Questions in this chapter

দেখাও যে $\vec{A} \cdot(\vec{B} \times \vec{C})=\vec{B} \cdot(\vec{C} \times \vec{A})=\vec{C} \cdot(\vec{A} \times \vec{B})$ যখন $\vec{A}=A_{x} \hat{i}+A_{y} \hat{j}+A_{z} \hat{k_{}}, \vec{B}=B_{x} \hat{i}+B_{y} \hat{j}+B_{z} \hat{k}$ এবং $\vec{c}=c_{\boldsymbol{z}} \hat{i}$ $+C_{y} \hat{j}+C_{\mathbf{x}} \hat{k}$ ।

দুটি ভেক্টর $\vec{P}=\hat{i} t^{2}-\hat{j} t+\hat{k}(2 t+1)$ এবং $\vec{Q}=\hat{i} 5 t+\hat{j} t$ $-\hat{\mathrm{k}}^{3} t^{3}$ হলে $\frac{\mathrm{d}}{d t}(\vec{P} \cdot \vec{Q})$ এবং $\frac{d}{d t}(\vec{P} \times \vec{Q})$ নির্ণয় কর ।

যদি $\varphi=2 x z^{4}-x^{2} y$ হয় তবে $(2,-2,-1)$ বিন্দুতে $\vec{\nabla}_{\varphi}$ এবং এর মান বের কর ।

যদি $\vec{A}=3 x y z \hat{\mathrm{i}}+2 x y^{2} \hat{\mathrm{j}}-x^{2} y z \hat{k}$ হয়, তবে

(ক) $\vec{\nabla} \cdot \vec{A}$ ও $\vec{\nabla} \times \vec{A}$ নির্ণয় কর।

(খ) (1, 1, −1) বিন্দুতে $\vec{\nabla} \cdot \vec{A}, \vec{\nabla} \times \vec{A}$ এবং $|\vec{\nabla} \times \overrightarrow{\mathrm{A}}|$ কত?

যদি $\vec{r}=x \hat{j}+y \hat{i}+2 x \hat{k}$ তাহলে $\vec{\nabla} \cdot \vec{r}=\text { ? }$

যদি $\vec{r}=\left(3 y^{2} z\right) \hat{i}+\left(2 x^{3} z\right) \hat{j}-\left(x^{3} y^{2}\right) \hat{k}$ হলে, দেখাও যে, $\vec{r}$ ভেক্টরটি সলিনয়ডাল।

প্রমাণ কর যে, যে কোনো ভেক্টরের কার্লের ডাইভারজেন্স সব সময়ই শূন্য।

xy তলের উপর এমন একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো যা $\vec{a}=$ $2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$ এর ওপর লম্ব।

তীব্র গরমে অতিষ্ট হয়ে একটি পিঁপড়া কোনো xy সমতলে ছোটাছুটি শুরু করল এবং পরপর চারটি বিন্দুতে গর্ত তৈরি করল। গর্তগুলো x ও y উপাংশ যথাক্রমে (30, 40), ($b_x$, – 70), ( –20, $c_y$ ) এবং ( –80, –70 ) মানগুলো সে. মি-এ প্রকাশিত। পিঁপড়াটির চারটি গর্তের জন্য চূড়ান্ত সরণের x ও y উপাংশ ( –140, –20 ) সে.মি. পাওয়া গেল ।

গ. $b_x$ ও $c_y$ এর মান নির্ণয় করো।

তীব্র গরমে অতিষ্ট হয়ে একটি পিঁপড়া কোনো xy সমতলে ছোটাছুটি শুরু করল এবং পরপর চারটি বিন্দুতে গর্ত তৈরি করল। গর্তগুলো x ও y উপাংশ যথাক্রমে (30, 40), ($b_x$, – 70), ( –20, $c_y$ ) এবং ( –80, –70 ) মানগুলো সে. মি-এ প্রকাশিত। পিঁপড়াটির চারটি গর্তের জন্য চূড়ান্ত সরণের x ও y উপাংশ ( –140, –20 ) সে.মি. পাওয়া গেল।

ঘ. চূড়ান্ত সরণের মান ও দিক লেখচিত্রে প্রকাশ করে, পিঁপড়াটির গতিপথ কোন প্রকৃতির ছিল সে সম্পর্কে তোমার ধারণা ব্যক্ত করো।

$\vec{A}$ ভেক্টরের উপাংশ – 25 m এবং y উপাংশ 40m; ভেক্টরটি x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে θ কোণ উৎপন্ন করে।

গ. $\vec{A}$ এর মান ও θ নির্ণয় করো।

$\vec{A}$ ভেক্টরের উপাংশ – 25 m এবং y উপাংশ 40m; ভেক্টরটি x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে θ কোণ উৎপন্ন করে।

ঘ. ভেক্টরটি যে তলে অবস্থিত সে তলে ভেক্টরটির উপাংশসমূহ যথাযথচিত্রে প্রকাশ কর ।

নদীতে স্রোত না থাকলে ওয়াসিফ 4 km/h দ্রুতিতে সাঁতার কাটতে পারে। স্রোত থাকা অবস্থায় ১ম প্রচেষ্টায় কোন একদিন সে, এপার হতে ওপার সোজাসুজি নদী পার হতে গিয়ে 5 km/h দ্রুতিতে কোনোকুনি পার হল। ২য় প্রচেষ্টায় সে নৌকায় স্রোতের সাথে 120° কোণে যাত্রা করে সোজাসুজি নৌকা পার হল।

গ. স্রোতের বেগ কত ছিল?

নদীতে স্রোত না থাকলে ওয়াসিফ 4 km/h দ্রুতিতে সাঁতার কাটতে পারে। স্রোত থাকা অবস্থায় ১ম প্রচেষ্টায় কোন একদিন সে, এপার হতে ওপার সোজাসুজি নদী পার হতে গিয়ে 5 km/h দ্রুতিতে কোনোকুনি পার হল। ২য় প্রচেষ্টায় সে নৌকায় স্রোতের সাথে 120° কোণে যাত্রা করে সোজাসুজি নৌকা পার হল।

ঘ. ২য় প্রচেষ্টায় চিত্রটি প্রতিটি ভেক্টরের যথাযথ মান ও তাদের মধ্যবতী কোণ চিহ্নিত করে সামান্তরিক সূত্রের সাহায্যে দেখাও।

$\vec{A}, \vec{B}$ ও $\vec{C}$ তিনটি ভেক্টর রাশি এমনভাবে সম্পর্কযুক্ত যে, $\vec{B}$ $=\vec{A}+\vec{C} ; \vec{A}$ এর মান 22 একক এর যা x- অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে –47.0° কোণ উৎপন্ন করে। $\vec{C}$ এর মান 17 একক যা x-অক্ষেরসাথে θ কোণ উৎপন্ন করে। $\vec{B}$x -অক্ষের ধনাত্মক দিকে কাজ করে।

গ. θ কোণের মান নির্ণয় করো।

$\vec{A}, \vec{B}$ ও $\vec{C}$ তিনটি ভেক্টর রাশি এমনভাবে সম্পর্কযুক্ত যে, $\vec{B}$ $=\vec{A}+\vec{C} ; \vec{A}$ এর মান 22 একক এর যা x- অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে –47.0° কোণ উৎপন্ন করে। $\vec{C}$ এর মান 17 একক যা x-অক্ষেরসাথে θ কোণ উৎপন্ন করে। $\vec{B}$x -অক্ষের ধনাত্মক দিকে কাজ করে।

ঘ. $\vec{B}$ এর মান ও দিক নির্ণয় করো এবং ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্রের মাধ্যমে উদ্দীপকের সম্পর্কটি লেখচিত্রে প্রকাশ করো।

২০১৪ সালের ২০ জুলাই রাত বারটায় ঝড়ো আবহাওয়ায় ঢাকা আন্তর্জাতিক বিমান বন্দর হতে বাংলাদেশ বিমানের একটি উড়োজাহাজ $\vec{v_{B}}=500 \mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে পূর্বদিকের সাথে 30° কোণে যাত্রা শুরু করল। একই সময়ে মালয়েশিয়ান এয়ারলাইনসের একটি উড়োজাহাজ একই বেগে ঠিক উল্টা দিকে যাত্রা শুরু করল। বাতাস $\vec{\mathrm{v}}_{\mathrm{a}}=50 \mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে পূর্ব হতে পশ্চিম দিকে বইছিল। রাত দুইটায় কন্ট্রোল টাওয়ার হতে একজন বিজ্ঞানী উড়োজাহাজ দুটির দূরত্ব পরিমাপ করল।

ঘ. কন্ট্রোল টাওয়ারের বিজ্ঞানীর প্রাপ্ত মান কেমন ছিল তা যৌক্তিকভাবে বর্ণনা করো।

উপরের চিত্রে xy সমতলের মূলবিন্দু 'O' তে পাঁচটি ভিন্ন মানের বল বিভিন্ন দিকে চিত্রানুযায়ী কাজ করছে।

গ. লব্ধি বলের x ও y উপাংশ নির্ণয় কর।

উপরের চিত্রে xy সমতলের মূলবিন্দু 'O' তে পাঁচটি ভিন্ন মানের বল বিভিন্ন দিকে চিত্রানুযায়ী কাজ করছে।

ঘ. লব্ধি বলের মান ও দিক নির্ণয় করে লেখচিত্রে যৌক্তিকভাবে প্রকাশ কর।

ভর, বেগ, ত্বরণ, সরণ, সময় ইত্যাদি ভৌত রাশিসমূহকে দু'ভাগে ভাগ করা যায়। যাদের কেবলমাত্র মান আছে তা হল স্কেলার এবং যাদের মান ও দিক উভয়ই আছে তা হল ভেক্টর। যে কোনো ভেক্টর রাশিকে $\hat{i}, \hat{j}$ ও $\hat{k}$ উপাংশের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়। ধরা যাক, একটি ভেক্টর রাশি $\vec{A}=4 \hat{i}-3 \hat{j}$ ;

গ. $\vec{A}$ এর দিকে একক ভেক্টর নির্ণয় কর।