Questions in this chapter

$f(x)=x$ এবং $a, b \in \mathbb{R}$

ক. $|\mathbf{f}(\mathbf{x})|<\mathrm{a}$ হলে, প্রমাণ কর যে, $-\mathrm{a}<\mathrm{f}(\mathrm{x})<\mathrm{a}$ যেখানে $a>0$

খ. প্রমাণ কর যে,$\sqrt{\{\mathrm{f}(\mathrm{a})\}^{2}}=|\mathrm{f}(\mathrm{a})|$

গ. প্রমাণ কর যে, $|f(a)-f(b)| \leq|f(a)|+|f(b)|$

$f(x)=x-1$ যেখানে $x \in \mathbb{R}$

ক. $-2<2-\mathrm{f}(\mathrm{x})<8$ অসমতাকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর।

খ. $|f(x)|<\frac{1}{10}$ হলে, দেখাও যে, $|f(x) \cdot f(x+2)|<\frac{21}{100}$

গ. $|3 \mathrm{f}(\mathrm{x})-1|<2$ অসমতাকে সমাধান কর এবং সমাধান সেট.

সংখ্যারেখায় দেখাও।

দৃশ্যকল্প-১ : $f(x)=|x-3|$

দৃশ্যকল্প-২ : $4 x+y \geq 16,4 x+7 y \geq 40, x, y \geq 0$

ক. $-4<2 x-1<12$ কে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর ৷

খ.$f(\mathrm{x})<\frac{1}{5}$ হলে দেখাও যে; $f\left(x^{2}-6\right)<\frac{31}{25}$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে লেখচিত্রের সাহায্যে $\mathrm{Z}=4 \mathbf{x} +2 y$

এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করো।

দৃশ্যকল্প-১ : $\mathrm{L}=\left\{\mathrm{x} \in \mathrm{R}: 2 \mathrm{x}^{2}+5 \mathrm{x}<0\right\}$

দৃশ্যকল্প-২ : $f(x)=x^{2}-x$

ক. সমাধান কর : $|2 x-7|>5$

খ. $L$ এর সমাধান সেটের অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর ।

গ. সংখ্যারেখার সাহায্যে $f(x) \leq 0$ এর সমাধান কর ।

$f(x)=x-1$ যেখানে $x \in \mathbb{R}$

ক. $-2<2-\mathrm{f}(\mathrm{x})<8$ অসমতাকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর।

খ. $|f(x)|<\frac{1}{10}$ হলে, দেখাও যে, $|f(x) \cdot f(x+2)|<\frac{21}{100}$

গ. $|3 \mathrm{f}(\mathrm{x})-1|<2$ অসমতাকে সমাধান কর এবং সমাধান সেট.

সংখ্যারেখায় দেখাও।

$f(x)=a x+b y+c, g(x)=I x+m y+n$

ক. $|2 x-1|<\frac{1}{3}$ এর সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও ।

খ. উদ্দীপকে $a=1, b=c=0,|f(x)-1|<\frac{1}{11}$ হলে, প্রমাণ কর

যে, $\left|\{f(x)\}^{2}-1\right|<\frac{23}{121}$

গ. $\mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=-1, \mathrm{c}=2, f(\mathrm{x}) \geq 0, l=1, \mathrm{~m}=1, \mathrm{n}=-4, \mathrm{~g}(\mathrm{x}) \leq 0$

এবং $x, y \geq 0$ হলে, $z=x+2 y$ এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর ।

$f(x)=x-1$ যেখানে $x \in \mathbb{R}$

ক. $-2<2-\mathrm{f}(\mathrm{x})<8$ অসমতাকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর।

খ. $|f(x)|<\frac{1}{10}$ হলে, দেখাও যে, $|f(x) \cdot f(x+2)|<\frac{21}{100}$

গ. $|3 \mathrm{f}(\mathrm{x})-1|<2$ অসমতাকে সমাধান কর এবং সমাধান সেট.

সংখ্যারেখায় দেখাও।

$f(x)=5 x^{2}-16 x+3$ এবং $g(x)=x(x-3)$

ক. $x \in \mathbb{R}_{+}$ হলে, $y=x^{2}$ এর লেখচিত্র মুক্তহস্তে অঙ্কন কর।

খ. $S=\{x: f(x)<0\}$ সেটের সুপ্রিমাম এবং ইনফিমাম নির্ণয় কর।

গ. লেখচিত্রের সাহায্যে $f(x) < 4g(x)$ অসমতাটির সমাধান কর।

দৃশ্যকল্প-১ : $x=p+3, p \in R$

দৃশ্যকল্প-২ : $f(x)=x-2$

ক. $S=\left\{x \in R: 3 x^{2}-7 x+2<0\right\}$ হলে, $S$ এর বৃহত্তম নিম্নসীমা এবং ক্ষুদ্রতম

ঊর্ধ্বসীমা নির্ণয় কর ।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে $|\mathrm{p}|<\frac{1}{2}$ হলে দেখাও যে, $|p(p+6)|<\frac{13}{4} .$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে লেখচিত্রের সাহায্যে $z=f(2 x)-f(y)$ এর সর্বনিম্ন

মান নির্ণয় কর যেখানে $f(x)+f(y) \leq 1, f(x)+f(2 \mathrm{y}) \leq 2, f(4 \mathrm{x})+f(3 \mathrm{y})+2 \geq 0, \mathrm{x} \geq 0, \mathrm{y} \geq 0$

দৃশ্যকল্প-১: $f(x)=2 x+1, g(x)=3 x-1$

দৃশ্যকল্প-২ : $3 y-x \leq 5 ; x+y \leq 6 ; x-y \leq 2$

ক. সমাধান কর : $\frac{1}{|2 x-3|}>5\left(x \neq \frac{3}{2}\right)$

খ. $\frac{f(x)}{g(x)}<\frac{g(x)+2}{f(x)-2}$ অসমতার সমাধান করে সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও।

গ. $x, y \geq 0$ এর জন্য দৃশ্যকল্প (ii) এর অসমতা জোটের সমাধান সেটের লেখচিত্র অঙ্কন কর।

$f(x)=x-2$ এবং $a=p \omega^{2}+q+r \omega, b=p \omega+q+r \omega^{2}$

ক. সমাধান সেট নির্ণয় কর $:|3 x-2|>7$

খ. যদি $a^{3}+b^{3}=0$ হয় তবে প্রমাণ কর যে,

$2 p=q+r, 2 q=r+p$ এবং $2 \mathrm{r}=\mathrm{p}+\mathrm{q}$

গ. $\frac{f(x)}{f(x+2)}<\frac{f(x+3)}{f(x+4)}$ অসমতাটির সমাধান করে সমাধান সেট

সংখ্যারেখায় দেখাও।

$x, y, z \in R, x z=y z$ এবং $f(x)=x+2$

ক. $\mathbf{M}=\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}:|\mathbf{x}-2| \leq 7\}$ সেটটির সুপ্রিমাম ও ইনফিমাম বের কর।

খ. $z \neq 0$ হলে দেখাও যে, $x = y$.

গ. যদি $|f(x)-3|<\frac{1}{10}$ হয়, তবে দেখাও যে,

$\left|\{f(x)-2\}^{2}-1\right|<\frac{21}{100}$

$\begin{array}{l}f(x)=x-2, h(x, y)=x+2 y-8 \\g(x, y)=4 x+3 y-12, K(x, y)=x+y-5\end{array}$

ক. $-2 \leq 3 x-1 \leq 8$ অসমতাটি পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর।

খ. $|f(x)+1|<\frac{1}{10}$ হলে দেখাও যে, $\left|x^{2}-1\right|<\frac{21}{100}$

গ. $h(x, y) \leq 0, g(x, y) \geq 0, k(x, y) \leq 0$

এবং $x, y \geq 0$ শর্তে $z=2 x-y$ এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর ।

$\frac{1}{|3 x-5|}>2$ অসমতাটি কখন অসংজ্ঞায়িত? অসমতাটি সমাধান কর এবং সমাধান সেট সংখ্যা রেখাতে দেখাও।

সমাধান কর : $\frac{1}{|5 x+2|} \geq 5$

যদি বাস্তব সংখ্যার একটি উপসেট $\text { (subset) } S=\left\{x: 3 x^{2}-7 x+2<0\right\}$ হয়, তবে $supS$এর মান কত ?

বাস্তব সংখ্যায় $(x – 1 ) ( x + 2 ) > 0$ অসমতার সমাধান সেট নির্ণয় কর।

বাস্তব সংখ্যায় $|1-2 x| \leq 1$ অসমতার সমাধান: সেট নির্ণয় কর।

প্রমাণ কর যে,$|\mathrm{a}-\mathrm{b}| \leq|\mathrm{a}|+|\mathrm{b}|$

100 জন ছাত্র সদস্যের মধ্যে ফুটবল টিম অপেক্ষা ক্রিকেট টিমের সদস্য সংখ্যাই বেশি। যদি ফুটবল সদস্য সংখ্যা 70 জন হয় এবং 20 জন কোন টিমেই না থাকে, তাহলে সর্বনিম্ন কতজন উভয় টিমেরই সদস্য হবে?