Questions in this chapter

উপরের চিত্রে একটি বর্গের চারটি কৌণিক বিন্দুতে চারটি গোলক রাখা আছে। গোলক চারটির ভর যথাক্রমে $\mathrm{m}_{1}=5.00 \mathrm{~g}, \mathrm{~m}_{2}=3.00 \mathrm{~g}, \mathrm{~m}_{3}$ = 1.00g এবং $\mathrm{m}_{4}=5.00 \mathrm{~g} ; \mathrm{m}_{5}=2.50 \mathrm{~g}$ ভরের আরেকটি গোলক বর্গের কেন্দ্রে রাখা আছে। বর্গের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 20.0 cm দেয়া আছে।

ঘ. $\mathrm{m}_{5}$ ভরের গোলকটির উপর লব্ধি বলের মান ও দিক যথাযথভাবে চিত্রের সাহায্যে প্রকাশ কর।

শিক্ষক শ্রেণিকক্ষে মহাকর্ষীয় বিভব ও মহাকর্ষীয় বিভবশক্তি বুঝিয়ে গাণিতিকভাবে দেখালেন M এর জন্য r দূরে মহাকর্ষীয় বিভব ও মহাকর্ষীয় বিভবশক্তি যথাক্রমে $V=-\frac{G M}{r}$ এবং $\mathrm{U}=-\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{r}}, \mathrm{m}$ হলো M হতে r দূরে স্থাপিত বস্তুর ভর। এরপর বোর্ডে তিনি উপরিউক্ত বর্ণটি আঁকলেন যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য d = 0.600 m; বর্গের চারটি কৌণিক বিন্দুতে m = 20.0 g ভর স্থাপন করা হয়েছে বলে বুঝিয়ে দিলেন। দ্বিতীয়বার তিনি বর্গের আকৃতি ছোট করে প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 0.200 m করে উভয়ক্ষেত্রেই বিভব ও বিভবশক্তির পরিবর্তন নির্ণয় করতে বললেন। এতে বেশ কিছু ছাত্রছাত্রী শিক্ষকের প্রদত্ত সমস্যা সমাধান করতে সক্ষম হলো। উল্লেখ্য যে, কেন্দ্রে স্থাপিত ভর 9.54 gm।

গ. প্রথমক্ষেত্রে মহাকর্ষীয় বিভব ও বিভবশক্তি কীরূপ ছিল?

শিক্ষক শ্রেণিকক্ষে মহাকর্ষীয় বিভব ও মহাকর্ষীয় বিভবশক্তি বুঝিয়ে গাণিতিকভাবে দেখালেন M এর জন্য r দূরে মহাকর্ষীয় বিভব ও মহাকর্ষীয় বিভবশক্তি যথাক্রমে $V=-\frac{G M}{r}$ এবং $\mathrm{U}=-\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{r}}, \mathrm{m}$ হলো M হতে r দূরে স্থাপিত বস্তুর ভর। এরপর বোর্ডে তিনি উপরিউক্ত বর্ণটি আঁকলেন যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য d = 0.600 m; বর্গের চারটি কৌণিক বিন্দুতে m = 20.0 g ভর স্থাপন করা হয়েছে বলে বুঝিয়ে দিলেন। দ্বিতীয়বার তিনি বর্গের আকৃতি ছোট করে প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 0.200 m করে উভয়ক্ষেত্রেই বিভব ও বিভবশক্তির পরিবর্তন নির্ণয় করতে বললেন। এতে বেশ কিছু ছাত্রছাত্রী শিক্ষকের প্রদত্ত সমস্যা সমাধান করতে সক্ষম হলো। উল্লেখ্য যে, কেন্দ্রে স্থাপিত ভর 9.54 gm।

ঘ. দ্বিতীয়ক্ষেত্রে মহাকর্ষীয় বিভব ও বিভবশক্তির কেন এবং কীরূপ পরিবর্তন হয়েছিল সে সম্পর্কে তোমার যুক্তিসঙ্গত ধারণা ব্যক্ত কর ।

যে কোনো গ্রহের মুক্তিবেগ, $\mathrm{v}_{e}=\sqrt{2 \mathrm{gR}}=\sqrt{\frac{2 \mathrm{GM}}{\mathrm{R}}},$ যেখানে, M = গ্রহটির ভর, R = গ্রহের ব্যাসার্ধ এবং g ঐ গ্রহের অভিকর্ষীয় ত্বরণ। মঙ্গল ও পৃথিবীর গড় ব্যাস যথাক্রমে $6.9 \times 10^{3}$ km ও $1.3 \times 10^{4} \mathrm{~km}$ এ ছাড়া মঙ্গলের ভর পৃথিবীর ভরের 0.11 গুণ।

গ. মঙ্গলের মুক্তিবেগ কত?

যে কোনো গ্রহের মুক্তিবেগ, $\mathrm{v}_{e}=\sqrt{2 \mathrm{gR}}=\sqrt{\frac{2 \mathrm{GM}}{\mathrm{R}}},$ যেখানে, M = গ্রহটির ভর, R = গ্রহের ব্যাসার্ধ এবং g ঐ গ্রহের অভিকর্ষীয় ত্বরণ। মঙ্গল ও পৃথিবীর গড় ব্যাস যথাক্রমে $6.9 \times 10^{3}$ km ও $1.3 \times 10^{4} \mathrm{~km}$ এ ছাড়া মঙ্গলের ভর পৃথিবীর ভরের 0.11 গুণ।

ঘ. মঙ্গলের মুক্তিবেগ পৃথিবীর মুক্তিবেগের থেকে কতগুণ বেশি এবং কেন? তার যুক্তিসঙ্গত ব্যাখ্যা দাও।

বিখ্যাত নভোচারী ড. ওয়াসিফের জানা ছিল পৃথিবীর পৃষ্ঠ হতে কোন বস্তুর মুক্তিবেগের মান 11.2 km/s এবং কোন বস্তুর মুক্তিবেগ বস্তুর ভরের উপর নির্ভর করে না। অতঃপর মহাশূন্যে ভ্রমণের জন্য ওয়াসিফ 1000 kg ভরের একটি নভোযান তৈরি করল যা পৃথিবীর মাধ্যাকর্ষণ বলকে অতিক্রম করতে সক্ষম। অতঃপর সে ঐ নভোযান নিয়ে এমন একটি রহস্যময় গ্রহে অবতরণ করল যার ভর ও ব্যাসার্ধ যথাক্রমে- পৃথিবীর ভর ও ব্যাসার্ধের $\frac{1}{4}$ গুণ ও $\frac{1}{2}$ গুণ । ড. ওয়াসিফ পূর্বেই হিসাব করে রেখেছিল, সে তার নির্মিত নভোযানের মাধ্যমে ঐ রহস্যময় গ্রহ হতে বের হতে সক্ষম হবে।

গ. পৃথিবী পৃষ্ঠ হতে মুক্তি পাবার জন্য ওয়াসিফের নভোযানের সর্বনিম্ন কত গতিশক্তির প্রয়োজন ছিল?

বিখ্যাত নভোচারী ড. ওয়াসিফের জানা ছিল পৃথিবীর পৃষ্ঠ হতে কোন বস্তুর মুক্তিবেগের মান 11.2 km/s এবং কোন বস্তুর মুক্তিবেগ বস্তুর ভরের উপর নির্ভর করে না। অতঃপর মহাশূন্যে ভ্রমণের জন্য ওয়াসিফ 1000 kg ভরের একটি নভোযান তৈরি করল যা পৃথিবীর মাধ্যাকর্ষণ বলকে অতিক্রম করতে সক্ষম। অতঃপর সে ঐ নভোযান নিয়ে এমন একটি রহস্যময় গ্রহে অবতরণ করল যার ভর ও ব্যাসার্ধ যথাক্রমে- পৃথিবীর ভর ও ব্যাসার্ধের $\frac{1}{4}$ গুণ ও $\frac{1}{2}$ গুণ । ড. ওয়াসিফ পূর্বেই হিসাব করে রেখেছিল, সে তার নির্মিত নভোযানের মাধ্যমে ঐ রহস্যময় গ্রহ হতে বের হতে সক্ষম হবে।

ঘ. রহস্যময় গ্রহ হতে ড. ওয়াসিফ তার নভোযানের মাধ্যমে মুক্ত হতে পেরেছিল কী-না সে সম্পর্কে তোমার যথাযথ যুক্তিসঙ্গত ব্যাখ্যা দাও।

বাংলাদেশের মহাকাশ বিজ্ঞানীগণ 10,000 kg ভরের একটি কৃত্রিম উপগ্রহকে ২০১৫ সালের ১ জানুয়ারি পৃথিবীর কেন্দ্র হতে $2 R_{E}$ দূরত্বে সফলভাবে স্থাপন করলেন যেন উপগ্রহটি পৃথিবীকে কেন্দ্র করে বৃত্তকার পথে ঘুরতে পারে। ২০১৭ সালে আরো আধুনিক কার্যক্রমের জন্য বিজ্ঞানীগণ সিদ্ধান্ত নেন, কৃত্রিম উপগ্রহটিকে পৃথিবীর কেন্দ্র হতে $3 R_{E}$ দূরত্বে বৃত্তাকার কক্ষপথে স্থানান্তর করতে হবে। ঐ স্থানান্তরের জন্য তারা প্রয়োজনীয় কাজ সফলতার সাথে সম্পন্ন করলেন। বিজ্ঞানীদের জানা ছিল পৃথিবীর ব্যাসার্ধ ও ভর যথাক্রমে, $R_{E}$ $=6.4 \times 10^{6} \mathrm{~m}$ এবং $M_{E}=6 \times 10^{24} \mathrm{~kg}$ প্রায়।

গ. কৃত্রিম উপগ্রহটিকে পৃথিবীর কেন্দ্র হতে $2 R_{E}$ থেকে $3 R_{E}$ দূরত্বে সরাতে কৃতকাজ নির্ণয় কর।

বাংলাদেশের মহাকাশ বিজ্ঞানীগণ 10,000 kg ভরের একটি কৃত্রিম উপগ্রহকে ২০১৫ সালের ১ জানুয়ারি পৃথিবীর কেন্দ্র হতে $2 R_{E}$ দূরত্বে সফলভাবে স্থাপন করলেন যেন উপগ্রহটি পৃথিবীকে কেন্দ্র করে বৃত্তকার পথে ঘুরতে পারে। ২০১৭ সালে আরো আধুনিক কার্যক্রমের জন্য বিজ্ঞানীগণ সিদ্ধান্ত নেন, কৃত্রিম উপগ্রহটিকে পৃথিবীর কেন্দ্র হতে $3 R_{E}$ দূরত্বে বৃত্তাকার কক্ষপথে স্থানান্তর করতে হবে। ঐ স্থানান্তরের জন্য তারা প্রয়োজনীয় কাজ সফলতার সাথে সম্পন্ন করলেন। বিজ্ঞানীদের জানা ছিল পৃথিবীর ব্যাসার্ধ ও ভর যথাক্রমে, $R_{E}$ $=6.4 \times 10^{6} \mathrm{~m}$ এবং $M_{E}=6 \times 10^{24} \mathrm{~kg}$ প্রায়।

ঘ. বিজ্ঞানীদের কেন কাজ করতে হয়েছিল এবং সে কাজ কৃত্রিম উপগ্রহের শক্তি কতটুকু বৃদ্ধি বা হ্রাস করেছিল সে সম্পর্কে তোমার যুক্তিসঙ্গত মতামত দাও৷

মহাকশ বিজ্ঞানী ড. ফারহান সাদিক 5000 kg ভরের একটি মহাশূন্যযান এবং আনুষঙ্গিক রকেট নির্মাণ করলেন যা পৃথিবীর মহাকর্ষীয় আকর্ষণ বলকে অতিক্রম করে চলে যেতে পারে। ঐ রকেট ব্যবহার করে তিনি মহাশূন্যযানটিকে সাফল্যের সাথে মহাশূন্যে পাঠালেন। দ্বিতীয়বার তিনি 10,000 kg ভরের মহাশূন্যযান নির্মাণ করে পূর্বের একই রকেট ব্যবহার করলেন। কিন্তু এবার নভোযানটির উৎপক্ষেপণে তিনি ব্যর্থ হলেন। ড. ফারহানের জানা ছিল পৃথিবীর ভর, $\mathrm{M}_{\mathrm{E}}=5.98 \times 10^{24} \mathrm{~kg}$ পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $\mathrm{R}_{\mathrm{E}}=6.38 \times 10^{6} \mathrm{~m}$ এবং মুক্তিবেগ বস্তুর ওপর নির্ভর করে না।

গ. প্রথম মহাশূন্যযানের মুক্তিবেগ কেমন ছিল?

মহাকশ বিজ্ঞানী ড. ফারহান সাদিক 5000 kg ভরের একটি মহাশূন্যযান এবং আনুষঙ্গিক রকেট নির্মাণ করলেন যা পৃথিবীর মহাকর্ষীয় আকর্ষণ বলকে অতিক্রম করে চলে যেতে পারে। ঐ রকেট ব্যবহার করে তিনি মহাশূন্যযানটিকে সাফল্যের সাথে মহাশূন্যে পাঠালেন। দ্বিতীয়বার তিনি 10,000 kg ভরের মহাশূন্যযান নির্মাণ করে পূর্বের একই রকেট ব্যবহার করলেন। কিন্তু এবার নভোযানটির উৎপক্ষেপণে তিনি ব্যর্থ হলেন। ড. ফারহানের জানা ছিল পৃথিবীর ভর, $\mathrm{M}_{\mathrm{E}}=5.98 \times 10^{24} \mathrm{~kg}$ পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $\mathrm{R}_{\mathrm{E}}=6.38 \times 10^{6} \mathrm{~m}$ এবং মুক্তিবেগ বস্তুর ওপর নির্ভর করে না।

ঘ. প্রথমক্ষেত্রে ড. ফারহান সফল হলেও দ্বিতীয়ক্ষেত্রে কেন ব্যর্থ হয়েছিলেন সে সম্পর্কে তোমার যুক্তিসঙ্গত মতামত দাও ।

ভূপৃষ্ঠে এক বিজ্ঞানী তার ওজন পরিমাপ যন্ত্রে নিজের ওজন পরিমাপ করে 600 N পেল। অতঃপর তিনি বেলুনে চড়ে ভূপৃষ্ঠ হতে ক্রমশ উপরে উঠতে থাকলেন। কিছুক্ষণ পর তিনি পর্যবেক্ষণ করলেন তার ওজন 0.303 N কমে গেছে। প্রাপ্ত ফলাফল হতে তিনি বেলুনটির ঐ মুহূর্তের উচ্চতা নির্ণয় করলেন। আরো বেশ কিছু উপরে উঠার পর তিনি ওজন পরিমাপ করে দেখলেন এবার তার ওজন ভূপৃষ্ঠের ওজনের $\frac{1}{64}$ অংশ হয়ে গেছে। বিজ্ঞানীর জানা ছিল পৃথিবীর গড় ব্যাসার্ধ 6.37$\times 10^{6} \mathrm{~m}$।

গ. প্রথমক্ষেত্রে বেলুনটির উচ্চতা কেমন ছিল?

ভূপৃষ্ঠে এক বিজ্ঞানী তার ওজন পরিমাপ যন্ত্রে নিজের ওজন পরিমাপ করে 600 N পেল। অতঃপর তিনি বেলুনে চড়ে ভূপৃষ্ঠ হতে ক্রমশ উপরে উঠতে থাকলেন। কিছুক্ষণ পর তিনি পর্যবেক্ষণ করলেন তার ওজন 0.303 N কমে গেছে। প্রাপ্ত ফলাফল হতে তিনি বেলুনটির ঐ মুহূর্তের উচ্চতা নির্ণয় করলেন। আরো বেশ কিছু উপরে উঠার পর তিনি ওজন পরিমাপ করে দেখলেন এবার তার ওজন ভূপৃষ্ঠের ওজনের $\frac{1}{64}$ অংশ হয়ে গেছে। বিজ্ঞানীর জানা ছিল পৃথিবীর গড় ব্যাসার্ধ 6.37$\times 10^{6} \mathrm{~m}$।

ঘ. দ্বিতীয়ক্ষেত্রে বিজ্ঞানীর ওজন কেন প্রথমক্ষেত্রের তুলনায় কত বেশি পরিবর্তিত হয়েছিল তা যথাযথ যুক্তিসহ বর্ণনা কর।

একজন শিক্ষার্থী 80 N/m স্প্রিং-ধ্রুবক বিশিষ্ট একটি স্প্রিংয়ের এক প্রান্ত দেয়ালে আটকিয়ে মুক্ত প্রান্তকে x = 0 হতে $x_{1}=4$ cm পর্যন্ত টেনে লম্বা করল। অতঃপর সে আরো অতিরিক্ত বল প্রয়োগে মুক্তপ্রান্তকে $\mathrm{x}_{1}=4 \mathrm{~cm}$ হতে $\mathrm{x}_{2}=7 \mathrm{~cm}$ পর্যন্ত টেনে লম্বা করল এবং উভয়ক্ষেত্রের জন্য সরণ বনাম বল লেখচিত্র অঙ্কন করে প্রাপ্ত লেখচিত্র হতে দ্বিতীয়ক্ষেত্রের কাজের মান সঠিকভাবে হিসাব করল।

গ. প্রথমক্ষেত্রে শিক্ষার্থীর কর্তৃক কৃতকাজ কেমন ছিল?

5kg ভরের দুটি গোলককে পরস্পর হতে 2m দূরে স্থাপন করলে যদি আকর্ষণ বলের মান $41.67 \times 10^{-11} \mathrm{~N}$ হয়, তবে মহাকর্ষীয় ধ্রুবকের মান কত হবে?

একজন শিক্ষার্থী 80 N/m স্প্রিং-ধ্রুবক বিশিষ্ট একটি স্প্রিংয়ের এক প্রান্ত দেয়ালে আটকিয়ে মুক্ত প্রান্তকে x = 0 হতে $x_{1}=4$ cm পর্যন্ত টেনে লম্বা করল। অতঃপর সে আরো অতিরিক্ত বল প্রয়োগে মুক্তপ্রান্তকে $\mathrm{x}_{1}=4 \mathrm{~cm}$ হতে $\mathrm{x}_{2}=7 \mathrm{~cm}$ পর্যন্ত টেনে লম্বা করল এবং উভয়ক্ষেত্রের জন্য সরণ বনাম বল লেখচিত্র অঙ্কন করে প্রাপ্ত লেখচিত্র হতে দ্বিতীয়ক্ষেত্রের কাজের মান সঠিকভাবে হিসাব করল ।

ঘ. দ্বিতীয়ক্ষেত্রে শিক্ষার্থী কৃতকাজ প্রথমক্ষেত্রের তুলনায় কতগুণ ছিল তা গাণিতিকভাবে দেখাও এবং উভয়ক্ষেত্রে সরণ বনাম বল লেখচিত্র কেমন ছিল তা যথাযথ চিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ কর। (শিক্ষার্থী সরণ বনাম বলের লেখচিত্র হতে কীভাবে দ্বিতীয়ক্ষেত্রের কাজের হিসাব করেছিল এবং তা প্রথমক্ষেত্রের তুলনায় কতক্ষণ ছিল তা যুক্তিসঙ্গত ব্যাখ্যা দাও।

একটি বস্তুর ভর 12 মিলিগ্রাম। পৃথিবীর কেন্দ্রের দিকে বস্তুটি কত বলে আকৰ্ষিত হবে? অভিকর্ষীয় ত্বরণ, $\mathrm{g}=9.8 \mathrm{~ms}^{-2}$ ।

পৃথিবীর অভিকর্ষীয় ত্বরণ, $\mathrm{g}=9.8 \mathrm{~ms}^{-2}$ এবং ব্যাসার্ধ R = 6400km। একটি বস্তুর মুক্তিবেগ নির্ণয় করো ।

চন্দ্রের ভর পৃথিবীর ভরের $\frac{1}{80}$ ভাগ। চন্দ্রের ব্যাসার্ধ পৃথিবীর ব্যাসার্ধের $\frac{1}{4}$ ভাগ। পৃথিবী পৃষ্ঠে অভিকর্ষীয় ত্বরণের মান $9.8 \mathrm{~ms}^{-2}$ হলে -

(ক) চন্দ্রপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান বের করো;

(খ) ভূ-পৃষ্ঠে কোনো লোকের ওজন 670 N হলে তিনি চন্দ্রে গিয়ে কতটুকু ওজন হারাবেন?

পৃথিবীকে $6.4 \times 10^{6} \mathrm{~m}$ ব্যাসার্ধের এবং 5.5 gm/cc ঘনত্বের একটি গোলক মনে করে এর পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান বের করো। $G=6.7 \times 10^{-11} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{kg}^{2}$ ।