংশের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়। ধরা যাক, একটি ভেক্টর রাশি $\vec{A}=4 \hat{i}-3 \hat{j}$ ;

ক. একক ভেক্টর কী?

খ. $\vec{A}$ কোন সমতলে অবস্থিত ব্যাখ্যা কর।

গ. $\vec{A}$ এর দিকে একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

ঘ. গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে দেখাও যে, $\vec{A}$ এর দিকে প্রাপ্ত একক ভেক্টরের মান এক।

xy সমতলে দুটি ভেক্টর রাশি $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ চিত্রানুযায়ী প্রদত্ত।

ক. চাপ কি স্কেলার?

খ. যে কোনো দুটি ভেক্টর রাশি যোগ করা যাবে কি?

গ. $\vec{A}$. $\vec{B}$ এর মান নির্ণয় কর।

ঘ. $\vec{A}\times \vec{B}$ নির্ণয় করে ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ হিসাব কর এবং প্রাপ্ত কোণ চিত্রে প্রদর্শিত কোণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ কিনা তাঁর যথাযথ ব্যাখ্যা দাও।

নদীতে স্রোত না থাকা অবস্থায় ফারহান তার ইঞ্জিনের নৌকার দ্রুতি 5 km/h পেল। স্রোত আসা অবস্থায় সে নদীর এক পাড় থেকে অপর পাড়ে যেতে চাইল। এজন্য নৌকাটিকে সে স্রোতের সাথে এমন কোণে চালনা করল যে 15 মিনিটে সে সর্বনিম্ন পথে 1 km প্রস্থের নদীর অন্য পাড়ে পৌঁছে যায়।

ক. অবস্থান ভেক্টর/ নাল ভেক্টর/ আয়ত একক ভেক্টর/ একক ভেক্টর কাকে বলে?

খ. $\hat{i}+\hat{j}=2 \hat{k}$ সম্পর্কটি সম্ভব কী?

গ. ফারহান নৌকাটিকে কোনদিকে চালনা করেছিল?

ঘ. নদীতে পানি প্রবাহের দ্রুতি কেমন ছিল? ফারহান কীভাবে নদীর অপর পাড়ে সর্বনিম্ন পথে পৌঁছেছিল তা যথাযথ চিত্রের সাহায্যে প্রকাশ কর।

উপরের চিত্রে xy সমতলের মূলবিন্দুতে $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ ও $\vec{D}$ চারটি ভেক্টর একই সাথে ক্রিয়ারত।

ক. একক ভেক্টর কাকে বলে? /নাল ভেক্টর কাকে বলে?/ অবস্থান ভেক্টর কাকে বলে?/ আয়ত একক ভেক্টর কাকে বলে?

খ. $(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ ভেক্টরটি একক ভেক্টর কী? কোনো একক ভেক্টরের উপাংশের মান 1 হতে বৃহত্তর হতে পারে কি?

গ. $(\vec{A} \times \vec{D}) \cdot(\vec{D} \times \vec{A})=?$

ঘ. $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ ও $\vec{D}$ ভেক্টরগুলোর লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় করে তা লেখচিত্রে যথাযথভাবে স্থাপন কর।

m ভরের কোনো একটি বস্তুকে উল্লম্ব তলে দুটি রশির সাহায্যে সমান বল প্রয়োগে স্থির রাখা হলো। রশি দুটির মধ্যবর্তী কোণ 86° এবং বস্তুটিকে স্থির রাখতে 372 N মানের সোজা ঊর্ধ্বমুখী বল প্রয়োজন ছিলো ।

ক. ভেক্টর রাশির ত্রিভুজ সূত্রটি কী?

খ. $|\vec{A}+\vec{B}|=|\vec{A}|-|\vec{B}|$ সমীকরণ সম্ভব কি?

গ. বস্তুটির ভর m কত ছিলো?

ঘ. প্রত্যেকটি রশিতে কত বল কীভাবে বস্তুটিতে প্রয়োগ করেছিল সে সম্পর্কে যথাযথ চিত্রসহ গাণিতিক বিশ্লেষণ দাও।

সমতল মাঠে রাখা 10 kg ভরের পাথরের সাথে তিনটি রশি অনুভূমিকভাবে বেঁধে তিন ব্যক্তি টানতে শুরু করল। ফলে পাথরটি নির্দিষ্ট দিকে নির্দিষ্ট ত্বরণে চলতে শুরু করল। চতুর্থ ব্যক্তি অতঃপর পাথরটির সাথে আরেকটি রশি বেঁধে একটি নির্দিষ্ট দিকে টানা শুরু করল। ফলে পাথরটি স্থির হয়ে গেলো।

ক. বিপ্রতীপ ভেক্টর কাকে বলে?

খ. $|\vec{A}+\vec{B}|$ ও $|\vec{A}|-|\vec{B}|$ ভেক্টর দুটির সমান হবার শর্ত কী?

গ. প্রথম তিন ব্যক্তির প্রযুক্ত বলের কারণে পাথরটি কোন দিকে কত ত্বরণে চলছিল?

ঘ. চতুর্থ ব্যক্তির প্রযুক্ত বলের মান ও দিক কেমন ছিল তা যথাযথ চিত্রসহকারে গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

তিনটি সমতলীয় ও সমমানের ভেক্টর $\vec{a}, \vec{b}$ ও $\vec{c}$ প্রত্যেকটির মান 50 m এবং ভেক্টরগুলো x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যথাক্রমে 30°, 195° ও 315° কোণে অবস্থিত। চতুর্থ আরেকটি ভেক্টর $\vec{d}$ উপরিউক্ত ভেক্টরগুলোর সাথে যোগ করা হলে $(\vec{a}+\vec{b})-(\vec{c}+\vec{d})=\vec{0}$ হয়।

ক. ভেক্টর যোগের বহুভুজ সূত্রটি কী?

খ. $(\hat{i}+\hat{k})$ ভেক্টরটির সাথে x অক্ষের কোণ কত?

গ. $(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})$ ভেক্টরটির মান নির্ণয় কর বা $|\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}|$ = কত?

ঘ. $\vec{d}$ এর মান ও দিক নির্ণয় কর এবং লেখচিত্রে স্থাপন কর।

চিত্রে $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ ভেক্টরস্থরের মান ও দিক প্ৰদৰ্শিত ।

ক. দুটি ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্রটি বিবৃত কর।

খ. দুটি ভেক্টরের যোগের জন্য ত্রিভুজ সূত্র না-কি সামান্তরিক সূত্র অধিকতর কার্যকরী?

গ. $\vec{A}-\vec{B}=?$

ঘ. $\vec{A} \times \vec{B}$ ভেক্টরটির মান ও দিক নির্ণয় কর এবং তা যথাযথ চিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ কর।