Questions in this chapter

যদি $\vec{\mathrm{A}}=2 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}-5 \hat{\mathrm{k}}$ এবং $\vec{\mathrm{B}}=-\hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}}$ এবং $\overrightarrow{\mathbf{C}}=$ $3 \hat{\mathbf{i}}-4 \hat{\mathbf{j}}+7 \hat{\mathrm{k}}$ হয় তবে, $\vec{\mathrm{A}} \cdot \vec{(\mathrm{B}} \times \vec{\mathrm{C}})$ এর মান নির্ণয় কর।

যদি $\vec{A}=2 \hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{k}, \vec{B}=1 \hat{i}+3 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{k}$ এবং $\vec{\mathbf{C}}=-1 \hat{\mathrm{i}}$ $+2 \hat{j}+5 \hat{k}$ হয় তবে, $\vec{\mathrm{A}} \cdot \vec{\mathrm({B}} \times \vec{\mathrm{C}})$ এর মান নির্ণয় কর।

q পরিমাণ আধান $\vec{\mathrm{V}}$ বেগে $\vec{B}$ চৌম্বকক্ষেত্রে প্রবেশ করলে যে চৌম্বক বল অনুভব করে তা হল, $\vec{F}=q \vec{v} \times \vec{B} ;$ সমীকরণটিতে যদি q = $2, \vec{v}=2 \hat{i}+4 \hat{\mathrm{j}}+6 \hat{k}$ এবং $\vec{F}=4 \hat{i}-20 \hat{j}+12 \hat{k})$ এবং $B_{x}=B_{y}$ হয় তৰে ভেক্টর $\vec{\mathrm{B}}=?$

$(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) \cdot(\hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}) \times(\hat{i}+\hat{j}+6 \hat{k})=?$

যদি $\vec{A}=2 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}-5 \hat{k}, \vec{B}=-\hat{i}+2 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}}$ এবং $\vec{\mathrm{C}}=\mathrm{3} \hat{\mathrm{i}}-$ $4 \hat{\mathrm{j}}+7 \hat{\mathrm{k}}$ হয় তবে, $\vec{\mathrm{A}} \cdot (\vec{\mathrm{B}} \times \vec{\mathrm{C}})$ এর মান নির্ণয় কর।

প্রমাণ কর যে, $\vec{A} \times(\vec{B} \times \vec{C})+\vec{B} \times(\vec{C} \times \vec{A})+\vec{C} \times(\vec{A} \times \vec{B})=\vec{0}$

যদি $\hat{{A}}$ ও $\hat{{B}}$ একক ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হয় তবে প্রমাণ কর যে, $\mid \hat{A}-\hat{B} \mid=2 \sin \left(\frac{\theta}{2}\right)$

যদি $\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}=\vec{0}$ হয় তবে প্রমাণ কর যে, $\vec{A} \cdot(\vec{B} \times \vec{C})=0$ প্রমাণ কর যে,

$(\vec{A}+\vec{B}) \cdot[(\vec{B}+\vec{C}) \times(\vec{C} \times \vec{A})=2 \vec{A} \cdot(\vec{B} \times \vec{C})$

যদি $\vec{A}=4 \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}, \vec{B}=2 \hat{i}-10 \hat{j}-7 \hat{k}$ হয় তবে, $\text { (i) }(\vec{\mathrm{A}} \times \vec{\mathrm{B}}) \cdot \vec{\mathrm{C}}$ এবং $\text { (ii) } \vec{\mathrm{A}} \times(\vec{\mathrm{B}} \times \vec{\mathrm{C}})$ নির্ণয় কর।

$\vec{A}=\hat{i}+\sqrt{2} \hat{j}+3 \hat{k}$ ভেক্টরটি z-অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে এবং yz তলে $\vec{A}$ এর উপাংশ তা নির্ণয় করো।

যদি A, B ও C বিন্দুগুলোর অবস্থান ভেক্টরদ্বয় যথাক্রমে $\hat{\mathrm{i}}+$ $2 \hat{\jmath}-3 \hat{k}, 3 \hat{\imath}-4 \hat{\jmath}+5 \hat{k}$ এবং $5 \hat{\imath}-10 \hat{\jmath}+13 \hat{k}$ হয় তবে দেখাও যে $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ভেক্টরদ্বয় সমরৈখিক বা collinear

$\vec{\mathbf{P}}=2 \hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}}-4 \hat{\mathbf{k}}$ এবং $\vec{\mathbf{Q}}=\mathbf{3} \hat{\mathbf{i}}-\mathbf{a} \hat{\mathbf{j}}+\mathbf{b} \hat{\mathbf{k}}$ ভেক্টরদ্বয়ের সমরৈখিক বা সমান্তরাল হবার শর্ত নির্ণয় কর।

একটি নদীতে পশ্চিম হতে পূর্ব দিকে পানি প্রবাহের বেগ 5m/min; স্রোতহীন অবস্থায় একটি লোক 10m/min দ্রুতিতে সাঁতার কাটতে পারেন। যদি লোকটি নদীর দক্ষিণ প্রান্তে যাত্রা শুরু করে উত্তর প্রান্তে সর্বনিম্ন সময়ে ও সর্বনিম্ন পথে পৌঁছতে চায় তবে তাকে কোনদিকে যাত্রা শুরু করতে হবে।

রাফি রোজ সাইকেলে করে কলেজে যায়। সাইকেল চালায় আর ভাবে, সাইকেলের প্যাডেলে সোজা খাড়া নিচের দিকে বল প্রয়োগ করি অথচ সাইকেল সামনের দিকে এগিয়ে যায়। রাফির বন্ধু আল আমিন বিষয়টা সহজ করে দেয়। সে বলে এটি বলের বিভাজন দ্বারাই সম্ভব। নিচের দিকে এ বল দুইটি উপাংশে বিভক্ত হয়ে ক্রিয়া করে। এদের একটি উপাংশ বল সাইকেলকে সামনের দিকে গতিশীল করে ।

গ. F মানের একটি বলকে দুটি অংশে বিশ্লেষণ করলে, একটি অংশ যদি বলটির সমমানের হয় এবং এর সাথে সমকোণ উৎপন্ন করে তবে অপর অংশটির মান ও দিক নির্ণয় কর।

রাফি রোজ সাইকেলে করে কলেজে যায়। সাইকেল চালায় আর ভাবে, সাইকেলের প্যাডেলে সোজা খাড়া নিচের দিকে বল প্রয়োগ করি অথচ সাইকেল সামনের দিকে এগিয়ে যায়। রাফির বন্ধু আল আমিন বিষয়টা সহজ করে দেয়। সে বলে এটি বলের বিভাজন দ্বারাই সম্ভব। নিচের দিকে এ বল দুইটি উপাংশে বিভক্ত হয়ে ক্রিয়া করে। এদের একটি উপাংশ বল সাইকেলকে সামনের দিকে গতিশীল করে।

ঘ. উদ্দীপকের বল F-কে যে কোনো দুই দিকে বিভাজিত করে বিশ্লিস্টাংশদ্বয়ের রাশি দুইটি তুলনা কর ।

ঘ. গুণের টান অপরিবর্তিত থাকলে নৌকাটি নদীর কোন পথ দিয়ে চললে দ্রুত সামনের দিকে এগিয়ে যাবে- বিশ্লেষণ কর।

গ. নৌকাটির গতির বিপরীত দিক থেকে 200 N টানের স্রোত আসায় নৌকাটি নদীতে স্থির হয়ে রইল। গুণের টান নির্ণয় কর।

উদ্দীপকে X ও Y বিন্দু দুইটি কলেজের অবস্থান নির্দেশ করে। O উভয় কলেজের যাত্রা অবস্থানের সাধারণ বিন্দু।

গ. $\overrightarrow{O X}$ ও $\overrightarrow{O Y}$ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

একজন সাঁতারু চিত্রানুযায়ী 1.5 km প্রশস্ত একটি নদী $4\ \mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে স্রোতের সাথে 30° কোণে সাঁতার কাটছে। ওই নদীতে স্রোতের বেগ $2\ \mathrm{kmh}^{-1}$।

গ. সাঁতারুকে নদীর অপর প্রান্তে পৌঁছাতে হলে কত পথ সাঁতার কাটতে হবে?

উদ্দীপকে X ও Y বিন্দু দুইটি কলেজের অবস্থান নির্দেশ করে। O উভয় কলেজের যাত্রা অবস্থানের সাধারণ বিন্দু।

ঘ. $\overrightarrow{O X}, \overrightarrow{O Y}$ এর তলের উপর লম্ব একক ভেক্টর এবং $\overrightarrow{O Y}, \overrightarrow{O X}$ এর তলের উপর লম্ব একক ভেক্টর, একই হবে কি? প্রয়োজনীয় গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে যুক্তি দাও।