Questions in this chapter

বৃত্তের সমীকরণ:

$\begin{array}{l}\mathrm {x^{2}+y^{2}+6 x+2 y+6=0} \\\mathrm {x^{2}+y^{2}+8 x+y+10=0}\end{array}$

ক. ব্যাসার্ধ $3$ এবং $\mathrm {x^{2}+y^{2}-4 x-6 y=0}$ বৃত্তের সাথে সমকেন্দ্রিক এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকে উল্লিখিত বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যাকে বৃত্তের ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. $(− 3, 2)$ বিন্দু হতে উদ্দীপকের ১ম বৃত্তটির উপর অঙ্কিত স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর ।

ক. $\mathrm {r-2 \cos \theta+4 \sin \theta=0}$ বৃত্তের কেন্দ্র নির্ণয় কর।

খ. এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা $\mathrm Y$-অক্ষকে $\mathrm B$ বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং $\mathrm X$-অক্ষ হতে $\mathrm {AB}$ এর সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা কর্তন করে ।

গ. উদ্দীপকের বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১: $\mathrm {x = 0, y = 0}$ এবং $\mathrm x = 10$ তিনটি সরলরেখার সমীকরণ।

দৃশ্যকল্প-২: $\mathrm {x^{2}+y^{2}-12 x+16 y-69=0}$ এবং $\mathrm {x^{2}+y^{2}-9 x+12 y-59=0}$ দুইটি বৃত্তের সমীকরণ।

ক. $(3, 2)$ বিন্দু থেকে $2 x^{2}+2 y^{2}-6 x-7=0$ বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর সরলরেখা তিনটিকে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

ক. $\mathrm {2 x^{2}+2 y^{2}=0}$ বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর ।

খ. $\mathrm A$ ও $\mathrm B$ বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $( 1, 0 )$ ও $( 9, 0 )$ হলে $\mathrm C$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm {BD}$ এর সমান্তরাল রেখা উদ্দীপকের বৃত্তকে যে বিন্দুতে স্পর্শ করে তা নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১:

দৃশ্যকল্প-২: $\mathrm {3x + 4y - 24 = 0}$ একটি সরলরেখার সমীকরণ।

ক. $\mathrm {x^²+y^²-4y = 0}$ সমীকরণকে পোলার সমীকরণে প্রকাশ কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে $\mathrm {AB}$ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশকে সমান তিনভাবে বিভক্ত করে এমন বিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

$\begin{array}{l}\mathrm { x^{2}+y^{2}+6 x-6 y-31=0 } \dots \quad \dots \quad \dots \text {(i)}\\\mathrm {4 x+3 y+7=0 } \qquad\quad \dots \quad \dots \quad \dots ~ \dots~ \text {(ii)} \\\mathrm { 2 x-5 y+1=0 } \qquad \quad \dots \quad \dots \quad \dots ~ \dots ~\text {(iii)}\end{array}$

ক. $\mathrm {r=\cos \theta-\sin \theta}$ বৃত্তটির কেন্দ্র নির্ণয় কর। -

খ. $\text {(ii)}$ ও $\text {(iii)}$ নং সরলরেখার মধ্যবর্তী স্থূলকোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. $\text {(ii)}$ নং রেখার উপর লম্ব এবং $\text {(i)}$ নং বৃত্তকে স্পর্শ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১: $f(x, y)=3 x-4 y-5$ এবং $g(x, y)=x^{2}+y^{2}-6 x+8 y+9$

দৃশ্যকল্প-২: $(5,3)$ ও $(-5,7)$ বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাস প্রান্তবিন্দু।

ক. $g(x, y)=0$ বৃত্ত দ্বারা y- অক্ষের খণ্ডিত অংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত $f(x, y) = 0$ রেখাটি $g(x, y) = 0$ বৃত্তের একটি স্পর্শক।

গ. দৃশ্যকল্প-২ অনুযায়ী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। নির্ণেয় বৃত্ত ও $f(x, y) = 0$ রেখার ছেদবিন্দু ও

মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণও নির্ণয় কর।

$A(1, 1)$ বিন্দুটি $x^{2}+y^{2}+4 x+6 y-12=0$ বৃত্তের উপর অবস্থিত। রেখাত্রয়ের সমীকরণ $x=0, y=0, x=a$

ক. যদি $x^{2}+y^{2}-4 x-6 y+c=0$ বৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করে, তবে $c$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $A$ বিন্দুগামী ব্যাসের অপর প্রান্তের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। $A$ বিন্দুগামী বৃত্তটির স্পর্শকের সমীকরণও নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকে প্রদত্ত রেখাত্রয়কে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১: $x^{2}+y^{2}-4 x+8 y-16=0$ বৃত্তের একটি জ্যা এর সমীকরণ $4 x+3 y+26=0$

দৃশ্যকল্প-২: $(1, 2)$ কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x-অক্ষকে স্পর্শ করে ।

ক. $r=4 \sin \theta$ বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর বৃত্তটির দুটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রদত্ত জ্যা-এর উপর লম্ব ।

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর । বৃত্তটি দ্বারা y অক্ষের খণ্ডিত অংশের পরিমাণও নির্ণয় কর ।

ক. $r(1+\cos \theta)=2$ সমীকরণকে কার্তেসীয় সমীকরণে প্রকাশ কর ।

খ. $OC$ জ্যাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. $A$ এবং $B$ বিন্দুগামী বৃত্ত x-অক্ষকে স্পর্শ করলে তার সমীকরণ নির্ণয় কর ।

$x^{2}+y^{2}-6 x+2 y+1=0$ ও $x^{2}+y^{2}+4 x+2 y-4=0$ দুটি বৃত্তের সমীকরণ ।

ক. $r=4 \cos \theta$ বৃত্তটির কেন্দ্রের কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকে বর্ণিত প্রথম বৃত্তের একটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা $3 x+4 y-1=0$ এর সমান্তরাল ।

গ. উদ্দীপকে বর্ণিত বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।

ক. $(2, 2)$ বিন্দু হতে $x^{2}+y^{2}+4 x-2 y+4=0$ বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

খ. $C$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শবিন্দু $D$ এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

গ. $AB$ জ্যা বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর ।

ক. $x^{2}+y^{2}=121$ বৃত্তের পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. $P$ ও $Q$ বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তটি কর্তৃক অক্ষদ্বয়ের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর ।

গ. $'O'$ মূলবিন্দু থেকে $A$ ও $B$ বিন্দুগামী বৃত্তের উপর অঙ্কিত অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

ক. $2 x^{2}+2 y^{2}+4 x+6 y+1=0$ বৃত্তটি দ্বারা y অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকের আলোকে বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. মূলবিন্দু থেকে বৃত্তটির অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর ।

ক. $(1, 3)$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত Y-অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. বৃত্তটির একটি জ্যা এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দু $(– 5, 3)$ বিন্দুতে অবস্থিত ।

গ. $OP$ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

$\begin{array}{l}f(x, y)=x^{2}+y^{2}-10 x+6 y+25 \\g(x, y)=x^{2}+y^{2}+6 x-6 y-31 \\h(x, y)=3 x-4 y+5\end{array}$

ক. $g(x, y)=0$ বৃত্তটি x অক্ষ হতে যে পরিমাণ অংশ ছেদ করে তা নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে,$f(x, y)=0$ ও $g(x, y)=0$ বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে ।

গ. $f(x, y)=0$ বৃত্তের দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা $h(x, y)=0$ রেখার উপর লম্ব।

ক. ${ }^{n} \mathrm{C}_{5}={ }^{n} \mathrm{C}_{7}$ হলে ${ }^{n} C_{11}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকের $C$ কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তটি দ্বারা x অক্ষের ছেদাংশ নির্ণয় কর।

গ. $AB$ এর সমীকরণ $f(\mathbf{x})$ হতে $f^{-1}(-2)=n !$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় কর।

$x^{2}+y^{2}-2 x-4 y-4=0.......(i)$

$3 x-4 y-1=0.....(ii)$

ক. $\hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}$ ভেক্টরটি $y$ অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে - তা নির্ণয় কর ।

খ. এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা $(i)$ এ বর্ণিত বৃত্তটির কেন্দ্র

ও $(3, 2)$ বিন্দু দিয়ে যায় এবং x অক্ষকে স্পর্শ করে।

গ. $(i)$ নং বৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা $(ii)$ নং রেখার উপর লম্ব ।

$x^{2}+y^{2}-8 x-6 y+16=0......(i)$

$x^{2}+y^{2}=4......(ii)$

ক. $x^{2}+y^{2}-3 x=0$ বৃত্তটিকে পোলার সমীকরণে প্রকাশ কর ।

খ. উদ্দীপকের বৃত্তদ্বয়ের স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকের বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ তৈরি করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

ক. $4 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ এবং $3 \hat{i}-4 \hat{j}+a \hat{k}$ ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব

হলে, $a$ এর মান কত?

খ. O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের P বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. A ও B বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।