Questions in this chapter

দুটি দিক রাশি $\vec{A}_{1}$ এবং $\vec{A}_{2}$ একটি বিন্দুতে একই সময়ে ক্রিয়া করে। $\vec{A}_{1}$ এর মান 4 একক এবং এটি অনুভূমিকের সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। $\vec{A}_{2}$ এর মান 3 একক এবং এটি অনুভূমিক দিকে ক্রিয়াশীল। লব্ধির অনুভূমিক ও উলম্ব অংশ বের কর ।

$\vec{A}=10 \hat{i}+10 \hat{j}-5 \hat{k}$ (ক) $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ এর মান নির্ণয় কর। (খ) $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ এর দিকে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

$\vec{P}=3 \hat{i}-4 \hat{j}-2 \hat{k} ; \vec{Q}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ হলে -

(ক) $\vec{P}+\vec{Q}=$ কত?

(খ) $\vec{P}-\vec{Q}=$ কত?

(গ) $\vec{Q}-\vec{P}=$ কত?

(খ) $\vec{P}$ ও $\vec{Q}$ এর মধ্যবর্তী কোণ কত?

OABC একটি সামান্তরিক। এর সন্নিহিত OA এবং OC, কর্ণ OB এর সাথে যথাক্রমে 30° ও 40° কোণ উৎপন্ন করে। কর্ণের দৈর্ঘ্য 20 সে.মি., OA এবং OC এর দৈর্ঘ্য কত?

ভেক্টর অপারেটরগুলোর নিম্নরূপ বৈশিষ্ট্য রয়েছে –

i. স্কেলার রাশির গ্রেডিয়েন্ট একটি ভেক্টর রাশি

ii. কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স শূন্য হলে ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীল

iii. কোনো ভেক্টরের কার্ল ওই ভেক্টরের ঘূর্ণন নির্দেশ করে

নিচের কোনটি সঠিক?

$\vec{P}=5 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k} ; \vec{Q}=\hat{k}$

(1) $\vec{P} \cdot \vec{Q}=$ কত?

(2) $\vec{P} \times \vec{Q}=$ কত?

দুইটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল 18 একক। এদের ভেক্টর গুণফলের মান $6 \sqrt{3}$ একক। ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?

দুটি ভেক্টর $\vec{A}=\hat{i}-\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$ এবং $\vec{B}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}$ এর ভেক্টর গুণফল এবং এদের মধ্যবতী কোণ নির্ণয় করো।

প্রমাণ কর, $\text { (i) }(\vec{A} \cdot \vec{B})^{2}+|(\vec{A} \times \vec{B})|^{2}=A^{2} B^{2}$

$\text { (ii) }(\vec{A} \cdot \vec{B})^{2}-|(\vec{A} \times \vec{B})|^{2}=A^{2} B^{2}\left(\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta\right)$

$\vec{P}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k} ; \vec{Q}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$; দেখাও যে, $\vec{P}$ এবং $\vec{Q}$ পরস্পর সমান্তরাল।

$\vec{A}=\hat{i}+\hat{j}_{;} \vec{B}=\hat{k}_{};$ দেখাও যে, $\vec{A}$ এবং $\vec{B}$ পরস্পর লম্ব।

a এর মান কত হলে A হলে $\vec{A}=3 \hat{i}+a \hat{j}+\hat{k}$ এবং $\vec{B}=4 \hat{i}+3 \hat{j}$ $-6 \hat{k}$ ভেক্টর রাশি দুটি পরস্পর লম্ব হবে।

$\vec{\mathbf{A}}=\mathbf{3 \mathbf { i }}-\hat{\mathbf{j}}+\mathbf{3 \hat { \mathbf { k } }}$ এবং $\vec{\mathbf{B}}=\hat{\mathbf{i}}-4 \hat{\mathbf{j}}+2 \hat{\mathbf{k}}$ হলে $\vec{\mathbf{A}}$ বরাবর $\vec{\mathbf{B}}$ এর লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় করো।

a এর কোন মানের জন্যে $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ পরস্পর সমান্তরাল হবে যেখানে $\vec{\mathrm{A}}=5 \hat{\imath}+2 \hat{\mathbf{\jmath}}+3 \hat{\mathrm{k}}$ এবং $\vec{B}=15 \hat{i}+a \hat{j}+9 \hat{k}$ ।

একই বিন্দুতে একই সময়ে ক্রিয়ারত দুটি ভেক্টরের মান সমান। দেখাও যে, এদের লব্ধি ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

টর্ক $\vec{\tau}=\vec{\mathrm{r}} \times \vec{\mathrm{F}}$ যদি $\vec{\mathrm{F}}=\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$ এবং $\vec{r}$ ভেক্টরটি ( - 2, 3, 4) ও (1, 2, 3) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব হয় তবে $\vec{\tau}$ = ?

$(\vec{\mathrm{A}}+\vec{\mathrm{B}})$ এবং $(\vec{\mathrm{A}}-\vec{\mathrm{B}})$ এর মধ্যবতী কোণ কত হলে তাদের লব্ধির মান $\sqrt{3 A^{2}+B^{2}}$ হবে ?

দুটি বলের সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান যথাক্রমে 29 kg-wt ও 5kg-wt; যদি প্রত্যেকটি বলের মান 3 kg-wt করে বাড়ানো হয়, তবে নতুন বলদ্বয়ের লব্ধির মান নির্ণয় কর যেন বলদ্বয় পরস্পরের সাথে সমকোণে থাকে।

যদি $\vec{\mathrm{A}}=2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}}$ এবং $\vec{B}=\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}}$ হলে এমন একটি ভেক্টর নির্ণয় কর যা $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর উপর লম্ব এবং যার মান 5 একক।

ভেক্টর $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ কে $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ এর সাথে যোগ করলে $6 \hat{i}+\hat{j}$ এবং ভেক্টর $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ হতে বিয়োগ করলে $-4 \hat{\mathrm{i}}+7 \hat{\mathrm{j}}$ হয়। ভেক্টর $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ এবং তাদের মান নির্ণয় কর।