Questions in this chapter

ভর, বেগ, ত্বরণ, সরণ, সময় ইত্যাদি ভৌত রাশিসমূহকে দু'ভাগে ভাগ করা যায়। যাদের কেবলমাত্র মান আছে তা হল স্কেলার এবং যাদের মান ও দিক উভয়ই আছে তা হল ভেক্টর। যে কোনো ভেক্টর রাশিকে $\hat{i}, \hat{j}$ ও $\hat{k}$ উপাংশের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়। ধরা যাক, একটি ভেক্টর রাশি $\vec{A}=4 \hat{i}-3 \hat{j}$ ;

ঘ. গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে দেখাও যে, $\vec{A}$ এর দিকে প্রাপ্ত একক ভেক্টরের মান এক।

xy সমতলে দুটি ভেক্টর রাশি $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ চিত্রানুযায়ী প্রদত্ত।

গ. $\vec{A}$. $\vec{B}$ এর মান নির্ণয় কর।

xy সমতলে দুটি ভেক্টর রাশি $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ চিত্রানুযায়ী প্রদত্ত।

ঘ. $\vec{A}\times \vec{B}$ নির্ণয় করে ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ হিসাব কর এবং প্রাপ্ত কোণ চিত্রে প্রদর্শিত কোণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ কিনা তাঁর যথাযথ ব্যাখ্যা দাও।

নদীতে স্রোত না থাকা অবস্থায় ফারহান তার ইঞ্জিনের নৌকার দ্রুতি 5 km/h পেল। স্রোত আসা অবস্থায় সে নদীর এক পাড় থেকে অপর পাড়ে যেতে চাইল। এজন্য নৌকাটিকে সে স্রোতের সাথে এমন কোণে চালনা করল যে 15 মিনিটে সে সর্বনিম্ন পথে 1 km প্রস্থের নদীর অন্য পাড়ে পৌঁছে যায়।

ঘ. নদীতে পানি প্রবাহের দ্রুতি কেমন ছিল? ফারহান কীভাবে নদীর অপর পাড়ে সর্বনিম্ন পথে পৌঁছেছিল তা যথাযথ চিত্রের সাহায্যে প্রকাশ কর।

নদীতে স্রোত না থাকা অবস্থায় ফারহান তার ইঞ্জিনের নৌকার দ্রুতি 5 km/h পেল। স্রোত আসা অবস্থায় সে নদীর এক পাড় থেকে অপর পাড়ে যেতে চাইল। এজন্য নৌকাটিকে সে স্রোতের সাথে এমন কোণে চালনা করল যে 15 মিনিটে সে সর্বনিম্ন পথে 1 km প্রস্থের নদীর অন্য পাড়ে পৌঁছে যায়।

গ. ফারহান নৌকাটিকে কোনদিকে চালনা করেছিল?

উপরের চিত্রে xy সমতলের মূলবিন্দুতে $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ ও $\vec{D}$ চারটি ভেক্টর একই সাথে ক্রিয়ারত।

গ. $(\vec{A} \times \vec{D}) \cdot(\vec{D} \times \vec{A})=?$

উপরের চিত্রে xy সমতলের মূলবিন্দুতে $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ ও $\vec{D}$ চারটি ভেক্টর একই সাথে ক্রিয়ারত।

ঘ. $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ ও $\vec{D}$ ভেক্টরগুলোর লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় করে তা লেখচিত্রে যথাযথভাবে স্থাপন কর।

m ভরের কোনো একটি বস্তুকে উল্লম্ব তলে দুটি রশির সাহায্যে সমান বল প্রয়োগে স্থির রাখা হলো। রশি দুটির মধ্যবর্তী কোণ 86° এবং বস্তুটিকে স্থির রাখতে 372 N মানের সোজা ঊর্ধ্বমুখী বল প্রয়োজন ছিলো ।

গ. বস্তুটির ভর m কত ছিলো?

m ভরের কোনো একটি বস্তুকে উল্লম্ব তলে দুটি রশির সাহায্যে সমান বল প্রয়োগে স্থির রাখা হলো। রশি দুটির মধ্যবর্তী কোণ 86° এবং বস্তুটিকে স্থির রাখতে 372 N মানের সোজা ঊর্ধ্বমুখী বল প্রয়োজন ছিলো ।

ঘ. প্রত্যেকটি রশিতে কত বল কীভাবে বস্তুটিতে প্রয়োগ করেছিল সে সম্পর্কে যথাযথ চিত্রসহ গাণিতিক বিশ্লেষণ দাও।

সমতল মাঠে রাখা 10 kg ভরের পাথরের সাথে তিনটি রশি অনুভূমিকভাবে বেঁধে তিন ব্যক্তি টানতে শুরু করল। ফলে পাথরটি নির্দিষ্ট দিকে নির্দিষ্ট ত্বরণে চলতে শুরু করল। চতুর্থ ব্যক্তি অতঃপর পাথরটির সাথে আরেকটি রশি বেঁধে একটি নির্দিষ্ট দিকে টানা শুরু করল। ফলে পাথরটি স্থির হয়ে গেলো।

গ. প্রথম তিন ব্যক্তির প্রযুক্ত বলের কারণে পাথরটি কোন দিকে কত ত্বরণে চলছিল?

সমতল মাঠে রাখা 10 kg ভরের পাথরের সাথে তিনটি রশি অনুভূমিকভাবে বেঁধে তিন ব্যক্তি টানতে শুরু করল। ফলে পাথরটি নির্দিষ্ট দিকে নির্দিষ্ট ত্বরণে চলতে শুরু করল। চতুর্থ ব্যক্তি অতঃপর পাথরটির সাথে আরেকটি রশি বেঁধে একটি নির্দিষ্ট দিকে টানা শুরু করল। ফলে পাথরটি স্থির হয়ে গেলো।

ঘ. চতুর্থ ব্যক্তির প্রযুক্ত বলের মান ও দিক কেমন ছিল তা যথাযথ চিত্রসহকারে গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

তিনটি সমতলীয় ও সমমানের ভেক্টর $\vec{a}, \vec{b}$ ও $\vec{c}$ প্রত্যেকটির মান 50 m এবং ভেক্টরগুলো x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যথাক্রমে 30°, 195° ও 315° কোণে অবস্থিত। চতুর্থ আরেকটি ভেক্টর $\vec{d}$ উপরিউক্ত ভেক্টরগুলোর সাথে যোগ করা হলে $(\vec{a}+\vec{b})-(\vec{c}+\vec{d})=\vec{0}$ হয়।

গ. $(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})$ ভেক্টরটির মান নির্ণয় কর বা $|\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}|$ = কত?

তিনটি সমতলীয় ও সমমানের ভেক্টর $\vec{a}, \vec{b}$ ও $\vec{c}$ প্রত্যেকটির মান 50 m এবং ভেক্টরগুলো x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যথাক্রমে 30°, 195° ও 315° কোণে অবস্থিত। চতুর্থ আরেকটি ভেক্টর $\vec{d}$ উপরিউক্ত ভেক্টরগুলোর সাথে যোগ করা হলে $(\vec{a}+\vec{b})-(\vec{c}+\vec{d})=\vec{0}$ হয়।

ঘ. $\vec{d}$ এর মান ও দিক নির্ণয় কর এবং লেখচিত্রে স্থাপন কর।

চিত্রে $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ ভেক্টরদ্বয়ের মান ও দিক প্ৰদৰ্শিত ।

গ. $\vec{A}-\vec{B}=?$

চিত্রে $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ ভেক্টরস্থরের মান ও দিক প্ৰদৰ্শিত ।

ঘ. $\vec{A} \times \vec{B}$ ভেক্টরটির মান ও দিক নির্ণয় কর এবং তা যথাযথ চিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ কর।

একটি কণার ওপর ক্রিয়াশীল দুটি বেগের মান $10 \mathrm{~ms}^{-1}$ ও $6 \mathrm{~ms}^{-1}$। ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ 60° । লব্ধি বেগের মান ও দিক নির্ণয় করো।

বায়ু ভূমির সমান্তরালে উত্তর দিকে $5 \mathrm{~km}, \mathrm{hr}^{-1}$ বেগে প্রবাহিত হচ্ছে। নিম্নোক্ত দিকসমূহে এর উপাংশ কত?

(ক) পূর্ব দিক, (খ) পশ্চিম দিক, (গ) খাড়া উপরের দিক ।

দুটি দিক রাশির লব্ধির সর্বোচ্চ মান 12 একক এবং সর্বনিম্ন মান 2 একক। রাশিদ্বয়ের মান নির্ণয় করো।

দুটি সমমানের ভেক্টর একটি বিন্দুতে ক্রিয়াশীল। এদের লব্ধির মান যে কোনো একটি ভেক্টরের মানের সমান। ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?

একটি ইঞ্জিন চালিত নৌকার বেগ ঘণ্টায় 14 কিলোমিটার। একটি নদী আড়াআড়ি পার হতে হলে নৌকাটিকে কোন দিকে চালাতে হবে?

(স্রোতের বেগ ঘণ্টায় 7 km)।