Questions in this chapter

নিচের চিত্রে দুটি কপিকলের সাহায্যে A, B ও C তিনটি বস্তু ঝুলানো। এদের ভর যথাক্রমে 3 kg, 4 kg ও 5kg। এতে $\angle M O N$ কোণটি সমকোণ হতে দেখা গেল। পরীক্ষার স্থানে অভিকর্ষ ত্বরণের মান $10 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{s}^{-2}$ ।

ক. ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্রটি বিবৃত করো।

খ. স্রোতের নদীতে আড়াআড়ি পাড়ি দিতে চাইলে তা আড়াআড়ি পাড়ি না দিতে পারার কারণ ব্যাখ্যা করো।

গ. যখন ∠MON = 60°, তখন O বিন্দুতে ঊর্ধ্বমুখী বল নির্ণয় করো ।

ঘ. চিত্রের সাহায্যে ও গাণিতিক বিশ্লেষণের সাহায্যে ∠MON কোণটি সমকোণ হওয়ার যথার্থতা নিরূপণ করো।

কোনো এক বৃষ্টির দিনে আসাদ ঘরের দরজায় দাঁড়িয়ে বৃষ্টি দেখছিল। বৃষ্টি উল্লম্বভাবে $6 \mathrm{~km} \cdot \mathrm{h}^{-1}$ বেগে পড়ছিল। এমন সময় আসাদ দেখল এক ব্যক্তি উল্লম্বের সাথে 33.8° কোণে ছাতা ধরে পায় হেঁটে চলছে। অপর এক ব্যক্তি উন্নয়ের সাথে 53.06° কোণে ছাতা ধরে সাইকেলে চলছে। উভয়ই বৃষ্টি থেকে রক্ষা পেল ।

ক. আয়ত একক ভেক্টর কাকে বলে?

খ. লন রোলার ঠেলার সময় আপাত ওজন বেড়ে যায় কেন?

গ. পায়ে হেঁটে চলা ব্যক্তির বেগ নির্ণয় করো।

ঘ. বৃষ্টি থেকে রক্ষা পাওয়ার জন্য ব্যক্তিদ্বয়ের ভিন্ন কোণে ছাতা ধরার কারণ ব্যাখ্যা কর।

একটি বস্তু সুতা দিয়ে দুটি পেরেকের সাহায্যে ওয়ালে চিত্রের ন্যায় ঝুলানো আছে। সুতার টান 10N।

ক. লব্ধি ভেক্টর কী?

খ. একটি বিপ্রতীপ ভেক্টরকে সমরেখ ভেক্টর বলা যেতে পারে ব্যাখ্যা করো।

গ. বস্তুটির ওজন নির্ণয় কর।

ঘ. যদি সুতা হঠাৎ ছিঁড়ে যায় তবে বস্তুটির অতিক্রান্ত দূরত্ব বনাম সময় লেখচিত্র অঙ্কন কর এবং তোমার অঙ্কিত লেখচিত্রের এরূপ প্রকৃতির কারণ ব্যাখ্যা কর।

একজন ব্যক্তি একটি অনুভূমিক মসৃণ তলে একটি ব্লকে তার সর্বোচ্চ চেষ্টা দিয়ে $\vec{F}=(60 \hat{i}+30 \hat{j}) \mathrm{N}$ বলে টানছে।

ক. ভেক্টর অপারেটর কী?

খ. পাখি ওড়ার সময় কীভাবে সামনে এগিয়ে যায়— ব্যাখ্যা করো।

গ. X অক্ষ ও বলের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

ঘ. ঐ ব্যক্তি যদি আরো বেশী দৈর্ঘ্যের দড়ি ব্যবহার করে তবে সে কি কোনো সুবিধা পাবে? তোমার উত্তরের পক্ষে যুক্তি দাও।

$\vec{P}=6 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$ এবং $\vec{Q}=2 \hat{i}+m \hat{j}+8 \hat{k}$ দুটি ভেক্টর।

ক. গ্র্যাডিয়েন্ট কাকে বলে?

খ. $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ 45° হলে দেখাও যে, $\vec{A} \cdot \vec{B}=$ কত?

গ. m এর মান কত হলে উদ্দীপকে বর্ণিত ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে?

ঘ. উদ্দীপকে বর্ণিত ভেক্টরম্বয় কি কোনোভাবে সমান্তরাল হওয়া সম্ভব? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

নিচের চিত্রটি লক্ষ করো এবং প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

ক. একক ভেক্টর কাকে বলে?

খ. মূল বিন্দুর সাপেক্ষে A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর আয়ত একক ভেক্টরের সাহায্যে প্রকাশ করো।

গ. A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবতী কোণ নির্ণয় করো।

ঘ. চিত্রটিকে সরল করে অংকন করো এবং A থেকে একটি বস্তু B তে এলে সরণের x, y, z উপাংশগুলো নির্ণয় কর।

$\vec{A}=2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ এবং $\vec{B}=6 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}$ দুটি ভেক্টর।

ক. স্বাধীন ভেক্টর কী?

খ. একই জাতীয় দুটি ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হতে পারে কিনা তা ব্যাখ্যা করো।

গ. $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় করো।

ঘ. কোন শর্তে দুটি ভেক্টর লম্ব হবে এবং কোন শর্তে সমান্তরাল হবে তা ভেক্টরদ্বয়ের গুণন থেকে কীভাবে জানা যায় মতামত দাও।

$\vec{A}=2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ এবং $\vec{B}=6 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}$ দুটি ভেক্টর।

ক. দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণন কী?

খ. দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে— ব্যাখ্যা করো।

গ. $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় করো।

ঘ. কোন শর্তে দুটি ভেক্টর লম্ব হবে এবং কোন শর্তে সমান্তরাল হবে তা ভেক্টরদ্বয়ের গুণন থেকে কীভাবে জানা যায় মতামত দাও।

$\vec{A}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$ এবং $\vec{B}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ দুটি ভেক্টর।

ক. দুটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণন কাকে বলে?

খ. দুটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না- ব্যাখ্যা করো ।

গ. ভেক্টরদ্বয় যে তলে অবস্থিত তার উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় করো ।

ঘ. দুটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণন থেকে কীভাবে ক্ষেত্র ভেক্টরের ধারণা পাওয়া যায় মতামত দাও ৷

একজন মাঝি $6 \mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে নৌকা চালাতে পারেন । $3 \mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে সরলরেখা বরাবর প্রবাহিত একটি নদীর এপার থেকে ওপারে ঠিক বিপরীত বিন্দুতে তার যাওয়ার প্রয়োজন।

ক. ভেক্টর রাশি কী?

খ. দুটি ভেক্টর রাশির যোগের নিয়ম ব্যাখ্যা কর ।

গ. উদ্দীপকে উল্লেখিত মাঝিকে কোন দিকে নৌকা চালাতে হবে বের কর ।

ঘ. উদ্দীপকের মাঝি যদি সোজা নৌকা চালান তাহলে তিনি কেন বিপরীত বিন্দুতে যেতে পারবেন না- যুক্তি দিয়ে বোঝাও। তিনি সোজা নৌকা চালালে কোন দিকে কত বেগে যাবেন?

রনি ও সানির তর্ক হচ্ছিল যে, দুটি অসমান মানের ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হতে পারে কিনা? রনি বলছিল অবশ্যই পারে, সানি বলছিল কখনোই না, এদের লব্ধির সর্বনিম্ন মান কখনোই শূন্য হবে না বড় জোড় দুটি ভেক্টরের মানের বিয়োগফল হতে পারে।

ক. অবস্থান ভেক্টর কী?

খ. একক ভেক্টর ও অবস্থান ভেক্টরের মধ্যে পার্থক্য ব্যাখ্যা কর।

গ. দেখাও যে, একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুটি ভেক্টর রাশির মান সমান হলে এদের লব্ধি ভেক্টর রাশিদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

ঘ. রনি ও সানির মধ্যে কে সঠিক? গাণিতিকভাবে প্রমাণ কর ।

রেহান কলেজে ভেক্টরের ক্লাস শেষ করে বাসায় ফিরে দেখে তাদের লনে -ঘাস কাটা হচ্ছে আর তার বাবা সেটা তদারকি করছেন। একজন শ্রমিক একটি লন রোলারকে ঠেলে ঠেলে ঘাস কাটছেন আর তার বাবা আরো ভালো করে তাকে ঠেলতে বলছেন। রেহান তার বাবাকে বলল “আব্বু, উনি লন রোলারকে ঠেলছেন কেন? লন রোলারকে ঠেলার চেয়ে টানাতো সহজ এবং সেটা বেশি কার্যকরী হবে।

ক. আয়ত একক ভেক্টর কী?

খ. ভেক্টরের বিভাজন বলতে কী বুঝ?

গ. একটি ভেক্টরকে পরস্পর দুটি লম্ব উপাংশে বিভক্ত কর।

ঘ. রেহান কেন তার বাবাকে লন রোলারকে ঠেলার চেয়ে টানা সহজ বলল- ব্যাখ্যা কর।

নওরিন বলছিল যে, দুটি ভেক্টরকে গুণ করে গুণফল স্কেলার রাশি বা ভেক্টর রাশি উভয়ই পাওয়া যেতে পারে। দুটি ভেক্টর রাশির গুণফল স্কেলার হয় এ কথাটা কিছুতেই নওশিন মানতে পারছিল না। সে কেবলই বলছে দুটি ভেক্টরের গুণফল ভেক্টরই হবে, নওরিন ও নওশিন দুজনেই যুক্তিতর্কে মেতে ওঠল।

ক. আয়ত একক ভেক্টর কী?

খ. চিত্রসহকারে দুটি ভেক্টর রাশির স্কেলার গুণন ও ভেক্টর গুণন ব্যাখ্যা কর।

গ. ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি অবস্থান ভেক্টরের রাশিমালা নির্ণয় কর।

ঘ. $\vec{A}=2 \hat{i}+\hat{j}-6 \hat{k}$ এবং $\vec{B}=4 \hat{i}-6 \hat{j}+5 \hat{k}$ এই ভেক্টর দুটির স্কেলার ও ভেক্টর গুণফল নির্ণয় কর এবং নওরিন ও নওশিনের যুক্তিতর্কের সমাধান দাও।

$\vec{A}=4 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ এবং $\vec{B}=2 \hat{i}-4 \hat{j}-6 \hat{k}$

ক. স্কেলার গুণন কী?

খ. দুটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণফলের দিক কীভাবে পাওয়া যায় ?

গ. $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ -এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

ঘ. যেকোনো দুটি ভেক্টরের গুণফল দিয়ে চারটি বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়- এই উক্তির যথার্থতা প্রমাণ কর।

$\vec{P}$ ও $\vec{Q}$ দুটি ভেক্টর।

ক. ভেক্টর গুণন কী?

খ. দেখাও যে, দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে।

গ. $\vec{P}$ ও $\vec{Q}$ এর লম্ব বরাবর একক ভেক্টর কীভাবে নির্ণয় করবে ব্যাখ্যা কর।

ঘ. কোন শর্তে দুটি ভেক্টর লম্ব হবে আর কোন শর্তে দুটি ভেক্টর সমান্তরাল হবে তা ভেক্টরদ্বয়ের গুণন থেকে কীভাবে জানা যায় বিশ্লেষণ করে বুঝিয়ে দাও।

$\vec{A}=A_{x} \hat{i}+A_{y} \hat{j}+A_{z} \hat{k}$ ও $\vec{B}=B_{x} \hat{i}+B_{y} \hat{j}+B_{z} \hat{k}$ দুটি ভেক্টর।

ক. স্কেলার গুণফল কী?

খ. ডানহাতি স্ক্রু নিয়ম ব্যাখ্যা কর।

গ. $\vec{A}. \vec {B}$ এর জন্য একটি রাশিমালা নির্ণয় কর ।

ঘ. গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে দেখাও যে, ভেক্টরদ্বয় লম্ব হলে $A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z}=0$ হবে এবং ভেক্টরস্বয় সমান্তরাল হলে $\frac{A_{x}}{B_{x}}=\frac{A_{y}}{B_{y}}=\frac{A_{z}}{B_{z}}$ হবে।

একটি বস্তুকে দুটি রশি দিয়ে সমমানের দুটি বল $\vec {P}$ ও $\vec {Q}$ দ্বারা দুটি ভিন্ন দিকে টানা হচ্ছে -

ক. একক ভেক্টর কী?

খ. ভেক্টর বিয়োগের নিয়ম ব্যাখ্যা কর।

গ. দেখাও যে, উদ্দীপকে বর্ণিত বস্তুটি $\vec {P}$ ও $\vec{Q}$ এর দিকের ঠিক মাঝখান দিয়ে যাবে।

ঘ. গাণিতিক বিশ্লেষণের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, সমমানের দুটি ভেক্টরের লব্ধির সর্বোচ্চ মান তাদের যে কোনোটির মানের দ্বিগুণ হবে।

$\vec{A}=4 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{B}}=8 \hat{\mathrm{i}}+\mathrm{mj}+10 \hat{\mathrm{k}}$ ভেক্টর দুটি পরস্পর সমান্তরাল।

ক. আয়ত একক ভেক্টর কী?

খ. $\hat{i} \times \hat{i}$ কেন নাল ভেক্টর ব্যাখ্যা করো।

গ. m এর মান নির্ণয় করো।

ঘ. শুধু m এর মান পরিবর্তন করে $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ ভেক্টর দুটিকে পরস্পর লম্ব করা সম্ভব- গাণিতিক যুক্তিসহ এ কথার যথার্থতা নিরূপণ করো।

কোনো স্থানে বায়ু পূর্বদিকের সাথে 60° কোণে উত্তর দিকে বইছে। বায়ুর বেগের পূর্বমুখী উপাংশ $30 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}$

ক. ভেক্টরের বিভাজন কী?

খ. উপাংশ বলতে কী বুঝ ?

গ. উদ্দীপকে বর্ণিত ঝড়ের বেগের মান কত?

ঘ. একটি ভেক্টরকে পরস্পর লম্ব দুটি উপাংশে বিভাজিত কোন দিকে কোন উপাংশ হবে তা ব্যাখ্যা কর।

$\vec{A}$ ও $\vec{B}$ দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল 25 একক এবং ভেক্টর গুণফলের মান $25 \sqrt{3}$ একক।

ক. সমতলীয় ভেক্টর কী?

খ. ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে কি? ব্যাখ্যা করো।

গ. $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ কত? নির্ণয় করো।

ঘ. উদ্দীপকের তথ্য থেকে ভেক্টর দুটির মান বের করা সম্ভব কি না গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে ব্যাখ্যা করো।